Matematicas Simplificadas-311

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2 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
906
 Ú Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 
Determina la razón r
P P
PP
= 1
2
 en que el punto P divide al segmento de recta de extremos P1 y P2.
 1. P1(0, 2), P2(– 2, 4) y P(2, 0) 4. P1(3, 5), P2(–1, 4) y P(– 5, 3)
 2. P1(–1, 4), P2(0, 3) y P(3, 0) 5. P1
1
2
3
4
,⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
, P2( 2, 1) y P
1
3
13
18
,⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 3. P1(3, – 4), P2(0, 2) y P(2, – 2) 6. P1(– 5, 1), P2(4, 3) y P −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟3
13
9
,
Dados los extremos P1, P2 y la razón r
P P
PP
= 1
2
, encuentra las coordenadas del punto de división P del segmento P P1 2 .
 7. P1(4, 1), P2(5,– 2) y r = – 2 10. P1 −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
3
0, , P2(0, 4) y r =
1
2
 8. P1(0, 5), P2(6, – 1) y r = 5 11. P1(5, – 6), P2(1, 0) y r =
1
3
 9. P1(– 2, 3), P2(4, 5) y r =
2
3 
12. P1(a, 2b), P2(– 3a, 4b) y r = 1
13. Los puntos extremos de un segmento de recta son P1(– 2, 4) y P2(1, – 2), determina la razón r
P P
PP
= 1
2
 en la que el punto 
P(3, – 6) divide al segmento.
14. Si el punto P(x, y) está a una distancia cuatro veces mayor a P1(– 5, – 3) que a P2(6, 10) y queda entre P1 y P2, en-
cuentra las coordenadas de P.
15. Sean P1(6, – 8) y P2(4, 2), los extremos de un segmento P P1 2, el cual se prolonga hasta P, de tal manera que la longitud 
de P P1 sea tres veces la longitud de PP2 , encuentra las coordenadas de P.
16. Un punto P(– 14, – 4) está entre P1(– 6, 4) y P2(– 18, – 8). ¿En qué razón divide P al segmento P P1 2?
17. Dados los puntos P1(– 2, – 3) y P2(4, 3), ¿cuáles son las coordenadas del punto P(x, y) que divide al segmento de recta en 
la razón r
P P
PP
= 1
2
, de tal manera que la distancia de P a P1 sea el doble de distancia que a P2 y se encuentra entre P1 y P2?
18. Dados los puntos P1(– 1, 2) y P2(3, – 3), obtén las coordenadas del punto P(x, y) que está colocado fuera del segmento 
P P1 2 y que se encuentran a una distancia tres veces mayor a P1 que a P2.
19. Puesto que el punto (3, 2) divide al segmento de recta que determinan los puntos P1(2, 4) y P2(x2, y2) en la relación 
r =
3
2
, determina las coordenadas de P2.
20. Si P1(– 2, – 1) y P2(4, 5) son extremos del segmento P P1 2, encuentra las coordenadas del punto P(x, y) que divide 
al segmento de recta, de tal manera que la longitud de P P1 sea 
2
3
 de la longitud de PP2.
21. Sean P1(x1, y1) y P2(x2, y2) extremos de un segmento de recta, determina el valor de la razón r para que el punto 
P(x, y) divida al segmento en partes iguales, y deduce las coordenadas del punto medio.
22. Deduce las coordenadas de los puntos de trisección (que dividen en tres partes iguales) del segmento P P1 2 determinado 
por los puntos (x1, y1) y (x2, y2).
 EJERCICIO 6
 CAPÍTULO 2
 GEOMETRÍA ANALÍTICA • Geometría analítica bidimensional
907
Determina las coordenadas del punto medio del segmento, cuyos extremos son los puntos P1(5, 7) y P2(1, – 3)
Solución
Se sustituye x1 = 5, y1 = 7 y x2 = 1, y2 = – 3, en las fórmulas:
x
x x
m = + = + = =1 2
2
5 1
2
6
2
3 ; y
y y
m = + =
+ −( ) = =1 2
2
7 3
2
4
2
2
En consecuencia, el punto medio tiene coordenadas: Pm(3, 2).
Uno de los extremos de un segmento de recta es el punto (3, 2) y su punto medio es el punto (– 3, 5). Encuentra las 
coordenadas del otro extremo.
Solución
Conocidos los puntos P1(3, 2) y Pm(– 3, 5), se sustituyen los valores de las abscisas y las ordenadas en sus respectivas 
fórmulas y se realizan los despejes:
− = +
3
3
2
2x
 
5
2
2
2= + y
 (– 3)(2) = 3 + x2 (5)(2) = 2 + y2
 – 6 = 3 + x2 10 = 2 + y2
 – 6 – 3 = x2 10 – 2 = y2
 – 9 = x2 8 = y2
Entonces, se determina que las coordenadas del extremo P2 son: (– 9, 8).
22
1
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
Punto medio de un segmento de recta
El punto medio del segmento de recta con extremos P1(x1, y1) y P2(x2, y2), es aquel punto Pm(xm, ym) que lo divide en 
dos segmentos iguales.
Si el punto Pm = P divide a P P1 2 en dos segmentos de recta 
iguales, entonces: P P PP1 2=
r = 
P P
PP
PP
PP
1
2
2
2
= = 1
Por tanto, las coordenadas del punto medio son:
Pm
x x y y1 2 1 2
2 2
+ +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟,
 
P1
Pm
P2
X0
Y
yz
ym
y1
x1 xm xz
 2 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
908
¿Cuáles son las coordenadas de los puntos de trisección del segmento de recta determinado por los puntos P1(– 6, 2) y 
P2(3, 5)?
Solución
Al sustituir los valores de las abscisas y ordenadas en las fórmulas se obtienen los puntos:
P
2 6 3
3
2 2 5
3
−( ) + ( ) +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
, ; P ' ,
− + ( ) + ( )⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
6 2 3
3
2 2 5
3
P(– 3, 3); P’ (0, 4)
Por tanto, los puntos de trisección del segmento de recta son P(– 3, 3) y P’(0, 4).
1
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
Determina las coordenadas del punto medio y de los puntos de trisección de los segmentos de recta defi nidos por los 
puntos:
 1. P1(3, 5) , P2(2, – 1) 4. P1(5, – 7) , P2(11, – 4)
 2. P1(0, 4) , P2(3, 7) 5. P1
1
2
1,⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
, P2
1
3
2,⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 3. P1(– 1, 3) , P2(9, 11) 6. P1
2
3
2,−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
, P2
1
4
1,⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 7. Si el punto medio de un segmento de recta es Pm 1 3, −( ) y un extremo del segmento es P1(7, – 1), ¿cuál es la coor-
denada del otro extremo?
 8. Los puntos medios de los lados de un triángulo son (– 2, 3), (2, 7), (3, 5). Encuentra las coordenadas de los vértices.
 9. Los vértices de un triángulo son A(– 4, 1), B(2, 7) y C(– 2, – 3). Si D es el punto medio del AB y E es el punto medio 
del lado BC , demuestra que la longitud del DE es la mitad de la longitud del AC .
 EJERCICIO 7
 Ú Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 
Puntos de trisección de un segmento de recta 
Los puntos de trisección P y P’ del segmento de recta, cuyos extremos son los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son aquellos 
que lo dividen en tres partes iguales.
Para el punto P la razón es 
1
2
 y sus coordenadas son:
P
2
3
2
3
1 2 1 2x x y y+ +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟, 
Para el punto P’ la razón es 2 y sus coordenadas son:
P’
x x y y1 2 1 22
3
2
3
+ +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟, 
P
P’ 
P2
X
P1
Y
0