Operações Matemáticas Básicas

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Professora Luana Cavalcanti
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SUMÁRIO
MATEMÁTICA PARA CONCURSOSMATEMÁTICA PARA CONCURSOS
Sistema de Numeração Decimal;
Operações Básicas (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação
e radiciação) com números naturais;
Números Primos
Fatoração
Múltiplos; 
Divisores;
Mínimo Múltiplo Comum;
Máximo Divisor Comum;
Fração (Operações com frações);
Números Decimais (Operações com números decimais);
Porcentagem;
Área das figuras planas;
Unidades de Medidas (Medidas de comprimento, capacidade, área,
tempo, velocidade e massa);
Juros Simples e Juros Compostos;
Média;
Noções de Estatísticas;
Sistemas Lineares;
Progressão Aritmética e Geométrica;
Análise Combinatória;
Trigonometria no Triângulo Retângulo;
Sequência lógica ;
Álgebra básica;
Logaritmo;
Matrizes e Determinantes;
Equação do segundo grau;
Conjuntos.
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Sistema de Numeração Decimal
 No sistema de numeração decimal, os números são organizados com base no agrupamento de
algarismos indo-arábicos, e com eles é possível escrever qualquer número.
Algarismos indo-arábicos → 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• Possui símbolos diferentes para representar 
quantidades de 1 a 9 e um símbolo para representar 
a ausência de quantidade (zero).
• Como é um sistema posicional, mesmo tendo 
poucos símbolos, é possível representar todos os 
números.
• As quantidades são agrupadas de 10 em 10, e 
recebem as seguintes denominações:
10 unidades = 1 dezena
10 dezenas = 1 centena
10 centenas = 1 unidade de milhar, e assim por diante.
Realizando a decomposição:
a) 854
 4 unidades
 50 unidades ou 5 dezenas
 800 unidades, 80 dezenas ou 8 centenas
A classe de um número é determinada separando-o de três em três algarismos:
Classe das unidades simples: da 1ª ordem até a 3ª ordem
Classe dos milhares: da 4ª ordem até a 6ª ordem
Classe do milhão: da 7ª ordem até a 9ª ordem
Classe das centenas de milhões: da 10ª ordem até a 12ª ordem
a) 2.867
Leitura e escrita: Dois mil oitocentos e sessenta e sete
Decomposição: 7 unidades, 6 dezenas, 8 centenas e 2 unidades de milhar
O 2 pertence a 4ª ordem na classe dos milhares, e o 867 pertence a classe das unidades simples.
Seguindo o exemplo acima, treine:
12.923
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Operações básicas (adição,subtração,multiplicação, divisão, potenciação e
radiciação) com números naturais
 ADIÇÃO: na adição existe o cálculo de adicionar números naturais a outros. Essa operação matemática
também é conhecida popularmente como soma.
 8 (parcela) + 2 (parcela) = 10 (soma ou total)
 As propriedades da adição são:
- Elemento neutro: zero, ou seja, qualquer número somado a zero terá como resultado ele mesmo. Ex.: 8 +
0 = 8.
- Comutativa: a ordem de duas parcelas não altera o total . Ex.: 8 + 2 = 10 e 2 + 8 = 10.
- Associativa: a ordem de mais de duas parcelas também não altera o resultado, mas é necessário
considerar a regra do uso dos parênteses, que significa que deve-se iniciar a adição a partir do que está
dentro deles. Ex.: 8 + (2 + 1) = 11 e (8 + 2) + 1 = 11.
 SUBTRAÇÃO: abrange a redução de um número por outro. Utilizado quando se quer a diferença de dois
ou mais valores.
 8 (minuendo) – 2 (subtraendo) = 6 (diferença ou resto)
 MULTIPLICAÇÃO: está intimamente relacionada à adição, pois pode-se dizer que ela é a soma de um
número pela quantidade de vezes que deverá ser multiplicado. O símbolo mais conhecido é o (x), mas
muitas pessoas utilizam o (*) ou (.) para representar essa operação. 
 8 (fator) x 3 (fator) = 24 (produto)
Observe que o exemplo também poderia ser representado: 8 + 8 + 8 = 24.
 As propriedades da Multiplicação são:
- Comutativa: a ordem dos fatores não altera o produto. Ex.: 8 x 2 = 16 e 2 x 8 = 16.
- Associativa: quando tem mais de dois fatores não importa a sua ordem, pois o resultado será o mesmo.
Ex.: (3 x 5) x 2 = 30 ou 3 x (5 x 2) = 30
- Distributiva: quando temos que multiplicar e somar devemos iniciar o cálculo pela multiplicação, mesmo
que a soma esteja dentro de parênteses. Ex.: 2 x (3 + 3) = (2 x 3) + (2 x 3) = 6 + 6 = 12.
- Elemento neutro: número 1, sendo que qualquer número multiplicado por ele resultará nele mesmo.
 DIVISÃO: nessa operação é possível dividir dois números em partes iguais.
 divisão exata: quando o resto é zero 30 (dividendo) ÷ 2 (divisor) = 15 (quociente) 0 (resto)
 divisão inexata: quando o resto é diferente de zero 31 (dividendo) ÷ 2 (divisor) = 15 (quociente) 1 (resto)
 As propriedades da divisão são as seguintes:
- A ordem dos elementos altera o resultado final, pois não é comutativa. Ex.: 8 ÷ 2 = 4 é diferente de 2 ÷ 8 =
0,25.
- Não é associativa; na divisão os parênteses devem ser resolvidos primeiro. Ex.: (6 ÷ 3) ÷ 3 = 3 ÷ 3 = 1 é
diferente de 6 ÷ (3 ÷ 3) = 6 ÷ 1 = 6.
- Elemento neutro: número 1, ou seja, o valor dividido por ele terá como resultado ele mesmo.
Palavras chaves em questões:
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Operações básicas (adição,subtração,multiplicação, divisão, potenciação e
radiciação) com números naturais
 POTENCIAÇÃO: é uma operação matemática que representa a multiplicação sucessiva de um número por
ele mesmo. 
 
 Como ler uma potência:
a) 2³ → Dois elevado a três, ou quatro elevado à terceira potência, ou dois elevado ao cubo.
c) (-2)¹ → Menos dois elevado a um, ou menos dois elevado à primeira potência.
d) 5² → Cinco elevado a dois, ou cinco elevado à segunda potência, ou cinco elevado ao quadrado.
 Como calcular: para encontrar o valor de uma potência, precisamos realizar as multiplicações como nos
exemplos a seguir:
a) 3²= 3 · 3 = 9
b) 5³= 5·5·5 = 125 ( 5x5=25 25x5=125)
c) 10³ = 10 · 10 · 10 = 1 000, no caso de potências de base 10, você repete o 1 e acrescenta o zero na
quantidade que o expoente pedir.
 Regrinhas básicas:
– Quando a base for diferente de zero, podemos afirmar que todo número elevado a zero é igual a 1.
ex.: a) 10 elevado a zero =1
 b) 1293 elevado a zero =1
- Todo número elevado a 1 é ele mesmo.
ex.: a) 23¹ = 23
 b) 125¹ = 125
- 1 elevado a qualquer potência é igual a 1.
 ex.: a) 1²¹ = 1
 b) 1500=1
 RADICIAÇÃO (raiz quadrada): é a operação matemática inversa à potenciação. Enquanto a potenciação é
uma multiplicação na qual todos os fatores são iguais, a radiciação procura descobrir que fatores são esses,
dando o resultado dessa multiplicação.
 
