0833 37 - Material Didático - Fundamentos de Matemática do Ensino Médio

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
DO ENSINO MÉDICO 
 
 
 
UNIVERSIDADE METROPOLITANA DE SANTOS 
Núcleo de Ensino a Distância 
 
 
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Créditos e Copyright 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vanessa Laurentina Maia 
Crb8 71/97 
Bibliotecária UNIMES 
 
 
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P348f Paz, Jose Mirtenioda 
 Fundamentos da Matemática II. Jose Mirtenio da Paz. Revisado 
por Elizabeth Magalhães de Oliveira, 2023, Santos. 
 109 fls. 
 Universidade Metropolitana de Santos, Matemática, 2006. 
 1. Ensino a distância. 2. Matemática. 3. Fundamentos da 
Matemática. 
 
 CDD 510 
 
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SUMÁRIO 
 
Aula 01_Módulo ou Valor Absoluto de um Número Real. Raiz de Módulo. Equações 
e inequações modulares ........................................................................................... 3 
Aula 02_Função Modular. Função injetora. Função sobrejetora. ............................ 16 
Aula 03_Equações e Inequações Exponenciais ...................................................... 23 
Aula 04_Equações logarítmicas. Inequações logarítmicas ..................................... 32 
Aula 05_Função Exponencial .................................................................................. 42 
Aula 06_Função Logarítmica. Logaritmo decimal. Cologaritmo .............................. 47 
Aula 07_Arco de Circunferência. Ângulo central ..................................................... 55 
Aula 08_Circunferência Trigonométrica ou Ciclo Trigonométrico. Arcos côngruos . 61 
Aula 09_Seno e Cosseno de um arco. Redução ao primeiro quadrante ................. 66 
Aula 10_Gráficos das funções Seno e Cosseno ..................................................... 74 
Aula 11_Tangente de um arco ................................................................................ 78 
Aula 12_Equações Trigonométricas. Relação fundamental da trigonometria ......... 83 
Aula 13_Equações Trigonométricas que Envolvem Artifícios ................................. 89 
Aula 14_Fórmulas de adições, multiplicação e divisão de arcos ............................. 91 
Aula 15_Inequação Trigonométrica ......................................................................... 98 
Aula 16_Atividades de investigação da aprendizagem ......................................... 102 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 01_Módulo ou Valor Absoluto de um Número Real. Raiz de 
Módulo. Equações e inequações modulares 
 
Palavras-chave: módulo; valor absoluto; equações modulares; inequações 
modulares. 
 
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A todo número real x associa-se um valor absoluto, também chamado de módulo, 
representado por |x|e assim definido: 
 
 
O módulo de um número positivo ou nulo é ele mesmo. 
 
• O módulo de um número negativo é o oposto dele mesmo. 
 
 Para todo x real, o módulo é sempre positivo ou nulo. 
 Geometricamente, o módulo de um número real x é igual à distância do ponto-
imagem de x, até o ponto 0, origem da reta real. 
Observe a reta real abaixo:
 
 
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 5 
 
 
Para saber o valor de x, tal que |x|=3, basta verificar quais valores que distam 3 
unidades da origem: +3 e –3. 
 
Então: 
 
De uma maneira geral, sendo 𝑎 > 0, |𝑎| = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑎 𝑜𝑢 𝑥 = −𝑎 
Por outro lado 
, 
Agora temos alguns exercícios a serem resolvidos. Não deixe de esclarecer suas 
dúvidas pelo ambiente virtual de aprendizagem. 
 
