Divisão de Polinômios

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► 2o passo: multiplicamos o quociente obtido 3x2 por g(x):
3xJ (2x2 + x - 3) = 6x" + 3x3 - 9x2.
O resultado é colocado, com o sinal trocado, sob os termos semelhantes
de , | ,6x4 - x3 + 3x2 - x + 11 2x~ + x - 3
- 6x4 - 3x3 + 9x2 3x2
► 3? passo: somamos os termos semelhantes, e os termos de f(x) que não tèm semelhan­
tes a somar devem ser copiados. Obtemos um resto parcial.
M~ - x3 + 3x2 - x + 112x2 + x - 3 
- é / - 3x3 + 9x2 3x2
— 4x3 +1 2x“ — X + 1 —* feito psrcial
► 4? passo: repetimos os passos an­
teriores com o resto par­
cial obtido até que grau 
de r se torne menor que 
grau de g.
Então:
íq(x) = 3x2 - 2x + 7 
jr(x) = -14x + 22
.05?' - x3 + 3x2 - x + 11 2x- + x - 3 
- 3x3 + 9x2 3x2- 2 x + 7
resto patnal —► — AX ' +1 2X“ — X + I
+ 4 5 c + 2x2-õx
testo pdttl.il —* [ / f á - 7 x + 1
- l 4-1(j -7 x + 21
gtau t - I e greu 17 = > _ 14 X + 2 2
í a drviião è çnttfiiáda
(Note que grau q = grau f - grau g = 4 - 2 = 2.)
Vamos, agora, efetuar a divisão de f(x) = x3 - 1 por g(x) = x - 1.
Antes de in iciar a divisão, convém escreverm os o d ividendo f(x) na forma 
f(x) = x3 + Ox2 + Ox - 1.
Assim, temos:
+ Ox2 + Ox - 1 
+ 1 x2
x - 1 
x2 + x + 1
(+) f + 0x - 1
y x 2 + i x
y -x
~ x + x
o
Logo: Jq(x) = x2+ x + 1 (grau q = 3 - 1 = 2) 
lr(x) = 0
U A TEM A IIC A : C lfN C lA E A P IirA Ç h í S
Observação
Quando R x ) = 0, dizemos que a divisão de R x ) por g (x) é exata, ou Rx.) é 
divisível por g (x), ou g (x) divide Rx) .
Vamos descobrir para quais valores de p e de q o polinômio f(x) = 4x3 + px + q 
é divisível por g(x) = 2x: - x + 1.
Efetuamos, inicialmente, a divisão de f por g:
<Nyte que 
qiau r < arau ai
+ 0x2+ px+ q
-/ x 3+ 2x2— 2x__________
2yr+(p -2 ) x + q 
x - I
■ (P - 2 + l)x +(q - 1)
' v ’
ríxi
2x2 - x + 1 
2x + 1
Devemos ter r(x) = 0, isto é, (p - 1)x + (q - 1) = 0 (0 é o polinômio nulo). 
Assim:
p - 1 = 0 => p = 1
e
q - 1 = 0 => q = 1
Q O Q O G O Q O Q O
39 Determine o quociente q(x) e o resto Rx) da divisão de Rx) por g(x) em cada caso:a) Rx) = 2x: - 5x + 3 e g(x) = 2x - 1b) Rx) = - x 3 - 4x2 + 3 e g(x) = x2 - 2xc) Rx) = 6x3 - x2 - 2x + 4 e g(x) = 3x - 2
40 Divida o polinômio Rx) pelo polinômio g(x) em cada caso:a) Rx) - - 1 e g(x) = x2 + 1b) Rx) = õx'1 + 3x3 - 2x2 + 4x - 1 e g(x) = x2 - 4c) f( x ) = x ' + x3 - 5x2 + x - 6 e g(x) = x 2 + x - 6
P lllIN flM in S 2 5 7
41 Encontre o quociente e o resto da divisão de f(x) = x2 + 2ix + 3 por g(x) = x - i.
4 2 Encontre o quociente e o resto da divisão de f(x) = x' + 5x2 + 4i por g(x) = x + 1.
4 3 Determine a e b de modo que o resto da divi.são de x ' — 5x2 + ax + b por x' + 3x seja igual a 12x - 7.
4 4 (UF-BA) Sendo P(x) = (m 1) x3 + x2 + x — 1 um polinômio de grau 2 e Q(x) = kx3 + x2+ 2x + 2 um polinômio que tem -1 como raiz. analise as afirmações seguintes, assinalando l ou /•'.a) km = 1b) P(x) ■ Qfx) é um polinômio de grau 6.e) P(x) tem duas raízes reais.d) xP(x) - Q (x) = 2 + 3xe) O quociente da divi.são de Q(x) por x + 1 é xJ + 2.D O resto da divisão de Q(x) por P(x) é 3x + 2.
4 5 O polinômio x 3 + px + q é divisível por x2 + 2x + 5. Determine p e q.
4 6 Determine k de modo que o polinômio x3 - 2x + k seja divisível por x - 1.
4 7 Dele rmine a para que a divisão do polinômio x2 + ax - 5 por x - 3 seja exara.
48 Determine /; e q de modo que o polinômio x' + 3x' + px + cj seja divisível pelo polinômio x2 - 2x — 3.
4 9 Dividindo o polinômio í(x) - x3 + x2 + x + 1 por g(x), obtemos o quociente q(x) = 1 + x e o resLo r(x) = x + 1. Determine g(x).
5 0 Dividindo um polinômio lYx) por x2 + x + 1, obtemos o quociente q(x) = x2 - x e o resto r(x,) = - x + 13. Determine f(x).
51 São dados f(x) = 2\- + ax + 3b ia e b constantes) e g(x) = x2 - 3x + 9.a) Divida f(x) por g(x).b) Determine a e b para que a divisão seja exata.
52 (UFF-RJ) O resto da divisão de pCx) = x3 + 2x2 + a por q(x) = x2 + 1 é um polinômio cujo termo independente é 8. Determine o valor do número real a.
\4ATFM ÁTltA : ClÉNClA [ A l a ^ Ú C S