Dada a potência: 3²= 3 · 3 = 9 , dizemos então que a raiz quadrada de 9 é 
igual a 3, pois o 3 multiplicado por ele mesmo é igual a 9.
Tabela com 27 raízes quadradas exatas, lembrando que as raízes quadradas são infinitas.
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https://escolakids.uol.com.br/matematica/multiplicacao.htm
OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
Sinais iguais na soma ou subtração, soma os números e conserva o sinal.
+ 9 + 5 = + 14
+ 12 + 40 = + 52
– 5 – 3 = – 8
– 56 – 12 = – 68
Sinais diferentes conserva o sinal do maior número e subtrai.
+ 5 – 4 = + 1
3 – 9 = – 6
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
Regra do sinal: 
Sinais iguais, resultado positivo.
Sinais diferentes, resultado negativo.
(+) . (+) = (+)→ Operação de Multiplicação
(–) . (–) = (+) → Operação de Multiplicação
(+) : (+) = (+) → Operação de Divisão
(–) : (–) = (+) → Operação de Divisão
(+ 2) . (+ 4) = + 8 (- 4) . (- 10) = + 40 (- 20) : (- 2) = + 10 (+ 15) : (+ 3) = + 5 (+ 6) . (– 7) = – 42
(– 12) . (+ 2) = – 24 (+ 100) : (– 2) = – 50 (– 125) : (+ 5) = - 25
Os múltiplos de um número são obtidos ao multiplicar-se esse número por todos os inteiros.
Por exemplo, listemos os 8 primeiros múltiplos de 3. Para isso temos que multiplicar o número 3 pelos 8
primeiros números inteiros, assim:
8 · 0 = 0 8 · 1 = 8 8 · 2 = 16 8 · 3 = 24 8 · 4 = 32 8 · 5 = 40 8 · 6 = 48 8 · 7 = 56 
Portanto, os múltiplos de 8 são:
M(8) = {0,8,16,24,32,40,48,56}
O 0 é múltiplo de todos os números;
O conjunto os múltiplos é infinito.
→ O número 49 é múltiplo de 7, pois existe número inteiro que, multiplicado por 7, resulta em 49.
 49 = 7 · 7
→ O número 324 é múltiplo de 3, pois existe número inteiro que, multiplicado por 3, resulta em 324.
324 = 3 · 108
→ O número 523 não é múltiplo de 2, pois não existe número inteiro que, multiplicado por 2, resulte em
523.
523 = 2 · ?
Os divisores de um número dado são aqueles divisíveis por ele com resto 0.
→ 22 é múltiplo de 2, então, 2 é divisor de 22.
→ 63 é múltiplo de 3, logo, 3 é divisor de 63.
→ 121 não é múltiplo de 10, assim, 10 não é divisor de 121.
Liste os divisores de 2, 3 e 20.
D(2) = {1, 2}
D(9) = {1, 3, 9}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
O 1 é divisor de todos os números;
 Os números da lista dos divisores sempre são divisíveis pelo número em 
 questão e que o maior valor que aparece nessa lista é o 
 próprio número, pois nenhum número maior
 que ele será divisível por ele.
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MÚLTIPLOS
DIVISORES
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É todo número que possui apenas dois divisores, o 1 e ele mesmo.
O 1 não é um número primo, pois ele possui apenas um divisor;
O 2 é o único primo que é par, todos ps outros são ímpares;
o 5 é o único primo terminado em 5.
Crivo de Eratóstenes
O método mais usado para essa tarefa é o crivo de Eratóstenes, o qual permite encontrar todos os
números primos entre dois números.
 Todos os números primos(amarelos) de 1 até 100 utilizando esse método:
Fatorar é o mesmo que decompor o número em fatores primos, isto é, escrever um número através da
multiplicação de números primos.
24 = 2 x 2 x 2 x 3 ou 10 = 2 x 5
 O número a ser fatorado deverá ocupar a coluna da esquerda e a coluna da direita será preenchida com
os fatores primos. Ao dividir o número pelo algarismo primo os resultados deverão ser colocados na
coluna da direita. As divisões deverão ser efetuadas no intuito de simplificar ao máximo o número, isto é
reduzi-lo ao número 1.
Portanto, a forma fatorada do número 40 é 2 x 2 x 2 x 5, que é o mesmo que 2 elevado ao cubo x 5.
O MMC é o menor valor que pode ser múltiplo de dois ou mais números. O cálculo do mínimo múltiplo
comum (MMC) serve para facilitar a resolução de problemas matemáticos que envolvam dois ou mais
números. 
Ex.: encontrar o Mínimo Múltiplo Comum de 40 e 60.
 
 A multiplicação dos fatores primos 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120, ou seja o MMC 
 de 40 e 60 é 120.
 - Vale lembrar que as divisões serão feitas pelo menor número 
 primo possível, mesmo que esse número divida apenas um dos 
 componentes.
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NÚMEROS PRIMOS
FATORAÇÃO
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C)
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O MDC é encontrado quando multiplicamos os fatores que dividem simultaneamente os números
fatorados.
Na fatoração de 40 e 60, podemos perceber que o número 2 foi capaz de dividir duas vezes o quociente
da divisão e o número 5 uma vez.
 Portanto, o MDC de 40 e 60 é: 2 x 2 x 5 = 20.
 Uma fração é um número usado para representar parcelas de um valor inteiro que foi dividido em partes
iguais. Qualquer número que pertença ao conjunto dos números racionais é resultado da divisão entre
dois números inteiros. Podemos representar esses números de duas formas: por meio de números
decimais ou por meio de frações. 1/2 = 0,5
 Frações próprias quando o numerador é menor que o denominador. ex.: 2/5
 Frações impróprias quando o numerador é maior que o denominador. ex.: 5/2
 Frações de uma quantidade é quando queremos saber certa quantidade de um
 todo que foi divido em partes iguais.
 Primeiro divida o numerador pelo denominador para ver se o resultado é um 
número inteiro. Se o resultado não for um número inteiro, você deve simplificar 
a fração dividindo o numerador e o denominador pelo maior fator comum.
 
 300:3=100
 100.2= 200, então 2/3 de 300 ml, correspondem a 200 ml de leite.
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
 Se os denominadores forem iguais, realiza a soma ou a subtração, repetindo o denominador e calculando
o numerador, caso possível, simplifique.
 Se os denominadores forem diferentes, terá que encontrar o denominador comum, através do M.M.C, o
resultado encontrado será dividido pelos denominadores que são diferentes e multiplicado pelo
numerador, cada um por vez.
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MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)
FRAÇÃO
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https://escolakids.uol.com.br/algoritmo-da-divisao.htm
MULTIPLICAÇÃO
 Multiplica numerador por numerador e denominador por denominador. Após multiplicar, simplifique se
possível.
DIVISÃO 
 Repita a primeira fração e faça o inverso da segunda. Está dividindo, ficará multiplicando. Resolve do
mesmo jeito que a multiplicação.
Na multiplicação e divisão não importa se os denominadores são iguais ou diferentes, se resolve sempre
pelo mesmo método.
Frações Equivalentes são aquelas que possuem o mesmo valor numérico, ou seja, ao dividir numerador por
denominador, encontramos o mesmo resultado.
Simplificação de frações é dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número simultaneamente até
chegar na fração irredutível, ou seja, aquela fração que não tem como mais simplificar. Simplificar
também é encontrar uma ou mais frações equivalentes, pois todas elas representam uma parte de um
todo.
 São números racionais que podem ser positivos ou negativos e possuem vírgula. Por exemplo: 1,2 , 0,005
12,3456.
 Números Fracionários
Embora possam ter um valor correspondente, os números fracionários são expressos da seguinte
maneira:
½ (um meio) que corresponde ao decimal 0,5
¾ (três quartos) que corresponde ao decimal 0,75
 Leitura e escrita
0,1: um décimo
0,4: quatro décimos
0,01: um centésimo
0,35: trinta e cinco centésimos
0,125: cento e vinte e cinco milésimos
1,50: um inteiro e cinquenta centésimos
2,1: dois inteiros e um décimo
 
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NÚMEROS DECIMAIS
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Operações com Números Decimais: Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão
 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO vírgula abaixo de vírgula.
MULTIPLICAÇÃO ignora a vírgula no momento de responder, multiplica normal. Após a multiplicação a
quantidade de casas decimais(números depois da vírgula) indicará quantas casas você terá que pular
para adicionar a vírgula no resultado.
DIVISÃO realiza a divisão normal, apenas equilibrando as casas decimais quando necessário com o zero.
Qualquer razão que tenha como denominador o número 100, e utilizamo-la para comparar a partes de
um todo, por exemplo, se eu digo 30%, isso significa que tenho 30 partes de algo que foi divido em 100
partes. Existem três formas de representar-se a porcentagem: a percentual, a fracionária e a decimal.
Representação percentual é a representação que utiliza o símbolo %, como nos exemplos a seguir:
→ 20% (lê-se: vinte por cento)
→ 5% (lê-se: cinco por cento)
→ 13,25% (lê-se: treze vírgula vinte e cinco por cento)
Representação fracionária utilizada para cálculos envolvendo porcentagem. Basta escrever uma 
ração do número sobre 100.
Representação decimal também pode ser utilizada para realização de cálculos, como vimos, 
20% significa a divisão de 20 por 100, então, para representar-se essa porcentagem na 
forma decimal, basta a divisão:
 20% = 20 : 100 = 0,20 = 0,2 5% = 5 : 100 = 0,05
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PORCENTAGEM
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https://escolakids.uol.com.br/matematica/razao-proporcao.htm
https://escolakids.uol.com.br/matematica/o-que-e-fracao.htm
Como calcular a porcentagem: 20% de 400.
Método 1: Para isso, multiplica a 20 por 400 e o resultado divide por cem, ou divide 20 por 100 e o
resultado multiplica por 400.
20% → 0,2
0,2 · 400 = 80 ou 
Também pode ser realizado uma regra de três simples: Um aparelho eletrônico de 750 reais tem um
desconto de 90 reais. Qual o valor em porcentagem do desconto?
 Valor Porcentagem
 750 100
 90 x
Multiplicando cruzado: 750x = 90 · 100
 750x = 9 000
 x = 9 000 : 750
 x = 12 O desconto será de 12%.
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ÁREA
 É a medida da superfície de uma figura plana. A unidade da área é elevado ao quadrado.
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 Medidas de Comprimento existem várias medidas de comprimento, como por exemplo a jarda, a
polegada e o pé. No SI a unidade padrão de comprimento é o metro (m).
Os múltiplos e submúltiplos do metro são: quilômetro (km), hectômetro (hm), decâmetro (dam),
decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).
 
 Medidas de Capacidade, a mais utilizada é o litro (l). São ainda usadas o galão, o barril, o quarto, entre
outras.
Os múltiplos e submúltiplos do litro são: quilolitro (kl), hectolitro (hl), decalitro (dal), decilitro (dl), centilitro
(cl), mililitro (ml).
 Medidas de Massa
No Sistema Internacional de unidades a medida de massa é o quilograma (kg). Um cilindro de platina e
irídio é usado como o padrão universal do quilograma.
As unidades de massa são: quilograma (kg), hectograma (hg), decagrama (dag), grama (g), decigrama (dg),
centigrama (cg) e miligrama (mg). São ainda exemplos de medidas de massa a arroba, a libra, a onça e a
tonelada. Sendo 1 tonelada equivalente a 1000 kg.
 TABELA GERAL PARA CONVERSÃO
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UNIDADES DE MEDIDAS
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 Medidas de Área é uma parte da Geometria que possui uma variedade de aplicações no cotidiano. A
área pode ser calculada através do produto entre duas dimensões do plano: comprimento x largura ou
base x altura. Existem algumas expressões algébricas matemáticas que são associadas a figuras
geométricas, possibilitando o cálculo de suas áreas. As unidades usuais de áreas, de acordo com o SI
(sistema internacional de unidades), são as seguintes:
km² = quilômetro quadrado
hm² = hectômetro quadrado
dam² = decâmetro quadrado
m² = metro quadrado
dm² = decímetro quadrado
cm² = centímetro quadrado
mm² = milímetro quadrado
 O procedimento para o cálculo da área de uma região plana exige que todas as dimensões estejam
numa mesma unidade de comprimento.
 
