Matemática em Contexto Função exponencial, logaritmica e sequências (25)

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A torre de Hanói, também conhecida como 
torre de bramanismo, é um jogo formado 
por uma base com 3 estacas e alguns discos 
dispostos em torre em uma das estacas, uns 
sobre os outros, em ordem decrescente de 
medida de comprimento do diâmetro, de 
baixo para cima. 
Além de ser um divertido jogo investigativo, 
a torre de Hanói é considerada um 
procedimento de avaliação da capacidade 
de memória de trabalho e, principalmente, 
de planejamento e de solução de problemas.
Este jogo foi inventado em 1883 pelo matemático francês Édouard Lucas (1842-1891), que associou a ele uma lenda: 
Brama teria criado uma torre, composta de 64 discos de ouro dispostos em uma estaca, ao lado de mais 2 estacas 
equilibradas sobre uma plataforma. Ele teria ordenado aos monges que movessem todos os discos de uma estaca para 
uma das outras de acordo com algumas regras simples: só poderia ser movido 1 disco de cada vez e nunca um disco 
maior ficaria por cima de um disco menor. De acordo com a lenda criada pelo matemático, quando todos os discos 
tivessem sido transferidos de uma estaca para a outra, o templo desmoronaria, o mundo desapareceria e seria criado 
um novo mundo: o mundo de Hanói.
Atualmente, a maioria dos modelos do jogo da torre de Hanói tem até 8 discos e as regras são as mesmas citadas na lenda.
Fonte de consulta: JOGO: torre de Hanói. Clubes de Matemática da OBMEP. Disponível em: 
http://clubes.obmep.org.br/blog/torre-de-hanoi/. Acesso em: 15 abr. 2020.
Agora que você conhece um pouco da história desse jogo, com os colegas, movimentem alguns dos discos da torre de Hanói 
e simulem situações para, ao final, estabelecerem uma relação entre esse jogo e o conteúdo que estudaram neste capítulo. 
Caso não haja exemplares da torre de Hanói que possam ser usados na escola, vocês podem confeccioná-los de maneira 
bastante simples. 
Explore para descobrir
Não escreva no livro.
Professor, este boxe proporciona um divertido jogo investigativo que incentiva o raciocínio lógico e indutivo dos estudantes, 
incitando-os a calcular e a otimizar a quantidade mínima de movimentos necessários para mover a torre de uma estaca para outra. 
Além disso, a torre de Hanói é um material didático que possibilita a con textualização de conteúdos como potenciação e função do 
tipo exponencial.
Sobre o assunto
O jogo também pode ser desenvolvido on-line ou em aplicativos baixados gratuitamente em smartphones e tablets. 
Veja exemplos de sites em que é possível jogar com diferentes quantidades de discos: http://clubes.obmep.org.br/
blog/torre-de-hanoi/; https://www.somatematica.com.br/jogos/hanoi/ (acesso em: 27 mar. 2020).
T
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A
1
2
3
4
5
B C
	a) Iniciem o jogo com uma torre de 2 discos em uma das estacas e tentem movê-los para outra estaca, de acordo com 
as regras. Quando esse desafio for vencido, aumentem a quantidade de discos da torre, sempre respeitando as 
regras.
	b) Repitam os desafios com diferentes quantidades de discos, ten-
tando fazer a quantidade mínima de jogadas. Registrem no ca-
derno a quantidade de jogadas feitas com os discos e, depois, 
comparem os resultados com os da tabela ao lado.
	c) Tentem prever a quantidade mínima de movimentos para mover 
uma torre de 6 discos para outra estaca. Em seguida, tentem pre-
ver também considerando uma torre de 7 discos.
	d) Quantos discos foram movidos em um jogo que teve 255 movi-
mentos e essa é a quantidade mínima de movimentos possíveis?
	e) Escrevam no caderno a lei de uma função do tipo F(x) 5 b ? ax 1 c, 
com x é N*, a > 0, a = 1 e b = 0, que relaciona a quantidade de 
discos x e a quantidade mínima de jogadas F(x).
Resposta pessoal.
Resposta 
pessoal.
Respostas esperadas: 63 movimentos. 127 movimentos.
Resposta esperada: 8 discos.
Exemplo de resposta: F(x) 5 1 ? 2x 2 1 ou F(x) 5 2x 2 1.
Torre de Hanói
Quantidade 
de discos
Quantidade mínima 
de movimentos
1 1
2 3
3 7
4 15
5 31
Tabela elaborada para fins didáticos.
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Resolvida passo a passo
	 7.	O uso indiscriminado de agrotóxicos, as mudanças climá-
ticas, os grandes desmatamentos e o aparecimento de al-
guns tipos de parasita podem levar à extinção das abelhas 
em poucas décadas. E conforme a quantidade de insetos 
dessa população vai diminuindo, a polinização das plantas 
vai ficando cada vez mais comprometida, o que pode gerar 
um colapso na produção de alimentos, bem como causar a 
morte de animais herbívoros, por falta de alimentos, e de 
animais carnívoros que se alimentam dos herbívoros. 
Diante desse quadro preocupante, especialistas estudam 
maneiras de evitar a redução da quantidade de abelhas.
Suponha uma situação preocupante em que a população 
de uma colônia de abelhas, inicialmente com 20 000 indiví-
duos, esteja se reduzindo à taxa de aproximadamente 10% 
ao mês por causa do uso de agrotóxicos. Calcule a quan-
tidade de abelhas nessa população depois de 4 meses e 
represente a situação graficamente.
Resolução
1. Lendo e compreendendo
	a) O que é dado no problema?
Informa-se a quantidade inicial de abelhas na população, que é de 20 000 indivíduos, e a taxa de redução, 
que é de 10% ao mês (aproximadamente).
	b) O que se pede?
O cálculo da quantidade de abelhas depois de 4 meses e a representação gráfica dessa situação.
2. Planejando a solução
Precisamos determinar uma sentença matemática, em função da medida de intervalo de tempo t, em meses, 
que represente a situação e, em seguida, descobrir, para t 5 4, qual é a quantidade de indivíduos da população. 
Com esses dados, podemos construir, no plano cartesiano, um gráfico que represente a situação.
3. Executando o que foi planejado
Chamamos de P(t) a quantidade de indivíduos da popula-
ção em função de t, com t . 0. Como a quantidade inicial 
de 20 000 abelhas sofre um decréscimo de 10% ao mês, 
temos que a sentença representativa dessa situação é:
P(t) 5 20 000 ? 
t
1
10
100
2



 5 20 000 ? (0,9)t
Para t 5 4, obtemos:
P(4) 5 20 000 ? (0,9)4 5 20 000 ? 0,6561 5 13 122
Sabendo os valores de P(0) e P(4), representamos o gráfico 
dessa função em um plano cartesiano.
4. Emitindo a resposta
Depois de 4 meses, a população da colônia de abelhas terá 13 122 indivíduos.
5. Ampliando o problema
Depois de quantos meses a população dessa colônia de abelhas terá 16 200 indivíduos? 2 meses.
Atividades resolvidas
Polinização é o processo de transferência de 
pólen que ocorre nas plantas e é por ele que 
elas se reproduzem. As abelhas são o agente 
polinizador mais importante, mas esse processo 
também pode ocorrer por ação de outros insetos, 
do vento, da água, de animais e até mesmo pelo 
ser humano.
20 000
P(t)
13 122
40
t (em meses)
B
a
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