Cálculo Vetorial e EDO - Atividade de Autoaprendizagem 1

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Módulo B - 136146 . 7 - Cálculo Vetorial e Edo - D.20231.B
Atividade de Autoaprendizagem 1
Pergunta 1
Ao estudar funções reais de várias variáveis reais, observa-se que as relações funcionais, ou seja, as relações que associam conjuntos, alteram-se conforme aumentam o número de variáveis. Em uma função real de uma variável, a relação é feita tendo como base duas retas reais, por exemplo, mas isso não se mantém para as outras relações funcionais.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre relações funcionais de duas ou mais variáveis, analise as afirmativas a seguir.
I. O domínio de uma função de duas variáveis é subconjunto de R³.
II. O contradomínio de uma função real de três variáveis é subconjunto de R.
III. O contradomínio de uma função real de cinco variáveis é subconjunto de R.
IV. O domínio de uma função de três variáveis é subconjunto de R³.
Está correto apenas o que se afirma em:
I, III e IV.
I, II e IV.
I e II.
II e IV.
II, III e IV.
Pergunta 2
O estudo dos campos gradientes, divergentes e rotacionais é importante, também, para a definição de algumas possíveis operações a serem realizadas entre eles. O Laplaciano, por exemplo, é definido pelo cálculo do divergente de um gradiente de uma função escalar f. Tome como exemplo uma funçãof(x,y,z)=xyz.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca dos campos divergentes, gradientes e rotacionais, e acerca do Laplaciano, afirma-se que o Laplaciano escalar dessa função é 0 porque:
Pergunta 3
A representação do domínio de uma função de duas dimensões pode ser feita de maneira matemática, escrevendo analiticamente o conjunto ou visualmente, hachurando o plano XY. A forma de determinar qual é o domínio é verificar se a função possui alguma proibição de valor, por exemplo, f(x)=1/x. Como não há divisão por zero na matemática, X não pode ser zero, sendo o seu domínio D={x ϵ R ┤|x≠0}.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir colocando V para a(s) verdadeira(s) e F para(s) falsa(s).
I. ( ) O domínio da função f(x,y) =√(x+y)/(x-1) x é D = {(x, y) | x+y≥0 e x≠1};
II. ( ) O domínio da função f(x,y)=ln⁡ (y^2-x) é D = {(x, y) | x≥y²};
III. ( ) O domínio da função f(x,y) = x²-y² é D = R² (todo par ordenado real);
IV. ( ) O domínio da função f(x,y)=1/√(4-x+y) é D = {(x,y) | x-y ≥4}.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
V, F, V, F.
F, V, F, V.
F, V, V, F.
V, V, F, F.
V, V, V, F.
Pergunta 4
Quando se tem funções de mais de uma variável, naturalmente surge a indagação de “derivada em relação a qual variável?”. Este conceito trata-se da derivada parcial. Seguindo a mesma lógica de derivada de uma variável, o que não é a variável de derivação é constante. Portanto, se derivarmos f(x,y) em relação a x, consideramos y como constante. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre derivadas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para(s) falsa(s).
I. ( ) A derivada de f(x,y)=x2 y+x3 y2+4y+1 em relação a x é fx (x,y)=2xy +3x2 y2.
II. ( ) A derivada de f(x,y)=x2 y+x3 y2+4y+1 em relação a y é fy (x,y)=x2+2x3 y.
III. ( ) A derivada de f(x,y)=sin⁡xy em relação a x é fx (x,y)=cos⁡xy.
IV. ( ) A derivada de f(x,y)=(x2+y2 )2 em relação a y é fy (x,y)=4y (x2+y2 ).
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
V, F, V, F.
V, V, F, F.
V, V, V, F.
F, V, F, V.
V, F, F, V.
Pergunta 5
Uma função é uma regra que associa elementos de dois conjuntos. Assim como em funções de uma variável, para funções de várias variáveis há os conceitos de domínio e contradomínio. Sendo o domínio os elementos de “entrada” da regra e o contradomínio os de “saída”.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções de duas variáveis e conjuntos, analise as afirmações a seguir.
I. O par ordenado (-2, 1) pertence ao domínio da função f(x,y) = √((x+y)) .
II. O contradomínio da função f(x,y) =√(x+y) é o conjunto dos reais positivos.
III. O par ordenado (-2,-2) pertence ao domínio da função f(x,y) =√(x²+y²) .
IV. As relações {(0,1)≥0, (0,2)≥1, (0,2)≥3} representam uma função de duas variáveis.
Está correto apenas o que se afirma em:
I, III e IV
I, II e IV
II e IV
II e III
I e II
Pergunta 6
Derivar em três variáveis é o mesmo procedimento que derivar para duas. Considere as outras variáveis como constantes e use as técnicas de derivação convencionais. Por exemplo, para f(x,y)=x+y+1, a derivada em y é fy (x,y)=1.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre derivadas parciais, analise as afirmativas a seguir.
