Matemática_Contexto__aplicações_Volume_único_2018-823-825

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Determine a equação da parábola de foco F(0, 25) 
e diretriz y 5 5.
Resolução
1a maneira:
P(x, y)
F(0, 25)
 y 5 5
(x, 5)
V(0, 0)
y
x
Usando a propriedade de todo ponto P(x, y) da 
parábola, temos:
 d(P,F) (x 0) (y 5) x (y 5)2 2 2 2
5 2 1 1 5 1 1 
A distância de P à reta y 5 5 é igual à distância de 
P até (x, 5), que é igual a (x x) (y 5)2 2
2 1 2 .
Como as medidas das distâncias são iguais, te-
mos:
x2 1 (y 1 5)2 5 02 1 (y 2 5)2 ⇒
⇒ x2 1 y2 1 10y 1 25 5 y2 2 10y 1 25 ⇒
⇒ x2 5 220y
2a maneira:
F(0, 25) está no eixo y, y 5 5 é paralela ao eixo x 
e V(0, 0).
A medida da distância de F a V é:
 c 0 ( 5) 52 2
5 1 2 5 .
Usando diretamente a fórmula, temos:
(x 2 x
V
)2 5 24c(y 2 y
V
) ⇒ 
⇒ (x 2 0)2 5 24 ? 5(y 2 0) ⇒ x2 5 220y
Logo, a equação é x2 5 220y.
2. Determine o foco e a diretriz da parábola de 
equação y2 5 5x.
Resolução
Podemos escrever y2 5 5x como 
(y 0) 4
5
4
(x 0)2
2 5 ? 2 .
A medida da distância do vértice (0, 0) ao foco é 
c
5
4
5 .
Logo, 




F
5
4
,0 e a diretriz é x
5
4
52 .
y
xV(0, 0)
[
5
4
x 5 2
, 0]5
4
3. Se uma parábola tem como equação
x2 2 4x 2 12y 2 8 5 0, determine as coordenadas 
do vértice, as coordenadas do foco, a equação da 
reta diretriz da parábola e a equação do eixo de 
simetria.
Resolução
Completando os quadrados perfeitos, temos:
x2 2 4x 2 12y 2 8 5 0 ⇒ x2 2 4x 5 12y 1 8 ⇒
⇒ x2 2 4x 1 4 5 12y 1 8 1 4 ⇒
⇒ ⇒x 4x 4 12y 122
E F555555 E F5555
2 1 5 1 
⇒ x2 2 4x 1 4 5 12y 1 12 ⇒
⇒ (x 2 2)2 5 12(y 1 1) ⇒ 
⇒ (x 2 2)2 5 4 ? 3(y 1 1)
em que x
V
 5 2, y
V
 5 21 e c 5 3.
Fazendo um esboço do gráfico, vem:
(2, 21 2 3)
(2, 21)
(2, 21 1 3)
3
3
y 5 24
Logo, V(2, 21), F(2, 2), a diretriz é y 5 24 e o eixo 
de simetria é x 5 2.
Devemos lembrar que vale a recíproca: a partir da equação da parábola podemos chegar ao vértice e ao valor 
de c e, daí, ao foco e à diretriz.
OBSERVAÇÃO: No capítulo 5, estudamos as funções quadráticas y 5 ax2 1 bx 1 c, cujos gráficos foram chama-
dos de parábolas. De fato, aquelas parábolas e as estudadas neste capítulo são as mesmas, pois, quando usamos 
a técnica de completar quadrados, podemos transformar qualquer equação do tipo y 5 ax2 1 bx 1 c em uma do 
tipo (x 2 x
V
)2 5 64c(y 2 y
V
).
 FIQUE ATENTO!
Cuidado, o c de y 5 ax2 1 bx 1 c não é o mesmo c de y 2 y
V
 5 ±4c(x 2 x
V
)2.
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CAPÍTULO 26 • GEOMETRIA ANALÍTICA: CÔNICAS 821
Contexto e Aplicacoes Matematica_U11_C26_818a845.indd 821 8/22/18 3:16 PM
4. Determine a equação, o foco F e a diretriz d da parábola com vértice V(22, 23), sabendo que o foco está 
no quarto quadrante, d é paralela ao eixo y e o parâmetro, p, é 8. 
Resolução
Temos: p 5 8 indica que c 5 4, pois c
p
2
5 .
As informações do problema levam a um esboço do gráfico:
d
x
y
D(22 2 4, 23) V(22, 23) F(22 1 4, 23)
A posição da parábola indica que a equação é da forma (y 2 y
V
)2 5 4c(x 2 x
V
).
Daí, vem:
V(22, 23)
c 5 4
F(22 1 4, 23) ⇒ F(2, 23)
D(22 2 4, 23) ⇒ D(26, 23)
diretriz d 5 26
Substituindo as informações na fórmula, temos:
(y 2 y
V
)2 5 4c(x 2 x
V
) ⇒ (y 1 3)2 5 4 ? 4(x 1 2) ⇒ (y 1 3)2 5 16(x 1 2)
Logo, a parábola tem equação (y 1 3)2 5 16(x 1 2), F(2, 23) e diretriz d 5 26.
5. Determine a equação da parábola com eixo de simetria perpendicular ao eixo x, vértice no ponto V(0, 4) e 
que passa pelo ponto P(2, 1).
Resolução
(x 2 x
V
)2 5 24c(y 2 y
V
)
Substituindo x
V
 5 0 e y
V
 5 4 na equação, temos:
(x 2 0)2 5 24c(y 2 4) ⇒ x2 5 24c(y 2 4)
Como a parábola passa por P(2, 1), vem:
⇒ ⇒2 4c(1 4) 12c 4 c
1
3
2
52 2 5 5
V
4
20
1
x
P
y
Logo, a equação da parábola é x
4
3
(y 4)2
52 2 .
EXERCêCIOS
1. Determine a equação da parábola de foco F e di-
retriz d nos seguintes casos:
a) F(9, 0) e d: x 5 29 
b) F(0, 26) e d: y 5 6 
c) F(0, 7) e d: y 5 27 
d) F(25, 0) e d: x 5 5 
2. Determine o foco, o vértice e a diretriz da pará-
bola, a partir das equações:
a) y2 5 28x 
b) x2 5 24y 
c) x2 5 10y 
d) y2 5 216x 
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UNIDADE 11 • GEOMETRIA ANALÍTICA822
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3. Dadas duas parábolas, de equações x2 5 212y e 
x2 5 22y, qual delas tem concavidade maior? Es-
boce os gráficos para comprovar sua resposta.
 FIQUE ATENTO!
O valor do coeficiente c também indica a concavidade 
da parábola: quanto maior o valor de c, maior a conca-
vidade.
4. Determine a equação da parábola que tem:
a) foco no ponto F(3, 0) e diretriz de equação
 x 5 23; 
b) diretriz de equação y 5 3 e vértice V(0, 0);
c) foco no ponto F(1, 2) e diretriz de equação
 x 5 22; 
d) diretriz de equação x 5 2 e vértice V(21, 23).
5. Determine as coordenadas do foco e a equação da 
reta diretriz das parábolas que têm por equação: 
Sugestão:Lembre-se,por exemplo,