 Exercícios 
 
1) De acordo com a definição, calcule: 
 
a) |3 – 5| e) |–3 –5|+|5| 
 
b) |–3+5| f) |–8|+|3 –1| 
 
c) |–3 –5| g) |–|–5|| 
 
d) |–1|+|–6| h) ||–2|–|–10|| 
 
2) Aplicando a definição, determine o valor numérico de: 
 
 
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3) Determine, em cada caso, os possíveis valores de x: 
 
 
 
 
EQUAÇÕES MODULARES 
Observe a seguinte situação: Uma indústria teve, no ano de 1999, um faturamento 
de R$ 400.000,00. No ano de 2000, o faturamento dessa indústria apresentou uma 
diferença de R$ 45.000,00 em relação ao ano anterior. No entanto, não sabemos se 
a diferença de R$ 45.000,00 foi a mais ou a menos. Qual o faturamento dessa 
indústria em 2000? 
 Sendo F o faturamento de 2000, podemos ter: 
F – 400.000 = 45.000 ou 400.000 – F = 45.000 
 Para representar essas duas equações (F é a incógnita), podemos utilizar o módulo, 
considerando a diferença de R$ 45.000,00 como valor absoluto: 
 |F – 400.000| = 45.000, equação com a incógnita em módulo. 
 As equações, como a da situação acima, que contêm a incógnita em módulo, são 
chamadas equações modulares. 
 Resolvendo a equação do problema: 
 
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Portanto, o faturamento de 2000 dessa firma pode ter sido de R$ 445.000,00 ou de 
R$ 355.000,00. 
 
Exemplos: 
1) Resolver a equação: |x2 – 5x|= 6 
 
2) Resolver a equação: 
 
3) Resolver a equação: |x|2 + 2|x| – 15 = 0 . 
 
 
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Para resolvermos este tipo de equação, usaremos um artifício de cálculo uma 
variável auxiliar, como, por exemplo, y. 
Assim, fazemos |x|= y, com y ≥ 0, e teremos: 
y2 + 2y – 15 = 0 
∆ = 64 
 yI = 3 e yII = – 5 esse valor não serve, pois devemos ter y ≥ 0 
Daí temos: 
|x| = y e |x| = 3 x = 3 ou x= – 3 
Logo, S = {– 3, 3}. 
 
4) Resolva a equação |x| + |x – 3|= 5. 
 
Pela definição de módulo, sabemos que: 
 
Vamos analisar o que acontece nos intervalos limitados por 0 e 3: 
 Se 
 
Se 
 
 
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 9 
 
Se 
 
Como solução, temos: S = {– 1, 4}. 
 
Exercícios 
1) Resolva as seguintes equações modulares: 
 
2) Resolva as equações: 
 
a) |2x – 5|= x + 4 
b) |– 2x + 1|= x + 2 
c) |x2|= 5x 
 
3) Dada a função ƒ(x)=|x2 – 3x| , ache x de modo que ƒ(x)=2. 
 
 
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INEQUAÇÕES MODULARES 
 
 Sendo a >0, chamamos de inequações modulares às inequações do tipo |x| > a, |x| 
≥ a, |x| < a e |x| ≤ a. 
 Vamos inicialmente observar o que acontece com as inequações simples, como 
|x| > 3 e |x| < 3. Para isso, vamos recorrer à reta real abaixo, na qual estão 
assinalados alguns pontos: 
 
• |x| > 3, significa que a distância entre os pontos de abscissa x e a origem 0 é 
maior que 3. 
Nesse caso, entre outros valores de x, temos 3,1; 4; 15; mas temos, também, –3,1; 
–4; –15, ou seja, os pontos de abscissa x devem estar à direita de 3 ou à esquerda 
de –3: 
 
 • |x| < 3 significa que a distância entre os pontos de abscissa x e a origem 0 é 
menor que 3. 
 Nesse caso, entre outros valores de x, temos 2; 1; 0; 0,5; mas temos, também, –2; 
–1; –0,5; ou seja, os pontos de abscissa x devem estar entre –3 e 3. 
 
