Tangentes e Retas em Geometria

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— & ExetriD io 2 -------------------------------------------------------------------------
Obter as tangentes à hipérbole (A,) x2 - y- = 1 que são paralelas à reta (r) y = 2x. 
I o) t // r => (t) y = 2x + k
Resposta: y = 2x + \'3 ou y = 2x - V3 
Exemplo 3
Obter as tangentes à elipse (X) 4x2 + 9y2 = 36 que passam por P(7, 2).
I o) P e t => y - 2 = m(x - 7) =>
=> y = mx - 7m + 2
3?) r tangente a X => A = 0
A = 18? • m* ■ (2 - 7m)2 - 4 ■ (9m2 + 4) • 63m • (7m - 4) = 576m • (7 - lOm) = 0 =*
3?) i tangente a X => A = 0
A = (4k)2 - 4 ■ 3 ■ (k2 + 1) = 4k2 - 12 = 0 =>
=> k = ±\f3
2o )
Substituindo, temos: 
x2 - (2x + k)2 = 1 
3x2 + 4kx + (k2 + I ) = 0
10
7 29Resposta: y = 2 ou y = - - • x - —
a s rONii. AS
Exemplo 4
y 2 -|- 3
Conduzir por P(0, 0) as tangentes à parábola (A.)x = — -— e calcular o ângulo 0 
entre elas.
1?) P G t => (t)y = mx
y = mx
2?) sistema < y2 + 3 
!X= 3
Substituindo, temos: 
m2x2+ 3x = 3
mbd - 3x + 3 = 0
3?) f tangente a X => A = 0
A = 32 - 4m2 -3 = 9 - 1 2rrr = 0 => m = ± \3
Portanto, (t) é y = ^ x ou y = -
y 2 y 2
4o) tg 0 = m - m
1 + mm'
V3 = 4v3
Resposta: 0 = arc tg 4v3 = 82°
Q Q Q O G O Q O Q B
73 Obtenha as tangentes à elipse 9x2 + 4y2 = 36 que lêm coeficiente angular - 1.
74 Obtenha uma reta I paralela à bisseiriz dos quadrantes ímpares e tangente à parábola (X) v = x2 - x + 5. Ache o ponto 7'de tangência.
75 Obtenha uma reta ( perpendicular à reta Cr) x + 3v + õ = 0 e tangente à hipérbole (X) 6x2 — v2 = 1.
M A TtM Á T irA ; r i f N f lA f AP lirAÇÒ frS
76 (IIF-MG) Relativamentc à elipse de equação —-----v = 1, com b < 5., 25 bjulgue os itens.1) Seu eixo maior está sobre o eixo x.
2) Se os focos da elipse estão localizados nos pontos (4, 0) e (-4. 0), então b = 4.3) Se b - V5 , então existe m £ R tal que a reta y = mx + 1 c langente à elipse.
77 (UF-GO) A figura ao lado representa, no plano cartesiano, um ramo da hipérbole de equação x • y = 1. e a reta r de coeficiente angular m = -4 , e que possui um único ponto em co­mum com a hipérbole.Sejam A e 8 as interseções da reta r com os eixos .v e r, respectivamente. Calcule a área do triângulo OAB.78 Conduza por P(0, 0) as retas t que são 
+ 12 = 0.79 Conduza por PfO, 2) as retas 1 que são tangentes à hipérbole (A.) x2 - 4\J = 4.80 Obtenha as equações das retas t que passam por P(3. 0) e são tangentes â parábola (X) x = — 2y2.
O Q B O Q Q ' O G B O O Q O O O O Q B
1 í (U n icap -P F) D eterm ine K £ IR para que o p onto A ( -2 . K) pertença á elipse 2 5 (ITA-SP ) T a n gcn cian d o exlernam ente a elipse e ,, tal q u e £,:9x; + ly2 + 18x - 8v - 23 = 0.
a) K = 1 ±
b ) K = 2 ±
c) K = 3 ±
3\323v3
3x3
>
d ) K = a t
en K = -1 í
3 \ 3 23x3
9 x ? + iy- - 72x - 24y + 144 = 0,considere um a elipse e „ de e ixo maior sobre a reta que suporta o e ixo m enor de £, e cujos e ixo s têm a m esm a m edida q u e os eixos de £,. Sab en d o q u e E, está inteiram ente contida no prim eiro qua- drante, o centro de £, é:a) (7. 3) c) (8. 3) e) (9, 2)Ir) (8, 2) d) (9. 3)
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