de que 2 4
1
2
.






5
a) x2 5 4y 
b) y2 5 2x 
c) x
1
8
y2
52 
d) y2 5 24x 
e) x2 5 y 
6. Encontre as coordenadas do vértice, as coorde-
nadas do foco, a equação da reta diretriz e a 
equação do eixo de simetria das parábolas de 
equações:
a) y2 2 6y 2 12x 1 21 5 0 
b) x2 2 2x 2 y 1 4 5 0 
7. A parábola de equação x2 2 6x 1 y 1 8 5 0 inter-
secta o eixo x nos pontos A e B. Sendo V o vértice 
da parábola, determine a medida da área do 
triângulo VAB. 
8. Determine a equação da parábola:
a) de vértice V(21, 4), eixo paralelo ao eixo y e que 
passa pelo ponto A(3, 0); 
b) de vértice V(4, 2) e foco F(4, 5). 
9. Uma parábola tem foco no ponto F(3, 1) e sua 
diretriz é a reta de equação x 5 21. Determine a 
equação da parábola e os pontos em que a reta 
de equação x 2 y 5 0 intersecta a parábola.
3. ELIPSE
ORIGEM
Vamos considerar um cone circular reto.
Utilizando um plano inclinado em relação ao eixo e 
que intersecte todas as geratrizes do cone, faremos 
um corte como mostram os desenhos seguintes:
Nesse caso, a secção cônica obtida é chamada elipse.
 FIQUE ATENTO!
Se o plano for paralelo ao plano da base, obteremos uma 
circunferência, que também é uma secção cônica.
DEFINIÇÃO E ELEMENTOS
Consideremos, inicialmente, no plano do papel, dois 
pontos fixos F
1
 e F
2
, tal que a medida da distância entre 
eles seja 2c.
2c
F
2
F
1
Imagine que vamos marcar uma série de pontos tal 
que a soma das medidas de suas distâncias aos pontos 
fixos F
1
 e F
2
 seja sempre constante e maior do que 2c. 
Na prática, isso pode ser feito com o auxílio de um 
lápis, 2 alfinetes e barbante.
F
2 F
1
Construindo o gráfico ponto a ponto, teremos:
AF
1
 1 AF
2
 5 BF
1
 1 BF
2
 5 CF
1
 1 CF
2
 5 ... 5
5 JF
1
 1 JF
2
 5 ... 5 LF
1
 1 LF
2
 5 ... 5
5 2a (constante), sendo 2a . 2c
F
2
P
A
B
C D
E
G
H
I
J
KL
M
N
F
1
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CAPêTULO 26 • GEOMETRIA ANALÍTICA: CÔNICAS 823
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