 De uma maneira geral, sendo a > 0, podemos ter uma das seguintes situações: 
 
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 Exemplos 
1) Para que valores de x a função ƒ(x) = |x2 + x – 1| é estritamente menorque 1? 
 Como queremos ƒ(x) < 1: 
 
 
 
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Um modo atraente de resolver Inequações Modulares 
 Vamos supor que você precise resolver a equação |x – 2|= 3. 
 O método algébrico, ensinado nos livros didáticos, envolve a resolução de duas 
equações para, em seguida, reunir as soluções obtidas: 
 
Então, S = {5, – 1) 
Vejamos como interpretar graficamente esse resultado. 
 
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Sendo ƒ(x) = |x – 2| uma função modular e g(x) = 3 uma função constante, resolver 
graficamente a equação proposta significa determinar as abscissas dos pontos de 
intersecção dos gráficos de ƒ e g. 
 
 
O processo gráfico se mostra particularmente eficaz na resolução de inequações 
modulares. Além disso, torna o assunto mais atraente! 
 
Assim, a solução da inequação |x – 2|≥ 3 pode ser observada num relance. Basta 
determinar as abscissas dos pontos para os quais ƒ ≥ g . 
 
 
 
 
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Abaixo estão alguns exercícios, para serem resolvidos. Se houver alguma dúvida, 
não deixe de perguntar. 
 1) Dada a função ƒ(x) = |2x + 1| , calcule x de modo que ƒ(x) ≤ 2. 
 2) Ache o conjunto solução da inequação ƒ(x) = |x2 – 2x +3| ≤ 4. 
 3) Ache o conjunto verdade da inequação |x2 – 4| < 3x. 
 
MÓDULO E RAÍZ QUADRADA 
Seja x e y números reais modulares não negativos, define-se que 
 
se, e somente se, y2 = x e y ≥ 0. 
 
 Como consequência da definição, concluímos que 
 
é verdadeiro somente se x ≥ 0. 
 
Então se x < 0, não podemos afirmar que √𝑥2 = 𝑥 , 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑖𝑧𝑒𝑟 𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖çã𝑜. 
 Por exemplo, se x = –5, então , temos o primeiro membro positivo e 
o segundo membro negativo. 
Usando a definição de módulo, podemos escrever √𝑥2 = 𝑥, verdadeiro para x real. 
 Então, 
 
 
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 Com todas as raízes de índice par, devemos proceder da forma: 
 
 
Com as raízes de índice ímpar, podemos escrever: 
 
 Exemplos 
 
 Exercícios 
1) Simplifique os radicais: 
 
 
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Aula 02_Função Modular. Função injetora. Função sobrejetora. 
Palavras-chave: função modular; gráficos; injetora; sobrejetora. 
 
Consideremos a função f de R em R tal que para todo x real teremos ƒ(x)=|x|. 
Chamamos essa função de função modular. 
Função Modular: f: R R, tal que ƒ(x)=|x| . 
 
• Para obtermos o gráfico da função modular, vamos dividi-la em dois casos: 
1º Caso: x≥0 , o que acarreta ƒ(x)=|x|=x, que é a função identidade já nossa 
conhecida, cujo gráfico é dado pela figura seguinte: 
 
2º Caso: x<0 , o que acarreta ƒ(x)=|x|=–x , que é a função identidade já nossa 
conhecida, cujo gráfico é dado pela figura seguinte: 
 
 
 
 
 
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Reunindo os dois casos considerados, temos o gráfico da função modular, que é 
dado pela figura seguinte: 
 
Observações: 
 • O conjunto imagem da função modular é f (R) = R+ ; portanto, ela não é 
sobrejetora. 
 5=|5|=|–5|; portanto, a função modular não é injetora. 
 Concluímos, então, que a função modular não é bijetora; logo, ela não admite função 
inversa. 
 
