Matemática Ciências e Aplicações V3-235-237

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Exemplo 2 -
Qual é o valor de (- v'3 + i)u?
Representando z = - v3 + i no plano complexo obtemos o ponto Q.
I z I = p = aW ^ + I2 = 2
sen 0 = - 
cos 6 = — 4 —
•0 = 150° (“ f
A forma trigonométrica de z é:
z = 2 1 cos -jK + i sen ]V o o J
Aplicando a fórmula de Moivre, temos:
zH = 2Mfcos 14 ■ + i sen 14 •V o 6 => z' = 2» [ c o s ^ + i s e n ^ ]
Sendo + "y , concluímos que ^ e - y - sao côngruos; assim:
5 voltas
2M [ cos + i sen -4 -̂ z'A = 2' + 1 z14 = 2 3 (1 — i-v3 )
( 1 Q Q D B D B D Q B107 Calcule (1 + i)8.108 Calcule (—\'3 - i)1.109 Calcule (v2 - iv2 f usando:a) a fórmula de Moivre;b) o desenvolvimento do binômio de Newton.
110 Qual e o \alor de í- + 3 \ 3
V 2 2
111 Sendo z = 2(cos ^ + i sen 37T
K í '1 ,a) z 1 calcule: b) z6
M A ILM Á IIC A : ClCNCIA 1 APLIUAÇÚtS
112 Calcule (-1 + i)6.113 Qual é o valor de114 Mostre que (V2 + iv2 f é um número real.115 a) Determine z , 2 G C , que verifica a equação z + 2z = 3v3 + i ■b) Usando o item a, calcule z'>0.
116 Sendo z = — — t- — i . obtenha o valor de z~1J.2 2
117 Mostre que o número complexo z = cos 48° + i sen 48° é raiz da equação z’° + z5 + 1 = 0.118 (Fuvest-SP) Dado o número complexo z = V3 + i, qual é o menor valor do inteiro n 3» 1 para o qual z" é um número real?
119 Dado o número complexo z = 3 - 3i e n G N, determine:a) o valor de z" quando n é múltiplo de 4.b) o menor valor de n para o qual z n é imaginário puro.
120 (Covest-PE) Determine o menor valor natural de n, n * 0, de modo que o número (V2 + iv2 T seja um número real negativo.121 Se z mostre zKIÜ = z.
Radieiação em C
Seja z um número complexo. Dizemos que zt é uma raiz enésima de z se (zk)n = z. 
Vejamos alguns exemplos:
Uma das raízes quadradas de -1 é i, pois i2 = -1.
Uma das raízes cúbicas de - i é /, pois i5 = -i.
Uma das raízes quartas de 16 é 2i, pois (2Í)'1 = 16.
Notemos que 2 e -2 também são raízes quartas de 16, pois 2̂ = 16 e (-2)* = 16.
NUM tkÜS CÜMPLCXÜS 233
Vamos encontrar as raízes quadradas de z = 4 + 4V3 i.
Em primeiro lugar, é preciso escrever z na forma trigonométrica:
O módulo de z é | z I = \4? + (4\:3 f = 8.
• O argumento a de z é tal que
sen a =
4v3
8
\3
4 1cosa = _ _ = _
• a = 3 ‘
Assim, a forma polar de z é z = 8 |cos - j- + ise n ~ - j. 
O problema consiste em determinar zk G C tal que zk2 = z
Colocando zk = p (cos 0 + i sen 0), segue a igualdade: (*)
[p (cos 0 + i sen 0)]‘ = 8 j cos - j- + i sen J 
Usando a fórmula de Moivre, vem:
pJ (cos 20 + i sen 20) = 8 |cos + 1 sen * 
Essa igualdade é verificada quando:
p = 8
20 = -y- + k • 2ji, k G Z
p = 2\2
0 = ~ + k • k, kG Z6
Finalmente, atribuímos valores inteiros para k a fim de obter zk em (*}:
Se k = 0, 0 = 71 => z0 = 2v 2 f cos K- + i sen-^ 6 r 6 6
Zn = 2V2 = V6 + i-v/2
Se k = 1, 0 = 711 = > z = 2V2 Icos 7— + isen 7rt )
o ^ . 6 6 )zQ = 2V2
v
— ---- | • —2 2 = -Vó - iV2
• Se k = 2, 6 = + 2k = que é côngruo a 71 Desta forma, o número complexoo o o
que iríamos encontrar coincidiría com a primeira raiz z0 obtida.
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