I. A derivada em relação a z da função f(x,y,z)=x2+y2+z2 é fz (x,y,z)=2z.
II. A derivada em relação a x da função f(x,y,z)=sen(√(x2+y2+z2 )) é fx (x,y,z)=cos⁡(√(x2+y2+z2 ))/(2√(x2+y2+z2 )).
III. A derivada em relação a y da função f(x,y,z)=ln⁡xyz é fy (x,y,z)=1/y.
IV. As primeiras derivadas de f(x,y,z)=ex+y+z são iguais.
Está correto apenas o que se afirma em:
II, III e IV.
II e IV.
I e II.
I, II e IV.
I, III e IV.
Pergunta 7
Para calcular o divergente de um campo vetorial, primeiro se faz a derivada parcial das componentes em suas respectivas direções (lembrando que i, j e k representam as componentes nas direções de x, y e z). Depois, essas derivadas parciais são somadas, resultando em um campo escalar.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre campos vetoriais divergentes, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) Dado o campo vetorial F(x,y,z)=xzi+xyzj-y2 k, o divergente é ∇∙F=zi+xzj.
II. ( ) Dado o campo vetorial F(x,y,z)=xyzi-x2 yk, o divergente é ∇∙F=yz.
III. ( ) Dado o campo vetorial F(x,y,z)=cosxzj-sinxyk, o divergente é ∇∙F=0.
IV. ( ) Dado o campo vetorial F(x,y,z)=ex sinyi+ex cosyj+zk, o divergente é ∇∙F=2ex siny+1.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
V, F, V, F.
V, F, F, V.
F, F, V, V.
V, V, F, F.
F, V, V, F.
Pergunta 8
Funções de três variáveis é uma regra que associa pontos com três coordenadas a um número. Por ter três números de entrada, podem ser interpretadas como funções que representam propriedades ao longo de um certo volume. Assim, dada uma função, é necessário saber reconhecer qual o volume em questão.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções de três variáveis e conjuntos, analise as afirmativas a seguir.
I. O domínio da função f(x,y,z)=√(1-x²-y²-z²) é D={(x,y,z) | x²+y²+z²≥1}.
II. Funções de três variáveis podem ser representados em um espaço de três dimensões.
III. As curvas de nível de uma função de três variáveis podem ser representadas em um espaço de três dimensões.
IV. O domínio da função f(x,y,z)=√(16-x²-y²)/(x-z+2) é D={(x,y,z) | x²+y²≤16 e z≠x+2}.
Está correto apenas o que se afirma em:
I, II e IV.
I, II e III.
I, III e IV.
II e IV.
I e II.
Pergunta 9
É importante entender o comportamento geral de uma função de duas variáveis. Para isso, deve-se observar atentamente quais são as componentes em cada direção dessa função. Isto é, quais os tipos de função, ordem polinomial etc. Por exemplo, em uma variável, a função f(x)=sinx é periódica, portanto, sua representação gráfica também deve ser.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções de duas varáveis, analise as funções disponíveis a seguir e associe-as com suas respectivas características.
1) f(x,y)=x^2+y^2;
2) f(x,y)=1-x^2;
3) f(x,y)=sin⁡x;
4) f(x,y)=x+y;
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
4, 3, 1, 2.
3, 2, 4, 1.
2, 3, 4, 1.
1, 2, 3, 4.
3, 1, 4, 2.
Pergunta 10
Para fazer o esboço de uma função, um dos primeiros passos é entender onde a função cruza os eixos das coordenadas cartesianas. Para se determinar isso, basta zerar as outras variáveis referentes aos outros eixos. Por exemplo, f(x,y)=x+y2-3, fazendo y=0, temos f(x,0)=x-3. Fazendo f(x,0)=0, temos que a função cruza o eixo x em x=3.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s)verdadeira(s) e F para(s) falsa(s). 
I. ( ) A função f(x,y)=1 não cruza os eixos x e y.
II. ( ) A função f(x,y)=1-x-y cruza os eixos x e y respectivamente em x=1 e y=1.
III. ( ) A função f(x,y)=√(x2+y2 ) cruza o eixo y em y=1.
IV. ( ) A função f(x,y)=√(16+x2+y2 ) cruza o eixo z em f(0,0)=4.
V, V, F, V
V, V, F, F
V, V, V, F
V, F, V, F
F, V, F, V
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