• Notemos que: 
Genericamente, para todo x real temos: 
 Analisemos alguns exemplos de módulo: 
 
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Percebemos então, que o módulo deixa os números não-negativos como estão 
e troca o sinal dos números negativos. Esse fato pode ser utilizado para simplificar 
a construção de alguns gráficos que envolvem o conceito de módulo. 
Como por exemplo, vamos refazer o gráfico da função modular, agindo da seguinte 
forma: 
 
1º) Vamos construir inicialmente, o gráfico da função f (x)=x, deixando de lado o 
módulo que aparece na função modular original. Assim, temos: 
 
y 
2º) Para construir o gráfico da função f (x)=x, devemos aplicar o módulo às imagens 
da função f (x)=x. Assim sendo, o módulo deixa as imagens não negativas como 
estão e troca o sinal das imagens negativas. Assim, os pontos do gráfico de f (x)=x 
situados não-abaixo do eixo dos x permanecem onde estão e os pontos do 
gráfico f (x)=x situados abaixo do eixo dos x são rebatidos para cima, acarretando, 
então, a seguinte figura: 
 
 
 
 
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 Exemplos 
 1º) Construa o gráfico da função y = |x–3|. 
 
Resolução: Seguindo as etapas da última observação, temos: 
 
a) Construímos inicialmente o gráfico da função afim f (x)=x – 3. 
 
b) A seguir, rebatemos os pontos do gráfico situados abaixo do eixo dos x e 
encontramos o gráfico solicitado no exercício. 
 
 
 
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2º) Construa o gráfico da função y=|x2 – 4x + 3|. 
 
Resolução: Seguindo as etapas da última observação, temos: 
 
a) Construímos inicialmente o gráfico da função afim. 
 
b) A seguir, rebatemos os pontos do gráfico situados a seguir, do eixo dos x e 
encontramos o gráfico solicitado no exercício. 
 
 
 
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 Exercícios 
 1) Considere a função f(x) = |10x – 5|, calcule: 
 
2) Construa o gráfico das funções, determinando o domínio e o conjunto 
imagem: 
 
 
 
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3) Seja a função 
a) Há algum valor de em que a função não se define? 
b) Calcule o valor de 
c) Qual o valor de x, tal que f (x)=1? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aula 03_Equações e Inequações Exponenciais 
 
Palavras-chave: equações exponenciais; inequações exponenciais. 
 
Chama-se Equação Exponencial toda equação que contém incógnita no expoente. 
Exemplos 
 
Para resolver uma equação exponencial, devemos transformá-la de modo a obter 
potências de mesma base no primeiro e no segundo membros da equação utilizando 
as definições e propriedades da potenciação. Além disso, usaremos o seguinte fato: 
Se a > 0, a ≠ 1 e x é a incógnita, a solução da equação 
 
Exemplos 
1º) Resolva a equação 
Resolução: Usando as propriedades das potências, vamos transformar o 1º e o 2º 
membros da equação em potências de mesma base: 
 
 
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 O conjunto solução é 
2º) Uma empresa produziu, num certo ano, 8.000 unidades de determinado produto. 
Projetando um aumento anual de produção de 50%, pergunta-se: 
a) Qual a produção P dessa empresa, t anos depois? 
b) Após quantos anos a produção anual da empresa será de 40.500 unidades? 
Resolução: 
a) Um ano depois: 8.000 + 50% de 8.000 = 8.000. 1,50 
Dois anos depois: 8.000. 1,50 + 50% de 8.000. 1,50 = 8.000. (1,50) ² 
Três anos depois: 8.000. (1,50) ² + 50% de 8.000. (1,50) ² = 8.000. (1,50) ³ 
Portanto, podemos usar a fórmula P = 8.000. 
b) Fazendo P = 40.500, na fórmula anterior, obtemos a equação: 40.500 = 8.000.
 
