IBEP - EM - Volume Único-154-156

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Exemplos:
1. Num paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 5 em, 4 em e 3 em, calcule:
a) a diagonal;
b) a área total;
c) o volume.
a) D = ~a2 + b2 + c2 => D = ~52 + 42 + 32 => D = .rso => D = 5.J2 em
b) S, = 2 (ab + bc + ac) => S, = 2 (5 . 4 + 4 . 3 + 5 . 3) => S, = 94 em'
c) V = a . b . c => V = 5 . 4 . 3 => V = 60 em'
2. Se a área total de um cubo é 24 em', calcule:
a) a aresta;
b) o volume.
a) S, = 24 crn' => 6a2 = 24 => a2 = 4 => a = ::!:: -J4 => a = 2 em (- 2 não convém)
b) V = a3 => V = 23 => V = 8 em'
···,·····...0
"'-" ....
" .
......
4 ~~ ..-....- ....---..--..---------..--------------------:,~,:::.::::::':::::':::::.3em
Sem
EXERCíCIOS
13. Calcule a diagonal, a área total e o volume de um paralelepípedo
reto-retângulo de dimensões 8 cm, 6 cm e 4 cm.
14.A base de um paralelepípedo reto-retângulo é um quadrado de
área 36 crns. Calcule a diagonal, a área total e o volume desse
paralelepípedo sabendo-se que sua altura é igual a 4 cm.
15. A base de um paralelepípedo reto-retângulo é um quadrado.
Calcule o volume desse paralelepípedo sabendo-se que sua altu-
ra é igual a 3 cm e a sua área total é igual a 80 crns.
16. Calcule a diagonal, a área total e o volume de um cubo de aresta
igual a 5 cm.
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17. Calcule a aresta e o volume de um cubo cuja área total é igual
a 96 em".
v•
18. Calcule a aresta e a área total de um cubo de volume 27 m3•
PIRÂMIDE
Definição
Seja a figura ao lado, onde:
• a é um plano;
• p é um polígono contido em a;
• V é um ponto não pertencente a a.
Se considerarmos nesta fíqura todos os segmentos, tais que um
extremo é um ponto do polígono p e o outro é o ponto V, temos um
sólido geométrico chamado pirâmide.
v
Elementos da pirâmide
o ponto V é o vértice.
Opolígono ABCDEé a base.
Os lados AB,BC,CD,DEe EA da base são as arestas da base.
Os triângulos AVB, BVC,CVD,DVE,EVAsão as faces laterais.
Os segmentos AV,BV,CV,DVe EV são as arestas laterais.
A distância entre o vértice e o plano da base é a altura (h).
Nota
Da mesma forma que os prismas, as pirâmides também podem ser classificadas em triangulares, quadrangulares, pentagonais, etc., de
acordo com a base.
Pirâmide regular
Uma pirâmide é regular quando a base é um polígono regular e a altura é igual à distância do vértice ao centro da base.
Numa pirâmide regular temos:
• as arestas laterais são congruentes;
" • as faces laterais são triângulos isósceles congruentes entre si.
Observe a pirâmide pentagonal regular:
239
VR= h (altura)
VM (apótema da pirâmide)
RM (apótema da base)
Note que o apótema (VM ) da pirâmide é a altura do triângulo
isósceles AVB.
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Área de uma pirâmide
Chamamos de área lateral (5L) de uma pirâmide à soma das áreas das suas faces laterais.
Chamamos de área total (5r) de uma pirâmide à soma da área lateral (5L) com a área da base (58)'
Volume de uma pirâmide
o volume de uma pirâmide é dado pela expressão:
{
58 ~ área da base
onde: h ~ altura da pirâmide
Lembre-se /
o apótema de um quadrado de lado fé 1..
2
o apótema de um triângulo eqüilátero de lado fé f -J3 .. 6
o apótema de um hexágono regular de lado fé f -J3 .
2
Exemplo:
Uma pirâmide quadrangular regular de altura h = 4 m tem uma aresta da base medindo 6 m. Calcule:
a) o seu volume;
b) o seu apõtema;
c) a sua área total.
v
,,-,-
a)
5 ·hV=_8_
3
{
5 = 6 . 6 = 36 m2
Sendo: 8
h=4m
V = 36· 4 = 48 m3
3
6
b) Apótema VM= ?
No ~ retângulo VPM, aplicando o teorema de Pitágoras:
VW = 42 + 32 ~ VM= 5 m
c) A área total (5r) da superfície externa de uma pirâmide é a soma da área da base (58) com a área lateral (5L):
S, = 58+ 5L
58 = 6 . 6 = 36 m2
5L é igual a quatro vezes a área de cada triângulo: 5 = 4 X ~
L 2
Sendo: { b = 6 m 6 . 5
~5 =4X-=60m2
h = VM= 5 m L 2
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