 TABELA GERAL PARA CONVERSÃO
 Transformando 1m² (metro quadrado) em cm² (centímetro quadrado)
1º passo: transformar m² em dm²
2º passo: transformar dm² em cm²
Pelo processo prático podemos multiplicar o m² por 100x100 (10 000)
1 x 100 x 100 = 10 000 → 1m² = 10 000cm²
Medidas de Tempo foram inventadas, ao longo da história, devido às necessidades das civilizações de
controlar os dias e as horas, o que auxiliava as tomadas de decisões na época, como o mês melhor para
cultivo, a medição das cheias do rio, entre outras coisas. Hoje elas ainda são essenciais, pois se tornou
inimaginável uma sociedade que não meça o tempo.
 Existem vários instrumentos que utilizamos para medir essa grandeza: controlamos os dias em relação
ao ano com base no calendário, controlamos as horas, os minutos e os segundos com base no relógio, e,
para medir a variação de tempos mais curtos, utilizamos cronômetros.
 Para realizar a conversão da unidade de medida de tempo, de horas para minutos ou de minutos
 para segundos, realizamos a multiplicação por 60, pois sabemos que uma hora possui 60 minutos 
e que um minuto possui 60 segundos. Como consequência, quando a conversão é no sentido 
contrário, ou seja, de segundos para minutos e de minutos para horas, realizamos a divisão por 60.
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 A primeira forma de medir-se o tempo era analisando-se a posição do Sol em relação à Terra, por isso,
foram criados os conhecidos hoje como relógios de sol, utilizados para medir-se as horas ao decorrer do
dia. Hoje utilizamos o relógio movido à bateria para essa função. Foram surgindo outros instrumentos,
como as ampulhetas e o cronometro, que servem para medir espaços de tempo menores.
 Ao longo da história, também foram conhecidos vários calendários, que servem para medir os dias e
meses em relação ao ano. Povos antigos fizeram calendários diferentes e dividiram os anos de forma
diferente. Hoje o mais comum é o calendário gregoriano, utilizado na maioria dos países. Vale ressaltar
que tanto os dias quanto os anos levam em consideração a posição dos astros em relação à Terra, e, por
isso, houve grande interesse na astrologia desde os povos mais antigos.
 Conhecemos outras unidades de medidas de tempo que surgem por meio das unidades citadas, como
bimestre, semestre, século, década, quinzena. A tabela a seguir contém as unidades de tempo presentes
no dia a dia.
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 Medidas de Velocidade, para a transformação entre as unidades de velocidade quilômetro por hora
(km/h) e metro por segundo (m/s) é feita por meio do fator 3,6.
 É um tipo de juro corriqueiro no nosso cotidiano. Quando atrasamos o pagamento de uma conta, por
exemplo, é bastante comum a cobrança de juro e multa, e essa cobrança é feita em cima do valor da
dívida, ou seja, quanto maior o seu valor, maior será o juro. Sendo assim, o juro é um valor acrescentado a
um capital ao longo do tempo.
A fórmula do juro simples é: J = C ∙ i ∙ t
J → juro
C → capital
i → taxa de juro
t → tempo
 É calculadotendo como base o valor inicial, conhecido como capital, a taxa de juro e o tempo. Para
calcular o juro simples, basta substituir os valores na fórmula e realizar o cálculo.
 Observações importantes:
 É importante que a taxa de juro e o tempo estejam sempre na mesma unidade de tempo. Por exemplo,
se o tempo for medido ao mês, a taxa de juro também deve ser ao mês. Se o tempo for medido em anos,
a taxa de juro deve ser ao ano. Se necessário, podemos transformar anos em meses, meses em dias e
assim por diante.
 O montante é outro conceito muito importante no estudo do juro simples. Conhecemos como montante
o valor do capital somado ao juro, geralmente representado por M. A fórmula para calcular o montante é:
 M = C + J
 Os juros compostos são recorrentes nas relações comerciais, nas compras parceladas a longo
 prazo, nos investimentos, nos empréstimos e até mesmo no simples atraso do pagamento de 
contas. O juros pode ser um aliado ou um vilão. É importante dominar os fatores que 
influenciam o seu cálculo, que são o capital, a taxa de juros, o tempo e o montante.
JUROS SIMPLES
JUROS COMPOSTOS
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 Ao comparar o juros composto com o juros simples, precisamos entender que o primeiro é calculado
sempre sobre o valor do exercício anterior, já o segundo é calculado sempre em cima do valor inicial. O
juros composto terá maior crescimento com o passar do tempo, em comparação com o juros simples.
"O cálculo do juros composto é dado por esta fórmula:
 M = C (1 + i)t
Cada uma dessas letras é um importante conceito da matemática financeira:
Capital (C): é o primeiro valor investido. Conhecemos como capital o valor inicial da negociação, ou seja,
ele é o valor de referência para calcularmos os juros com o passar do tempo.
Juros (J): é o valor de compensação para o rendimento. Quando uma instituição financeira faz um
empréstimo, ela está abdicando-se de estar com esse dinheiro em um determinado prazo, porém,
quando ela for recebê-lo, seu valor será corrigido pelo que chamamos de juros, e é com base nele que a
empresa vê uma compensação pelo empréstimo. Em um investimento, trata-se do valor dos rendimentos
adquiridos.
Taxa de juros (i): é a porcentagem cobrada em cima do capital a cada instante. Essa taxa pode ser ao dia
(a.d.), ao mês (a.m.), ao bimestre (a.b.) ou ao ano (a.a.). A taxa de juros é uma porcentagem geralmente
representada na forma percentual, porém, para calcular-se o juros composto, é importante escrevê-la
sempre na forma decimal.
Tempo (t): é o tempo em que o capital ficará aplicado. É importante que a taxa de juros (i) e o tempo (t)
estejam sempre na mesma unidade de medida.
Montante (M): é o valor final da transação. O montante é calculado pela soma do capital com os juros — M
= C + J.
 A Média Aritmética de um conjunto de dados é obtida somando todos os valores e dividindo o valor
encontrado pelo número de dados desse conjunto.
É muito utilizada em estatística como uma medida de tendência central.
Pode ser simples, onde todos os valores possuem a mesma importância, ou ponderada, quando
considera pesos diferentes aos dados.
Média Aritmética Simples
Esse tipo de média funciona de forma mais adequada quando os valores são relativamente uniformes.
Por ser sensível aos dados, nem sempre fornece os resultados mais adequados. Isso porque todos os
dados possuem a mesma importância (peso).
Exemplo:
Sabendo que as notas de um aluno foram: 8,2; 7,8; 10,0; 9,5; 6,7, qual a média que ele obteve no 
curso?
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MÉDIA ARITMÉTICA
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 Média Aritmética Ponderada
A média aritmética ponderada é calculada multiplicando cada valor do conjunto de dados pelo seu peso.
Depois, encontra-se a soma desses valores que será dividida pela soma dos pesos.
 Exemplo:
Considerando as notas e os respectivos pesos de cada uma delas, indique qual a média que o aluno
obteve no curso.
 Estatística é uma ciência que estuda a coleta, a organização, a análise e registro de dados por amostras.
Utilizada desde a Antiguidade, quando se registravam os nascimentos e as mortes das pessoas, é um
método de pesquisa fundamental para tomar decisões. Isso porque fundamenta suas conclusões nos
estudos realizados.
Fases do método estatístico
Para tanto, as fases do método estatístico são:
Definição do problema: determinar como a recolha de dados pode solucionar um problema1.
Planejamento: elaborar como fazer o levantamento dos dados2.
Coleta de dados: reunir dados após o planeamento do trabalho pretendido, bem como definição da
periodicidade da coleta (contínua, periódica, ocasional ou indireta)
3.
Correção dos dados coletados: conferir dados para afastar algum erro por parte da pessoa que os
coletou
4.
Apuração dos dados: organização e contagem dos dados5.
Apresentação dos dados: montagem de suportes que demonstrem o resultado da coleta dos 6.
dados (gráficos e tabelas)
 7. Análise dos dados: exame detalhado e interpretação dos dados
 Aliada à probabilidade, pode ser aplicada nas mais diversas áreas. São exemplos a análise 
dos dados sociais, econômicos e demográficos. É o que faz o IBGE - Instituto Brasileiro de 
Geografia e Estatística. O IBGE é o órgão que fornece ao nosso país os dados necessários 
para a definição do modelo de planejamento mais adequado nas políticas públicas.
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NOÇÕES DE ESTATÍSTICAS
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https://www.todamateria.com.br/probabilidade/
 Princípios da estatística
Veremos, a seguir, os principais conceitos e princípios da estatística. Com base neles, será possível definir
conceitos mais sofisticados.
População ou universo estatístico
 A população ou universo estatístico é o conjunto formado por todos elementos que participam de um
determinado tema pesquisado.
Exemplos de universo estatístico
a) Em uma cidade, todos os habitantes pertencem ao universo estatístico.
b) Em um dado de seis faces, a população é dada pelo número de faces.
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
Dado estatístico
 O dado estatístico é um elemento que pertence ao conjunto da população, obviamente esse dado deve
estar envolvido com o tema da pesquisa.
Amostra
 Chamamos de amostra o subconjunto formado com base no universo estatístico. Uma amostra é
utilizada quando a população é muito grande ou infinita. Em casos em que coletar todas as informações
do universo estatístico é inviável por motivos financeiros ou logísticos, também se faz necessário a
utilização de amostras.
 A escolha de uma amostra é de extrema importância para uma pesquisa, e ela deve representar de
maneira fidedigna a população. Um exemplo clássico da utilização das amostras em uma pesquisa é na
realização do censo demográfico do nosso país.
 Variável 
 Em estatística, a variável é o objeto de estudo, isto é, o tema que a pesquisa pretende estudar. Por
exemplo, ao estudar-se as características de uma cidade, o número de habitantes pode ser uma variável,
assim como o volume de chuva em determinado período ou até mesmo a quantidade de ônibus para o
transporte público. Note que o conceito de variável em estatística é dependente do contexto da pesquisa.
 A organização dos dados em estatística dá-se em etapas, como em todo processo de organização.
Inicialmente é escolhido o tema a ser pesquisado, em seguida, é pensado o método para a coleta dos
dados da pesquisa, e o terceiro passo é a execução da coleta. Após o fim dessa última etapa, faz-se a
análise do que foi coletado, e assim, com base na interpretação, busca-se resultados. Veremos, agora,
alguns conceitos importantes e necessários para a organização dos dados.
 Rol
Em casosem que os dados podem ser representados por números, ou seja, quando a variável é
quantitativa, utiliza-se o rol para organização desses dados. Um rol pode ser crescente ou decrescente.
Caso uma variável não seja quantitativa, ou seja, caso seja qualitativa, não é possível utilizar-se o rol, por
exemplo, se os dados são sentimentos sobre determinado produto.
Exemplo: Em uma sala de aula, foram coletadas as alturas dos alunos em metros. São elas: 
1,70; 1,60; 1,65; 1,78; 1,71; 1,73; 1,72; 1,64.
Como o rol pode ser organizado de maneira crescente ou decrescente, segue que:
rol: {1,60; 1,64; 1,65; 1,70; 1,71; 1,72; 1,73; 1,78}
Observe que, com o rol já montado, é possível encontrar um dado com mais 
 facilidade.
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 Mediana
 A mediana é dada pelo elemento central de um rol que possui uma quantidade ímpar de elementos.
Caso o rol possua uma quantidade par de elementos, devemos considerar os dois elementos centrais e
calcular a média aritmética entre eles.
 Exemplo: Considere o rol a seguir.
(2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 9)
Veja que o elemento 4 divide o rol em duas partes iguais, logo, ele é o elemento central.
Exemplo: Calcule a mediana das idades do grupo de dança.
(18, 20, 20, 21, 21, 21, 22, 22, 25, 30)
 Veja que o número de elementos desse rol é igual a 10, logo, não é possível dividir o rol em duas partes
iguais. Assim devemos tomar dois elementos centrais e realizar a média aritmética desses valores.
 Moda
Chamaremos de moda o elemento do rol que possui maior frequência, ou seja, o elemento que mais
aparece nele.
Exemplo: Vamos determinar a moda do rol das idades do grupo de dança.
(18, 20, 20, 21, 21, 21, 22, 22, 25, 30)
O elemento que mais aparece é o 21, portanto, a moda é igual a 21.
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Sistemas Lineares
 Sistemas lineares são formados por duas ou mais equações lineares que possuem suas incógnitas
relacionadas. Eles podem ser resolvidos por meio de diferentes métodos.
 "A busca por valores desconhecidos fez com que fossem desenvolvidos métodos de 
 resolução de sistemas lineares, como o método da adição, igualdade e substituição
para 
 sistemas que possuem duas equações e duas incógnitas, e a regra de Crammer e o 
 escalonamento, que resolvem sistemas lineares de duas equações, mas que são mais 
 convenientes para sistemas com mais equações. Um sistema linear é um conjunto de 
 duas ou mais equações com uma ou mais incógnitas."
Equação linear
 O trabalho com equações existe devido à necessidade de encontrarmos valores desconhecidos de
incógnitas. Chamamos de equação quando temos uma expressão algébrica com igualdade, e ela é
classificada como linear quando o maior expoente de suas incógnitas é 1, conforme os exemplos a seguir:
2x + y = 7 → equação linear com duas incógnitas
a + 4 = -3 → equação linear com uma incógnita"
Resolução de sistemas lineares (Sistemas lineares com duas equações do 1º grau e duas incógnitas)
 Para resolver um sistema de duas equações e duas incógnitas, existem vários métodos, os três mais
conhecidos são:
método da comparação
método da adição
método da substituição
 Qualquer um dos três pode resolver um sistema linear de duas equações e duas incógnitas. Esses
métodos não são tão eficientes para sistemas com mais equações, já que existem outros métodos
específicos para resolvê-los.
 Método da substituição
 O método da substituição consiste em isolar uma das incógnitas em uma das equações e realizar a
substituição na outra equação.
Exemplo:
1º passo: isolar uma das incógnitas.
Chamamos de I a primeira equação e de II a segunda equação. Analisando as duas, vamos escolher a
incógnita que esteja mais fácil de ser isolada. Note que, na equação I → x + 2y = 5, o x não possui
coeficiente, o que faz com que seja mais fácil isolá-lo, logo, reescreveremos a equação I desta forma:
I → x + 2y = 5
I → x = 5 – 2y
2º passo: substituir I em II.
Agora que temos a equação I com o x isolado, na equação II, podemos substituir x por 5 – 2y.
II → 3x – 5y = 4
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Substituindo x por 5 – 2y:
3 (5 – 2y) – 5y = 4
 
Agora que a equação tem só uma incógnita, é possível resolvê-la para encontrar o valor de y.
Conhecendo o valor de y, encontraremos o valor de x realizando a substituição do valor de y na equação I.
I → x = 5 – 2y
x = 5 – 2 · 1
x = 5 – 2
x = 3
Então a solução do sistema é S = {3,1}.
Método da comparação
O método da comparação consiste em isolarmos uma incógnita nas duas equações e igualar esses
valores.
Exemplo:
1º passo: seja I a primeira equação e II a segunda, vamos isolar uma das incógnitas em I e II. Escolhendo
isolar a incógnita x, temos que:
2º passo: igualar as duas novas equações, já que x = x.
3º passo: substituir o valor de y por -2 em uma das equações.
x = -4 – 3y
x = -4 – 3 (-2)
x = -4 + 6
x = 2 Então a solução desse sistema é o conjunto S = {2,-2}.
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Método da adição
 O método da adição consiste em realizar a multiplicação de todos os termos de uma das equações, de tal
modo que, ao somar-se a equação I na equação II, uma de suas incógnitas fique igual a zero. 
Exemplo:
1º passo: multiplicar uma das equações para que os coeficientes fiquem opostos.
Note que, se multiplicarmos a equação II por 2, teremos 4y na equação II e -4y na equação I, e que, ao
somarmos I + II, teremos 0y, logo, vamos multiplicar todos os termos da equação II por 2 para que isso
aconteça.
I → 5x – 4y = -5
2 · II → 2x + 4y = 26
2º passo: realizar a soma I + 2 · II.
3º passo: substituir o valor de x = 3 em uma das equações.
Sistemas lineares com três equações do 1º grau e três incógnitas
 Quando o sistema possui três incógnitas, adotamos outros métodos de resolução. Todos esses métodos
relacionam os coeficientes com matrizes, e os métodos mais utilizados são a regra de Crammer ou o
escalonamento. Para a resolução em ambos os métodos, é necessário a representação matricial do
sistema, inclusive o sistema 2x2 pode ser representado por meio de uma matriz. Há duas possíveis
representações, a matriz completa e a matriz incompleta:
Exemplo:
O sistema 
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Pode ser representado pela matriz completa
E pela matriz incompleta
Regra de Crammer
 Para encontrarmos soluções de um sistema 3x3, com incógnitas x, y e z, utilizando a regra de Crammer, é
necessário calcularmos o determinante da matriz incompleta e suas variações. Temos então que:
D → determinante da matriz incompleta do sistema.
Dx → determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a coluna de x pela coluna dos
termos independentes.
Dy → determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a coluna de y pela coluna dos
termos independentes.
Dz → determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a coluna de z pela coluna dos
termos independentes.
Dessa forma, para encontrar o valor de suas incógnitas, primeiro precisamos calcular o determinante D,
Dx, Dy associado ao sistema.
Exemplo:
1º passo: calcular D.
2º passo: calcular Dx.
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 3º passo: então podemos encontraro valor do x, pois:"
4º passo: calcular Dy.
5º passo: então podemos calcular o valor de y:
6º passo: agora que conhecemos o valor de x e y, em qualquer uma das linhas podemos encontrar o valor
de z substituindo o valor de x e y e isolando o z. Outra opção é calcular Dz.
Substituindo x = 0 e y = 2 na primeira equação:
2x + y – z = 3
2 · 0 + 2 – z = 3
0 + 2 – z = 3
-z = 3 – 2
-z = -1 (-1)
 z = -1
Portanto, a solução do sistema é a terna (0,2,-1).
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Progressão Aritmética e Geométrica
 A progressão aritmética – PA é uma sequência de valores que apresenta uma diferença constante entre
números consecutivos.
 A progressão geométrica – PG apresenta números com o mesmo quociente na divisão de dois termos
consecutivos.
 Enquanto na progressão aritmética os termos são obtidos somando a diferença comum ao antecessor, os
termos de uma progressão geométrica são encontrados ao multiplicar a razão pelo último número da
sequência, obtendo assim o termo sucessor.
Progressão aritmética (PA)
 Uma progressão aritmética é uma sequência formada por termos que se diferenciam um do outro por
um valor constante, que recebe o nome de razão, calculado por:
Onde,
r é a razão da PA;
a2 é o segundo termo;
a1 é o primeiro termo.
Sendo assim, os termos de uma progressão aritmética podem ser escritos da seguinte forma:
Note que em uma PA de n termos a fórmula do termo geral (an) da sequência é:
an = a1 + (n – 1) r
 Alguns casos particulares são: uma PA de 3 termos é representada por (x - r, x, x + r) e uma PA de 5
termos tem seus componentes representados por (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r).
Tipos de PA
 De acordo com o valor da razão, as progressões aritméticas são classificadas em 3 tipos:
1. Constante: quando a razão for igual a zero e os termos da PA são iguais.
Exemplo: PA = (2, 2, 2, 2, 2, ...), onde r = 0
2. Crescente: quando a razão for maior que zero e um termo a partir do segundo é maior que o anterior;
Exemplo: PA = (2, 4, 6, 8, 10, ...), onde r = 2
3. Decrescente: quando a razão for menor que zero e um termo a partir do segundo é menor que o
anterior.
Exemplo: PA = (4, 2, 0, - 2, - 4, ...), onde r = - 2
 As progressões aritméticas ainda podem ser classificadas em finitas, quando possuem um determinado
número de termos, e infinitas, ou seja, com infinitos termos.
 
Soma dos termos de uma PA
 A soma dos termos de uma progressão aritmética é calculada pela fórmula:
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 Onde, n é o número de termos da sequência, a1 é o primeiro termo e an é o enésimo termo. A fórmula é
útil para resolver questões em que é dado o primeiro e o último termo.
Quando um problema apresentar o primeiro termo e a razão da PA, você pode utilizar a fórmula:
Essas duas fórmulas são utilizadas para somar os termos de uma PA finita.
Termo médio da PA
Para determinar o termo médio ou central de uma PA com um número ímpar de termos calculamos a
média aritmética com o primeiro e último termo (a1 e an):
Já o termo médio entre três números consecutivos de uma PA corresponde a média aritmética do
antecessor e do sucessor.
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 Progressão geométrica (PG)
 Uma progressão geométrica é formada quando uma sequência tem um fator multiplicador resultado da
divisão de dois termos consecutivos, chamada de razão comum, que é calculada por:
Onde,
q é a razão da PG;
a2 é o segundo termo;
a1 é o primeiro termo.
Uma progressão geométrica de n termos pode ser representada da seguinte forma:
Sendo a1 o primeiro termo, o termo geral da PG é calculado por
Tipos de PG
 De acordo com o valor da razão (q), podemos classificar as Progressões Geométricas em 4 tipos:
1. Crescente: com a razão q > 1 e termos positivos ou, 0 < q < 1 e termos negativos;
Exemplos:
PG: (3, 9, 27, 81, ...), onde q = 3.
PG: (-90, -30, -15, -5, ...), onde q = 1/3
2. Decrescente: com a razão q > 1 e termos negativos ou, 0 < q < 1 e os termos positivos;
Exemplo:
PG: (-3, -9, -27, -81, ...), onde q = 3
PG: (90, 30, 15, 5, ...), onde q = 1/3
3. Oscilante: a razão é negativa (q < 0) e os termos são números negativos e positivos;
Exemplo: PG: (3, -6, 12, -24, 48, -96, …), onde q = - 2
4. Constante: a razão é sempre igual a 1 e os termos possuem o mesmo valor.
Exemplo: PG: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...), onde q = 1
Soma dos termos de uma PG
 A soma dos termos de uma progressão geométrica é calculada pela fórmula:
Sendo a1 o primeiro termo, q a razão comum e n o número de termos.
Se a razão da PG for menor que 1, então utilizaremos a fórmula a seguir para determinar a soma dos
termos.
Essas fórmulas são utilizadas para uma PG finita. Caso a soma pedida seja de uma PG infinita com 0 < q <
1 , a fórmula utilizada é:
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 Termo médio da PG
 Para determinar o termo médio ou central de uma PG com um número ímpar de termos calculamos a
média geométrica com o primeiro e último termo (a1 e an):
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 Análise Combinatória 
 A análise combinatória ou combinatória é a parte da Matemática que estuda métodos e técnicas que
permitem resolver problemas relacionados com contagem.
 Muito utilizada nos estudos sobre probabilidade, ela faz a análise das possibilidades e das combinações
possíveis entre um conjunto de elementos.
 
 Princípio Fundamental da Contagem
 
 O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, postula que:
 
“Quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal modo que as
possibilidades da primeira etapa é x e as possibilidades da segunda etapa é y, resulta no número total de
possibilidades de o evento ocorrer, dado pelo produto (x) . (y).”
Em resumo, no princípio fundamental da contagem, multiplica-se o número de opções entre as escolhas
que lhe são apresentadas.
Exemplo: Uma lanchonete vende uma promoção de lanche a um preço único. No lanche, estão incluídos
um sanduíche, uma bebida e uma sobremesa. São oferecidas três opções de sanduíches: hambúrguer
especial, sanduíche vegetariano e cachorro-quente completo. Como opção de bebida, pode-se escolher 2
tipos: suco de maçã ou guaraná. Para a sobremesa, existem quatro opções: cupcake de cereja, cupcake de
chocolate, cupcake de morango e cupcake de baunilha. Considerando todas as opções oferecidas, de
quantas maneiras um cliente pode escolher o seu lanche?
Solução
 Podemos começar a resolução do problema apresentado construindo uma árvore de possibilidades,
conforme ilustrado abaixo:
 Acompanhando o diagrama, podemos diretamente contar quantos tipos diferentes de lanches podemos
escolher. Assim, identificamos que existem 24 combinações possíveis.
 Podemos ainda resolver o problema usando o princípio multiplicativo. Para determinar as diferentes
possibilidades de lanches, basta multiplicar o número de opções de sanduíches, bebidas e sobremesa.
Total de possibilidades: 3.2.4 = 24
 Portanto, temos 24 tipos diferentes de lanches para escolher na promoção.
Tipos de Combinatória
 O princípio fundamental da contagem pode ser usado na maioria dos problemas relacionados com
contagem. Entretanto, em algumas situações seu uso torna a resolução muito trabalhosa.
 Desta maneira, usamos algumas técnicas para resolver problemas com determinadas características. 
Basicamente há três tipos de agrupamentos: arranjos, combinações e permutações.
 Antes de conhecermos melhor esses procedimentos de cálculo, precisamos definir uma ferramenta
muito utilizada em problemasde contagem, o fatorial.
 O fatorial de um número natural é definido como o produto deste número por todos os seus
antecessores. Utilizamos o símbolo para indicar o fatorial de um número.
Define-se ainda que o fatorial de zero é igual a 1.
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Exemplo:
O! = 1
1! = 1
3! = 3.2.1 = 6
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5 040
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3 628 800
 Note que o valor do fatorial cresce rapidamente, conforme cresce o número. Então, frequentemente
usamos simplificações para efetuar os cálculos de análise combinatória.
Arranjos
 Nos arranjos, os agrupamentos dos elementos dependem da ordem e da natureza dos mesmos.
 Para obter o arranjo simples de n elementos tomados, p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão:
Como exemplo de arranjo, podemos pensar na votação para escolher um representante e um vice-
representante de uma turma, com 20 alunos. Sendo que o mais votado será o representante e o segundo
mais votado o vice-representante.
Dessa forma, de quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita? Observe que nesse caso, a ordem
é importante, visto que altera o resultado.
Logo, o arranjo pode ser feito de 380 maneiras diferentes.
Permutações
 As permutações são agrupamentos ordenados, onde o número de elementos (n) do agrupamento é igual
ao número de elementos disponíveis.
 Note que a permutação é um caso especial de arranjo, quando o número de elementos é igual ao
número de agrupamentos. Desta maneira, o denominador na fórmula do arranjo é igual a 1 na
permutação.
 Assim a permutação é expressa pela fórmula:
Combinações
 As combinações são subconjuntos onde a ordem dos elementos não é importante, entretanto, são
caracterizadas pela natureza dos mesmos.
 Assim, para calcular uma combinação simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte
expressão:
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Probabilidade e Análise Combinatória
 A probabilidade permite analisar ou calcular as chances de obter determinado resultado diante de um
experimento aleatório. São exemplos as chances de um determinado número sair em um lançamento de
dados, ou, a possibilidade de ganhar na loteria.
A partir disso, a probabilidade é determinada pela razão entre o número de casos favoráveis e número de
casos possíveis, apresentada pela seguinte expressão:
Sendo:
P (A): probabilidade de ocorrer um evento A;
n (A): número de resultados favoráveis
n (Ω): número total de resultados possíveis
 Para encontrar o número de casos possíveis e favoráveis, muitas vezes necessitamos recorrer às
fórmulas estudadas em análise combinatória.
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 Trigonometria no Triângulo Retângulo
 A trigonometria no triângulo retângulo é o estudo sobre os triângulos que possuem um ângulo interno
de 90°, chamado de ângulo reto.
 Lembre-se que a trigonometria é a ciência responsável pelas relações estabelecidas entre os triângulos. 
Eles são figuras geométricas planas compostas de três lados e três ângulos internos.
 O triângulo chamado equilátero possui os lados com medidas iguais. O isósceles possui dois lados com
medidas iguais. Já o escaleno tem os três lados com medidas diferentes.
 No tocante aos ângulos dos triângulos, os ângulos internos maiores que 90° são chamados de
obtusângulos. Já os ângulos internos menores que 90° são denominados de acutângulos.
 Além disso, a soma dos ângulos internos de um triângulo será sempre 180°.
Composição do Triângulo Retângulo
O triângulo retângulo é formado:
Catetos: são os lados do triângulo que formam o ângulo reto. São classificados em: cateto adjacente e
cateto oposto.
Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto, sendo considerado o maior lado do triângulo retângulo.
Segundo o Teorema de Pitágoras, a soma dos quadrado dos catetos de um triângulo retângulo é igual ao
quadrado de sua hipotenusa:
a² =b² + c²
Relações Trigonométricas do Triângulo Retângulo
 As razões trigonométricas são as relações existentes entre os lados de um triângulo retângulo. As
principais são o seno, o cosseno e a tangente.
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 O círculo trigonométrico é utilizado para auxiliar nas relações trigonométricas. Acima, podemos
encontrar as principais razões, sendo que o eixo vertical corresponde ao seno e o eixo horizontal ao
cosseno. Além delas, temos as razões inversas: secante, cossecante e cotangente.
Ângulos Notáveis
 Os chamados ângulos notáveis são aqueles que aparecem com mais frequência, a saber:
Exercício Resolvido
Num triângulo retângulo a hipotenusa mede 8 cm e um dos ângulos internos possui 30°. Qual o valor dos
catetos oposto (x) e adjacente (y) desse triângulo?
 De acordo com as relações trigonométricas, o seno é representado pela seguinte relação:
Sen = cateto oposto/hipotenusa
Sen 30° = x/8
½ = x/8
2x = 8
x = 8/2
x = 4
 Logo, o cateto oposto desse triângulo retângulo mede 4 cm.
 A partir disso, se o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados de seus catetos, temos:
Hipotenusa² = Cateto oposto² + Cateto adjacente²
8² = 4²+y²
8² - 4² = y²
64 - 16 = y²
y² = 48
y = √48
Logo, o cateto adjacente desse triângulo retângulo mede √48 cm.
Assim, podemos concluir que os lados desse triângulo medem 8 cm, 4 cm e √48 cm. Já seus ângulos
internos são de 30° (acutângulo), 90° (reto) e 60° (acutângulo), visto que a soma dos ângulos internos dos
triângulos sempre será 180°.
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Sequência lógica
 
 Os estudos matemáticos ligados aos fundamentos lógicos contribuem no desenvolvimento cognitivo dos
alunos, induzindo a organização do pensamento e das ideias, na formação de conceitos básicos,
assimilação de regras matemáticas, construção de fórmulas e expressões aritméticas e algébricas. É de
extrema importância que o licenciado em Matemática utilize atividades extras envolvendo lógica, no
intuito de despertar o raciocínio, fazendo com que o aluno utilize seu potencial na busca por soluções dos
problemas matemáticos desenvolvidos em sala e baseados nos conceitos lógicos.
 A lógica está presente em diversos ramos da Matemática, como a probabilidade, os problemas de
contagem, as progressões aritméticas e geométricas, as sequências numéricas, equações, funções, análise
de gráficos entre outros. Os fundamentos lógicos contribuirão na resolução ordenada de equações, na
percepção do valor da razão de uma sequência, na elucidação de problemas aritméticos e algébricos e na
fixação de conteúdos complexos.
 A utilização das atividades lógicas contribui na formação de indivíduos capazes de criar ferramentas e
mecanismos responsáveis pela obtenção de resultados na disciplina de Matemática. O sucesso na
Matemática está diretamente conectado à curiosidade, pesquisa, deduções, experimentos, visão
detalhada, senso crítico e organizacional e todas essas características estão ligadas ao desenvolvimento
lógico.
 O modelo de atividade a seguir pode ser trabalhado com alunos do 5º e 6º ano do ensino fundamental,
objetivando os estudos matemáticos correlacionados à lógica. Observe:
 As figuras a seguir possuem números que representam uma sequência lógica. Complete com o número
que está faltando.
EXEMPLO 1:
EXEMPLO 2:
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EXEMPLO 3: 
EXEMPLO 4: 
RESPOSTAS
Exemplo 1
A sequência numérica proposta envolvemultiplicações por 4.
6 x 4 = 24
24 x 4 = 96
96 x 4 = 384
384 x 4 = 1536
Exemplo 2
A diferença entre os números vai aumentando 1 unidade.
13 – 10 = 3
17 – 13 = 4
22 – 17 = 5
28 – 22 = 6
35 – 28 = 7
Exemplo 3
Multiplicar os números sempre por 3.
1 x 3 = 3
3 x 3 = 9
9 x 3 = 27
27 x 3 = 81
81 x 3 = 243
243 x 3 = 729
729 x 3 = 2187
Exemplo 4
A diferença entre os números vai aumentando 2 unidades.
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24 – 22 = 2
28 – 24 = 4
34 – 28 = 6
42 – 34 = 8
52 – 42 = 10
64 – 52 = 12
78 – 64 = 14
 
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ÁLGEBRA
 Ramo da Matemática que testa e comprova as operações básicas e as relações entre conjuntos
numéricos.
 Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam números, letras e operações.
 As expressões desse tipo são usadas com frequência em fórmulas e equações.
 As letras que aparecem em uma expressão algébrica são chamadas de variáveis e representam um valor
desconhecido.
 Os números escritos na frente das letras são chamados de coeficientes e deverão ser multiplicados pelos
valores atribuídos as letras.
Exemplos
a) x + 5
b) b² – 4ac
Cálculo de uma Expressão Algébrica
 O valor de uma expressão algébrica depende do valor que será atribuído às letras.
Para calcular o valor de uma expressão algébrica devemos substituir os valores das letras e efetuar as
operações indicadas. Lembrando que entre o coeficiente e a letras, a operação é de multiplicação.
Exemplo: O perímetro de um retângulo é calculado usando a fórmula:
P = 2b + 2h
Substituindo as letras com os valores indicados, encontre o perímetro dos seguintes retângulos
Simplificação de Expressões Algébricas
 Podemos escrever as expressões algébricas de forma mais simples somando seus termos semelhantes
(mesma parte literal).
 Para simplificar iremos somar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes e repetir a parte literal.
Exemplos
a) 3xy + 7xy4 - 6x3y + 2xy - 10xy4 = 
(3xy + 2xy) + (7xy4 - 10xy4) - 6x3y = 
5xy - 3xy4 - 6x3y
b) ab - 3cd + 2ab - ab + 3cd + 5ab = 
(ab + 2ab - ab + 5ab) + (- 3cd + 3cd) = 
7ab
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Monômios
 Quando uma expressão algébrica apresenta apenas multiplicações entre o coeficiente e as letras (parte
literal), ela é chamada de monômio.
Exemplos
a) 3ab
b) 10xy2z3
c) bh (quando não aparece nenhum número no coeficiente, seu valor é igual a 1)
 Os monômios semelhantes são os que apresentam a mesma parte literal (mesmas letras com mesmos
expoentes).
 Os monômios 4xy e 30xy são semelhantes. Já os monômios 4xy e 30x2y3 não são semelhantes, pois as
letras correspondentes não possuem o mesmo expoente.
Polinômios
 Quando uma expressão algébrica possui somas e subtrações de monômios não semelhantes é chamada
de polinômio.
Exemplos
a) 2xy + 3 x2y - xy3
b) a + b
c) 3abc + ab + ac + 5 bc
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Equação do 1º grau
 A equação do 1º grau caracteriza-se como uma sentença matemática que possui incógnita e relação de
igualdade.
 A equação do 1º grau é uma equação que possui incógnita com grau 1. Equações são sentenças
matemáticas que possuem incógnitas, as quais são letras que representam valores desconhecidos, e
igualdade. A sentença matemática da equação do 1º grau é ax + b = 0, em que a e b são números reais, e a
é diferente de 0. O objetivo de escrever uma equação do 1º grau é encontrar qual é o valor da incógnita
que satisfaz a equação. Esse valor é conhecido como solução ou raiz da equação.
 
Resumo sobre equação do 1º grau
 A equação do 1º grau é uma sentença matemática que possui incógnitas de grau 1.
 A equação do 1º grau com uma incógnita possui uma única solução.
 A sentença matemática que descreve a equação do 1º grau com uma incógnita é ax + b = 0.
 Para resolver uma equação do 1º grau com uma incógnita, realizamos operações dos dois lados da
igualdade, com o objetivo de isolar a incógnita e encontrar o seu valor.
 A equação do 1º grau com duas incógnitas possui infinitas soluções.
 A sentença matemática que descreve a equação do 1º grau com duas incógnitas é ax + by + c = 0
 A equação do 1º grau é um termo recorrente no Enem, que geralmente vem com questões que
exigem interpretação do texto e a montagem da equação antes de resolvê-la.
O que é equação do 1º grau?
 Equação é uma sentença matemática que possui uma igualdade e uma ou mais incógnitas. As incógnitas
são valores desconhecidos, e utilizamos letras, como x, y, z, para representá-las.
 O que determina o grau de uma equação é o expoente da incógnita. Sendo assim, quando o expoente da
incógnita possui grau 1, temos uma equação do 1º grau. Veja exemplos a seguir:
2x + 5 = 9 (equação do 1º grau com uma incógnita, x)
y – 3 = 0 (equação do 1º grau com uma incógnita, y)
5x + 3y – 3 = 0 (equação do 1º grau com duas incógnitas, x e y)
Como calcular a equação do primeiro grau?
 Representamos determinada situação como uma equação quando temos o objetivo de encontrar os
valores que a incógnita pode assumir que faz com que a equação continue verdadeira, ou seja, encontrar
as soluções ou a solução da equação. Vejamos a seguir como encontrar a solução de uma equação do 1º
grau com uma incógnita e as soluções de uma equação do 1º grau com duas incógnitas.
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Exemplo 1:
Encontre a solução da equação:
2x – 6 = 0
Resolução: Para isolar a variável x, vamos somar 6 dos dois lados da equação:
Agora, dividiremos por 2 dos dois lados:
 
Encontramos como solução da equação x = 3. Isso significa que se substituirmos 3 no lugar do x, a
equação será verdadeira:
 
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LOGARITMO
 Logaritmo é a operação inversa da exponencial utilizada para o cálculo de equações exponenciais que não
possuem soluções imediatas.
 Logaritmo é uma ferramenta muito importante não somente para a área da matemática, pois possui aplicação
em diversos campos da ciência, como na geografia, química e computação.
 Historicamente o logaritmo surge a fim de facilitar contas que apareciam com frequência em diversas áreas
cientificas. John Napier foi pioneiro nos estudos sobre logaritmos, e conseguiu desenvolver a operação capaz de
transformar produtos em soma, divisões em subtrações e potências em multiplicações.
 Definindo essa operação, com o tempo, outros matemáticos formalizaram definições e propriedades, além
disso, foi desenvolvida também a conhecida tábua de logaritmos.
 Definição do logaritmo
Esboço do gráfico da função logaritmo (à direita) e sua inversa exponencial (à esquerda).
Considere dois números reais positivos a e b, com a ≠ 0. O logaritmo de b na base a é o número x se, e somente
se, a elevado a x for igual ao número b.
Nomenclatura:
a → base
b → logaritmando
x → logaritmo
Exemplos:
Quando um logaritmo possui a base igual a 10, esse é chamado logaritmo decimal. Ao registrar-se um logaritmo
decimal, não é necessário escrever a base 10. É convencionado que:
Como calcular um logaritmo?
 Para calcular um logaritmo, temos que procurar um número que, quando elevamos a base, resulte no
logaritmando. Pegando como exemplo o logaritmo de 36 na base 6 do exemplo anterior, devemos encontrar
um número que, quando elevamos a base 6, resulte em 36. Como 62 = 36, sendo a resposta 2. Vejamos mais
exemplos:
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1) Log 1000. Para calcular esse logaritmo, devemos encontrar um número que, elevado a 10, seja igual a 1000,
isto é, 
Resolvendo a equação exponencial, temos:
 (1000 possui 3 zeros)
Portanto,
2) Calcule o logaritmo
Devemos encontrar um número que, elevado à raiz de 7, seja igual a um quarenta e nove avos. Resolvendo a
equação, temos:
Condição de existência do logaritmo
 Considere o logaritmo:
 A expressão só está definida para quando a base for maior que zero e diferente de um e quando o
logaritmando for maior que zero, ou seja:
Propriedades dos logaritmos
Propriedade 1
O logaritmo do produto de dois fatores é igual à soma dos logaritmos desses fatores.
Propriedade 2
O logaritmo do quociente entre dois números é igual à diferença dos logaritmos desses números.
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Propriedade 3
O logaritmo de uma potência é igual à multiplicação do expoente dessa potência pelo logaritmo da base da
potência, em que mantemos a base do logaritmo.
Propriedade 4
O logaritmo de uma raiz é igual ao inverso do índice da raiz multiplicado pelo logaritmo, em que também
mantemos a base.
Propriedade 5
O logaritmo de um número, em uma base elevada a uma potência, é igual à multiplicação do inverso do
expoente dessa base.
QUESTÃO RESOLVIDA
1) Se , então o logaritmo de x na base b vale:
A) 0,5
B) 0,9
C) 1,2
D) 1,5
E) 2,0
solução
Como os números 1000 e 100 podem ser escritos na base 10, temos:
Substituindo no logaritmo de x na base b e aplicando a definição, temos:
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MATRIZES E DETERMINANTES
 
 As Matrizes e os Determinantes são conceitos utilizados na matemática e em outras áreas como, por exemplo,
da informática.
 São representadas na forma de tabelas que correspondem a união de números reais ou complexos,
organizados em linhas e colunas.
 Para representar matrizes, utilizamos a disposição de uma tabela. Chamamos de matriz toda a tabela m x n ( lê-
se “m por n”) em que números estão dispostos em linhas (m) e colunas (n). Cada elemento da matriz é indicado
por aii (i indica a posição do elemento referente à linha, e j, a posição em relação à coluna). Acompanhe a seguir
a representação de uma matriz m x n.
Nessa matriz, temos que:
Diagonais da Matriz
 Toda matriz possui diagonal principal e diagonal secundária. A diagonal principal é formada pelos elementos
em que i = j. A diagonal secundária é composta por elementos em que a soma de i com j sempre resulta em
uma mesma solução. Veja como identificamos as diagonais de uma matriz:
Diagonal Principal
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Diagonal Secundária
Matrizes Especiais
 Existem algumas matrizes que são consideradas especiais pela forma como são organizadas. Entre essas
matrizes, podemos destacar:
Matriz quadrada: é toda a matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas. Exemplos:
Observe que a matriz acima apresenta três linhas e três colunas. Como o número de linhas é igual ao de
colunas, a matriz é quadrada.
Matriz identidade: todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1, e os demais números são iguais
a zero.
Matriz nula: é toda matriz em que seus elementos são iguais a zero.
Matriz linha: é formada por uma única linha.
Matriz coluna: é formada por uma única coluna.
Operações com matrizes
 
 As operações com matrizes são: adição, subtração e multiplicação.
Adição: Sejam A e B duas matrizes em que a sua soma resulta em uma matriz C.
 
