Matematicas Simplificadas-307

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1 
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
894
División de un segmento en una razón dada
Sea el segmento defi nido por los puntos P x1 1( ) y P x2 2( ) , si P x( ) es un punto sobre el segmento P P1 2 , entonces P lo 
divide en los segmentos P P1 y PP2 en la razón r.
 P1 P P2
PP1 2PP
Donde la razón se defi ne como:
r
P P
PP
= 1
2
o r P P PP= 1 : 2
Siendo P P x x1 1= − y PP x x2 2= − , por tanto:
r
x x
x x
= −
−
1
2
, con x x2 ≠
Finalmente, la coordenada del punto de división P es:
x
x rx
r
= +
+
1 2
1
, con r ≠ −1
Determina la distancia entre los siguientes pares de puntos.
 EJERCICIO 1
 1. A(– 2) y B(1) 5. A
3
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ y B −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
2 
9. P(3a) y Q(– 2a)
 2. P1(– 5) y P2(– 1) 6. S (– 0.5) y T
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 
10. P a1
2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ y P a2
5
12
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 3. M −( )3 y N 4 3( )
 
7. S
3
8
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ y T −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
6
 4. P(– 6) y Q −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
7
2 
8. A
6
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ y B −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
11
5
Para los puntos: A(–3), B(4), C
3
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ y D −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
2
, obtén las siguientes distancias dirigidas:
 11. AB
 12. DC
 13. AD
 14. BA
 15. CB
 16. DA
 17. DB
 18. CA
 19. BC
 20. CD
 Ú Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 
1
 GEOMETRÍA ANALÍTICA • Geometría analítica unidimensional
895
El punto P −( )3 se encuentra entre los puntos P1 5−( ) y P2 0( ) . Encuentra la razón en que el punto P divide al seg-
mento P P1 2 .
Solución
Se sustituyen en la fórmula los siguientes valores: x = – 3, x1 = – 5 y x2 = 0.
r = 
x x
x x
−
−
1
2
 = 
− − −( )
− −( )
3 5
0 3
=
− +
+
3 5
0 3
=
2
3
Por consiguiente, la razón es igual a: 
2
3
.
¿Cuál es la razón r = P P PP1 2: en que el punto P(– 2) divide al segmento P P1 2 , cuyas coordenadas son P1 3( ) y
P2 1−( ) ?
Solución
Dados x = – 2, x1 = 3 y x2 = – 1, se sustituyen en la fórmula de la razón para obtener como resultado:
r = 
x x
x x
−
−
1
2
= 
− −
− − −( )
2 3
1 2
 = 
−
− +
5
1 2
 = 
−5
1
 = – 5
El signo negativo de la razón indica que el punto P(– 2) se encuentra sobre la misma recta, pero fuera del segmento P P1 2 .
P P2 P1
(–2) (–1) (3)
• • •
Determina la coordenada del punto de división del segmento defi nido por los puntos: A(– 1) y B
4
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ si están en la 
relación r
AP
PB
= = − 1
2
.
Solución
Se identifi can y sustituyen en la fórmula correspondiente los valores, para obtener:
x
x rx
r
= +
+
1 2
1
⇒ x =
− + −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
1
2
4
3
1
1
2
=
− −
−
1
2
3
1
1
2
=
− 5
3
1
2
= − 10
3
Por tanto, la coordenada del punto P es − 10
3
.
22
33
1
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
 1 
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
896
Punto medio
Es aquel que divide a un segmento en dos partes iguales. La coordenada del punto medio, Pm, del segmento defi nido 
por los puntos P x1 1( ) y P x2 2( ) , se determina tomando la razón r = 1.
Se sustituye en x
x rx
r
= +
+
1 2
1
 y se obtiene la coordenada del punto medio que es:
x
x x
m = +1 2
2
Encuentra la razón en que el punto P divide al segmento, cuyos extremos son P1 y P2.
 EJERCICIO 2
 1. P1(– 3), P2(9) y P(0) 5. P1 −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
7
, P2(4) y P(– 1)
 2. P1( 4), P2(– 6) y P(2) 6. P1 −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
2
, P2
3
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 y P
1
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 3. P1(–10), P2(2) y P(– 4) 7. P1 −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
5
8
, P2
5
8
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 y P
1
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 4. P1(– 5), P2(0) y P(2) 8. P1 −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
4
, P2 −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
5
4
 y P(1)
Determina el valor de la coordenada del punto P(x) que divide a los siguientes segmentos, en las razones que se indican 
a continuación:
 9. P1(– 2), P2(6) y r = − 1
4 
12. P1
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ , P2
9
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 y r = 1
 10. P1 −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
2
, P2(4) y r = – 3 13. P1 −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
5
, P2 −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
7
4
 y r =
1
2
 11. P1(– 4), P2(2) y r =
1
3 
14. P1 −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
10
, P2
4
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 y r = − 1
5
Determina el punto medio del segmento, cuyos extremos son P1 6−( ) y P2 4( ) .
Solución
Se sustituyen en la fórmula los valores de x1 6= − y x2 4= , para obtener como resultado:
x
x x
m = +1 2
2
⇒ xm = − +6 4
2
 = 
−2
2
 = – 1
Por tanto, resulta que Pm −( )1 .
Uno de los extremos de un segmento es el punto P1 5−( ) y la coordenada de su punto medio es Pm −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
7
2
. ¿Cuál es la 
coordenada del otro extremo?
Solución
La coordenada que se desea encontrar es x2, se sustituye x1 5= − y xm = − 7
2
 en la fórmula, para después despejar x2 :
x
x x
m = +1 2
2
→ − = − +7
2
5
2
2x
 → x2 7 5= − + = – 2, se obtiene P2 2−( ).
22
1
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
 Ú Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente