Derivacao Implicita

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2510912023
derivada de f(x)9(x)
y= f(x)9(x)
!
Iny = in [f(x))8* = g(x) .
In Cf(x))
e(
y=
eg(x) . (n(f(x))
· (g(X) .
In If(x)))=egInc · In (f) e
&
exemplos;
1)h(x) =
x
*
= en(x)
= ex- In (x)
x .
In(x)
(x
.
In (x)) = >nx) =
e
ri(x) =
x
* ( 1. In(x7 + x .
1x> = >
hi(x) = x (h(x) + 1)
2) n(x) = xx3 => d(n(x3)
x 3
. (n(x)
= E
.
n'(x) - ex - (n(x)
.
(x .
(n(x)) = >
n'(x)=X
x3 (bx (n(x) + x3 .Nx) =
ni(x)=
x
x
3
(3x: (n(x) + x27 =>
ni(x) =
x
*3
-x (3(n(x) + 1)
sen(x2- 1)
3) h(x) = x
= h(x) = esenren
.
eneiencaren)
h(x) =
e
Sen(x2) .
In(x)
. (Sen(x+1) .
In (x)3 =Incx1
hi(x) = x en(x2+1)
.
(Cos (x +1)2x . In(x) +
sen (x2+ 1) .
"x)
DERIVA CEO IMPLICITA
-> considere uma equacio has variveis x ey
;
uma runco x
= f(x) edada implicitamente por
tal equagao se
, para todo xF D(f) , 0 pento
x
,
f(x)) e solucio da equacio
-
-
2
= 1x2
7
+ =Ir1-x 2
exemplo
:
equagao x
2
+ y
=
= 1 t
- so dadasas Fungoes y = ve2 e x =
=1 - x2
zola equacio pois :implicitamente /
E
x
2
+ (=VI- 12 = 1 ,Xx c [- 1
, 1] .
+ =11-x2
I - 2xat 22
=
-
y =
-N
=
- ( - 2x)
=-2A
-> x 2 + yz = 1
, y
= f(x)
-(x
2
++2) =
q 1
2 x
+ 2+
1
+
= 0
=
exemplo 2 : x6 - 2x = 340 +yS - +2
,
+ = f(x)
6x
3
- 2 = 11 y
S
+ Sx4 y - 2y -4
S6xs - 2
= y(187 *5,
4
- 2x)
+
5,-zy
exemplo 3 :
seja a X-f(x) uma funco dada im-
plicitamente pela equacio 3x4+2-7xx 3
= 4-0X
.
determine f'em funco de x ex .
(3x4) .
+ + 3x
2
· (+2 -(7x) .
43 + 7x
.
(43) = (1 -2x )
12x 3
. 42 + 3 x4 . 24
.
+ - 7
.
43-Tx . 34. Y = -&Y
3x
Y
. 24.
Y' - 7x . 3y2y' + &x =
- 12x3
- y
2
-> 7y3
-
I 36xYY . Y'- 21xY2 .
y + &x =
- 12x3y2
+YY
Y(6x4y - 21xy2 + 8) =
- 12x3
. y + 7y3
y
= - 12x3y2 + 7y3
6x4Y = 2 1xy 2
+2
exemplo 4 : (x + x)2 - (x - x)2
= x 4 + y4
e(x+x) · (1 +4) - 24 -x) . (1 -4)
= 4x3 + 4y3 ,
2(x+ y) + 2(x+ +)y - T(x - x) + 2(x -+)y = 4x3 + 4x3y
2(x+x) y + z(x-x)y1 - 4y3y = 4x3 - 2)x + x) + z(x -x)
x (2(x + x) + z(x - y) - 4y3) = 4x3 - 2(x + y) + z(x-4)
- =2(x+y) + 2(x - +)
I(x+x) + 2(x -x) - 4y3
y = 4x3-X-2y + 2x - 2y
- I2x+ 2y + 2 x - 2y - 4y3
x1 = 4 : M
4x - 443
y =
3
exemplo s : determine a equacio da reta tangents
as grafico de +-f(x) no porto de abscissa 1,
~
ondey = f(x) e funco dada implicitemente
pola equagao x + y
=
= 1 : + 0
y - f(1) = fi(1)(x - 1)
-> x = 1
12 + 4y2 = 2
x2 = 1 ↑My2 =
z - 1
4
y == 1
-> y =#1
2 2
fi(1) :
- -Giz)
- - f(1) = f(1)(X- 1) :
+ -1 = - 1(x -1)
2 2
y = - 1 X A1 +1 recas paralelas
2 2 2
--y=
- 1 X + 1 tern o
mesmo
2 coeficiente angular
exemplo &: 3 +
2
+2xy - x = 3
,
+ = f(x) > 0
- determine a equacio da reta que etan-
gente a curva 2 que parahela a sy-x = 2
S+ - x = 2 3 +
2
+ 2x . + - x
* 3 :
St
= 2+ X 64
.
+ + 24 + 2xy - 2x
= 0
y= -(6y + 2x) = 2x - 2 y
S +=ziy :
I+ =
1x
+
z 64 + 2X
I=#Y
x + 3Y
(1 = f'(a) ↳<gf'(x
I=Ex 5
Sx-Sy = x+ 3 y
Sx-x
=
3 y+ Sy y- f(a) = fi(a)(X-a)
4x =
&y : 2 - - ? = I(X -!
x = 24
2
34
=
+ 2 . 24
-
y-(2x) = 3
3y242- = 3
342 =
3
y = -I3
+
=
= 1
y = 1(f(x) >0)
x
= Zy
x
= 2
.
1
x = 2
+ - c =
I(x - 1)
+ =
1x - z + 1
5
+ =
2x +
3