 A + B = C
 Cada um dos elementos da matriz C é o resultado da soma de um elemento de A com um elemento de B. Para
efetuarmos a adição entre duas matrizes, elas devem possuir o mesmo número de linhas e colunas. Acompanhe
o exemplo abaixo:
A + B = C
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 Observe que as matrizes A e B possuem a mesma quantidade de linhas (m = 2) e a mesma quantidade de
colunas (n = 3). A matriz C é resultante da soma de A + B e também deve possuir duas linhas e três colunas.
Subtração: A partir de duas matrizes A e B, definimos a sua diferença como C:
A – B =C
A + (- B) = C
 A matriz diferença pode ser definida como sendo a soma de A com o oposto de B, ou seja, - B. Para realizarmos
a subtração entre duas matrizes, elas devem possuir o mesmo número de linhas e colunas. Acompanhe o
exemplo abaixo e verifique como é feita a subtração entre duas matrizes:
Multiplicação: Dadas as matrizes Am x n e Bn x p, para que seja possível realizar o seu produto, o número de
colunas da matriz A deve ser igual ao número de linhas da matriz B. Esse processo resulta em uma matriz
Cm x p. Observe o exemplo abaixo e veja como isso é feito:
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Determinante
 Calculamos o determinante de matrizes quadradas, isto é, aquelas em que o número de linhas é igual ao
número de colunas. Observe:
 Definimos como determinante da matriz A (det A) o número que é obtido pela operação dos elementos que
compõem A.
Caso A possua uma linha e uma coluna (A1 X 1), então o determinante será representado pelo único
elemento que compõe A. Exemplo:
A = (10)
det A = 10
Se A possuir duas linhas e colunas , então o determinante será dado pela diferença
entre os produtos da diagonal principal da matriz A pelo produto dos elementos que compõem a sua
diagonal secundária. Veja abaixo como é feito o cálculo do determinante de uma matriz 2 por 2 (A 2 X 2).
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EQUAÇÃO DO 2º GRAU
 A equação do 2º grau é caracterizada por possuir uma incógnita de grau 2. Para resolver esse tipo de equação,
é importante conhecer a fórmula de Bhaskara.
 A equação do 2º grau é caracterizada por um polinômio de grau 2, ou seja, um polinômio do tipo ax²+bx+c, em
que a, b e c são números reais. Ao resolvermos uma equação de grau 2, estamos interessados em encontrar
valores para a incógnita x que torne o valor da expressão igual a 0, que são chamadas de raízes, isto é, ax² + bx
+c = 0.
Tipos de equações do 2º grau
 A equação de 2º grau pode ser representada por ax²+bx+c=0, em que os coeficientes a, b e c são números reais,
com a ≠ 0.
→ Exemplos
a) 2x² +4x – 6 = 0 → a = 2; b =4 e c = – 6
b) x² – 5x + 2 = 0 → a =1; b= – 5 e c = 2
c) 0,5x² + x –1 = 0 → a = 0,5; b = 1 e c = –1
A equação do 2º grau é classificada como completa quando todos os coeficientes são diferentes de 0, ou
seja, a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0.
A equação do 2º grau é classificada como incompleta quando o valor dos coeficientes b ou c são iguais a 0,
isto é, b = 0 ou c = 0.
Exemplos
a) 2x² – 4 = 0 → a = 2; b = 0 e c= – 4
b) -x² + 3x = 0 → a = – 1; b = 3 e c = 0
c) x² = 0 → a = 1; b =0 e c =0
Atenção: o valor do coeficiente a nunca é igual a 0, caso isso ocorra, a equação deixa de ser do 2º grau.
Como resolver equações de 2º grau?
 A solução de uma equação do 2º grau ocorre, quando as raízes são encontradas, ou seja, os valores atribuídos a
x . Esses valores de x devem tornar a igualdade verdadeira, isto é, ao substituir o valor de x na expressão, o
resultado deve ser igual a 0.
→ Exemplo
Considerando a equação x² – 1 = 0 temos que x’ = 1 e x’’ = – 1 são soluções da equação, pois substituindo esses
valores na expressão, temos uma igualdade verdadeira. Veja:
x² – 1 = 0
(1)² – 1 = 0 e (–1)² – 1 = 0
Para encontrar a soluçãode uma equação, é preciso analisar se a equação é completa e incompleta e selecionar
qual método será utilizado.
Método de solução para equações do tipo ax²+ c = 0
 O método para determinar a solução de equações incompletas que possuem b=0 consiste em isolar a incógnita
x, assim:
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→ Exemplo
Encontre as raízes da equação 3x² – 27 = 0.
Método de solução para equações do tipo ax² + bx = 0
 O método para determinar as possíveis soluções de uma equação com c =0, consiste em utilizar a fatoração por
evidência. Veja:
ax² + bx = 0
x·(ax + b) = 0
 Ao observar a última igualdade, é notável que há uma multiplicação e que para o resultado ser 0, é necessário
que, pelo menos, um dos fatores seja igual a 0.
x·(ax + b) = 0
x = 0 ou ax + b = 0
Assim, a solução da equação é dada por:
→ Exemplo
Determine a solução da equação 5x² – 45x = 0
Método de solução para equações completas
 O método conhecido como método de Bhaskara ou fórmula de Bhaskara aponta que as raízes de uma equação
do 2º grau do tipo ax² + bx + c = 0 é dada pela seguinte relação:
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→ Exemplo
Determine a solução da equação x² – x – 12 = 0.
Note que os coeficientes da equação são: a = 1; b= – 1 e c = – 12. Substituindo esses valores na fórmula de
Bhaskara, temos:
O delta (Δ) recebe o nome de discriminante e note que ele está dentro de uma raiz quadrada e, conforme
sabemos, levando em conta os números reais, não é possível extrair raiz quadrada de um número negativo.
Conhecendo o valor do discriminante, podemos realizar algumas afirmações a respeito da solução da equação
do 2º grau:
→ discriminante positivo (Δ > 0): duas soluções para a equação;
→ discriminante igual a zero (Δ = 0): as soluções da equação são repetidas;
→ discriminante negativo (Δ < 0): não admite solução real.
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CONJUNTOS
 Conjunto é um conceito primitivo desenvolvido pelo matemático George Cantor. A partir dele se desenvolveu
diversos outros estudos matemáticos.
 A compreensão de conjuntos é a principal base para o estudo da álgebra e de conceitos de grande importância
na Matemática, como funções e inequações. A notação que usamos para conjuntos é sempre uma letra
maiúscula do nosso alfabeto (por exemplo, conjunto A ou conjunto B).
 Em se tratando da representação dos conjuntos, ela pode ser feita pelo diagrama de Venn, pela simples
descrição das características dos seus elementos, pela enumeração dos elementos ou pela descrição das suas
propriedades. Ao trabalhar com problemas que envolvem conjuntos, existem situações que exigem a realização
de operações entre os conjuntos, sendo elas a união, a intersecção e a diferença.
Notação e representação de conjuntos
 Para representação de um conjunto, utilizamos sempre uma letra maiúscula do alfabeto, e os elementos estão
sempre entre chaves e são separados por vírgula. Para representar o conjunto dos números pares maiores que
1 e menores que 20, por exemplo, usamos a seguinte notação: P ={2,4,6,8,10,12,14,16,18}.
Formas de representação dos conjuntos
Representação por enumeração: podemos enumerar seus elementos, ou seja, fazer uma lista, sempre entre
chaves. Veja um exemplo:
A = {1,5,9,12,14,20}
Descrevendo as características: podemos simplesmente descrever a característica do conjunto. Por exemplo,
seja X um conjunto, temos que X = {x é um número positivo múltiplo de 5}; Y: é o conjunto dos meses do ano.
Diagrama de Venn: os conjuntos também podem ser representados na forma de um diagrama, conhecido
como diagrama de Venn, que é uma representação mais eficiente para a realização das operações.
Exemplo:
Dado o conjunto A = {1,2,3,4,5}, podemos representá-lo no diagrama de Venn a seguir:
Elementos de um conjunto e relação de pertinência
 Dado um elemento qualquer, podemos dizer que o elemento pertence ao conjunto ou não pertente a esse
conjunto. Para representar essa relação de pertinência de forma mais rápida, utilizamos os símbolos (lê-se
pertence) e ∉ (lê-se não pertente). Por exemplo, seja P o conjunto dos números pares, podemos dizer que o 7
∉ P e que 12 P.
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Igualdade de conjuntos
 É inevitável a comparação entre os conjuntos, sendo assim, podemos afirmar que dois conjuntos são iguais ou
não verificando cada um dos seus elementos. Seja A = { 0,1,3,4,8} e B = { 8,4,3,1,0}, ainda que os elementos
estejam em ordem diferente, podemos afirmar que os conjuntos A e B são iguais: A = B.
Relação de inclusão
 Ao comparar dois conjuntos, podemos nos deparar com diversas relações, e uma delas é a relação de inclusão.
Para essa relação, precisamos conhecer alguns símbolos:
⊃ → contém ⊂ → está contido
⊅ → não contém ⊄ → não está contido
Dica: o lado da abertura do símbolo sempre ficará virado para o conjunto maior.
 
 Quando todos os elementos de um conjunto A pertencem também a um conjunto B, dizemos que A ⊂ B ou
que A está contido em B. Por exemplo, A= {1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6}. É possível também fazer a representação pelo
diagrama de Venn, que ficaria assim:
A está contido em B:
 A ⊂ B
Subconjuntos
 Quando acontece uma relação de inclusão, ou seja, o conjunto A está contido no conjunto B, podemos dizemos
que A é subconjunto de B. O subconjunto continua sendo um conjunto, e um conjunto pode ter vários
subconjuntos, construídos a partir dos elementos pertencentes a ele.
Por exemplo: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} tem como subconjuntos os conjuntos B: {1,2,3}; C: {1,3,5,7}; D: {1} e, até mesmo,
o conjunto A {1,2,3,4,5,6,7,8}, ou seja, A é subconjunto dele mesmo.
Conjunto unitário
 Como o nome já sugere, é aquele conjunto que possui somente um elemento, como o conjunto D: {1}
mostrado anteriormente. Dado o conjunto B: {1,2,3}, temos os subconjuntos {1}, {2} e {3}, que são todos
conjuntos unitários.
ATENÇÃO: O conjunto E: {0} também é um conjunto unitário, pois ele possui um único elemento, o “0”, não se
tratando de um conjunto vazio.
Conjunto vazio
 Com um nome mais sugestivo ainda, o conjunto vazio não possui nenhum elemento e é subconjunto de
qualquer conjunto. Para representar o conjunto vazio, há duas representações possíveis, sendo elas V: { } ou o
símbolo Ø.
Conjuntos das partes
 Conhecemos como conjuntos das partes todos os subconjuntos possíveis de um determinado conjunto. Seja A:
{1,2,3,4}, podemos listar todos os subconjuntos desse conjunto A começando com os conjuntos que possuem
nenhum elemento (vazios) e, depois, os que possuem um, dois, três e quatro elementos, respectivamente.
Conjunto vazio: { };
Conjuntos unitários: {1}; {2};{3}; {4}.
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Conjuntos com dois elementos: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
Conjuntos com três elementos: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
Conjunto com quatro elementos: {1,2,3,4}.
 Sendo assim, podemos descrever o conjunto das partes de A desta forma:
P: { { }, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4} }
Para saber a quantidade de partes em que é possível dividir um conjunto, usamos a fórmula:
O número de partes de A é calculado por uma potência de base 2 elevada a n, em que n é a quantidade de
elementos do conjunto.
Considere o conjunto A: {1,2,3,4}, que possui quatro elementos. O total de subconjuntos possíveis desse
conjunto é 2 elevado a quarta potência =16.
Conjunto finito e infinito
 Ao trabalhar com conjuntos, encontramos conjuntosque são limitados (finitos) e aqueles que são ilimitados
(infinitos). O conjunto dos números pares ou ímpares, por exemplo, é infinito e, para representá-lo,
descrevemos alguns dos seus elementos em sequência, de forma que seja possível prever quais serão os
próximos elementos, e colocamos reticências no final.
I: {1,3,5,7,9,11...}
P: {2,4,6,8,10, ...}
Já em um conjunto finito, não colocamos as reticências no final, pois ele possui começo e final definidos.
A: {1,2,3,4}.
Conjunto universo
 O conjunto universo, denotado por U, é definido como o conjunto formado por todos os elementos que devem
ser considerados dentro de um problema. Todo elemento pertence ao conjunto universo e todo conjunto está
contido no conjunto universo.
Operações com conjuntos
As operações com conjuntos são: união, intersecção e diferença.
Intersecção de conjuntos
 Ocorre uma intersecção quando os elementos pertencem simultaneamente a um ou mais conjuntos. Ao
escrever A∩B, estamos procurando os elementos que pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B."
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Exemplo:
Considere A= {1,2,3,4,5,6} e B = {2,4,6,7,8}, os elementos que pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto
B são: A∩B = {2,4,6}. A representação dessa operação é feita da seguinte forma:
 A∩B
Quando os conjuntos não possuem nenhum elemento em comum, são conhecidos como conjuntos disjuntos.
Representação de conjuntos disjuntos
A∩B = Ø
Diferença entre conjuntos
Diferença entre os conjuntos (A – B)
 Calcular a diferença entre dois conjuntos é procurar os elementos que pertencem a somente um dos dois
conjuntos. Por exemplo, A – B tem como resposta um conjunto composto por elementos que pertencem ao
conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
Exemplo: A: {1,2,3,4,5,6} e B: {2,4,6,7,8}. Note que A ∩ B ={2,4,6}, então temos que:
a) A – B = { 1,3,5 }
b) B – A = { 7,8 }
União
 A união de dois ou mais conjuntos é a junção dos seus termos. Caso haja elementos que se repitam nos dois
conjuntos, eles são escritos uma única vez. Por exemplo: A={1,2,3,4,5} e B={4,5,6,7,10,14}. Para representar a
união, usamos o símbolo (lê-se: A união com B).
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}
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