Vamos resolvê-la: 40.500 = 8.000. 
Lembrando que 1,5 = e simplificando a fração do 2º membro, vem: 
 
Como as bases são iguais, positivas e diferentes de 1, igualamos os expoentes: t=4. 
Desse modo, a produção anual da empresa será de 40.500 unidades após 4 anos. 
3º) Determine o conjunto solução da equação 81x-2 = 1 no universo dos números 
reais. 
Resolução: Sabendo que 81º = 1, temos: 
 
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portanto x = 2. Logo, S = {2}. 
4º) Resolva a equação 
Resolução: Usando as propriedades da potenciação, vamos fazer uma 
transformação na equação dada: 
 
Fazendo , temos a equação do 2º grau em y: y² – 5 . y + 4 = 0 
Resolvendo a equação, vem: 
Finalmente, voltando à igualdade , obtemos: 
 
Gostou da aula de hoje? Então vamos aos exercícios! 
Exercícios 
1) Resolva as equações exponenciais: 
 
2) Determine o conjunto solução das equações: 
 
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3) Resolva as equações: 
 
 
4) Qual é a solução real da equação? 
 
5) Resolva as equações: 
 
INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
Chamamos de inequação exponencial toda inequação na qual a incógnita aparece 
em expoente. 
 
 
 
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 Exemplos 
1º) 3x > 81, que é satisfeita para x > 4. 
2º) 22x–2 ≤ 2x2–1 , que é satisfeita para todo x real. 
3º) , que é satisfeita para x ≤ – 3. 
4º) 25x – 150.5x + 3125 < 0, que é satisfeita para 2 < x< 3. 
Para resolver inequações exponenciais, devemos observar dois passos 
importantes: 
 1º Passo: Redução dos dois membros da inequação a potência de mesma base; 
2º Passo: Aplicação da propriedade. 
 
Exemplos 
1º) Resolva a inequação (√5) x2 – 3x ≥ (√5 )4. 
Resolução: Como a base é maior que 1, temos: 
(√5) x2 – 3x ≥ (√5 )4 x2 – 3x ≥ 4 (O sentido da desigualdade se conserva). 
x2 – 3x – 4 ≥ 0 inequação do 2º grau. 
 
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Para satisfazer a condição ƒ(x) ≥ 0, devemos ter x ≤ – 1 ou x ≥ 4. 
 
2º) Resolva a inequação 
 
3º) Determine o domínio da função y = √2x–2 –1. 
 
 
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 Exercícios 
 1) Resolva as inequações exponenciais: 
 
2) Resolva a inequação 
3) Determine os valores reais de x que verificam a inequação 3x+1 + 32+x > 108. 
4) Ache o conjunto solução das inequações: 
 
5) Determine o domínio D das seguintes funções: 
 
Vamos agora desenvolver equações e inequações exponenciais, utilizando os 
logaritmos e suas propriedades. 
 
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Acompanhe, nos exemplos a seguir, a resolução de equações exponenciais 
envolvendo o cálculo logarítmico. Depois você poderá aplicar o que aprendeu 
resolvendo os exemplos: 
 Exemplos 
1) Resolva a equação 3x=2 
 
2) Dê o conjunto solução de 7.8x=5.7x . 
 
3) Determine o conjunto solução da equação 5.2x+1–3.2x=4.3x-1 
 
Sistemas de logaritmos 
 O conjunto dos logaritmos de todos os números reais positivos numa base a(1 ≠ 
a>0) é chamado de sistema de logaritmos de base a. 
 Existem dois sistemas muito importantes: 
 
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 a) Sistema de logaritmos de base 10, chamado sistema de logaritmos decimais, 
vulgares ou de Briggs (devido a Henry Briggs, matemático inglês que viveu entre 
1561 e 1639). 
 Já vimos que o logaritmo decimal do número x é representado por log10x ou 
simplesmente log x . 
b) Sistema de logaritmos de base, chamado sistema de logaritmos naturais, 
hiperbólicos ou neperianos (devido a John Napier ou Neper, matemático escocês 
que viveu entre 1550 e 1617). 
 O número e é um número irracional, cujo valor aproximado é 2,7182818. 
Representamos o logaritmo neperiano do número x por logex ,lg x ou ln x . 
 
 
 
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Aula 04_Equações logarítmicas. Inequações logarítmicas 
 
Palavras-chave: equação logarítmicas; inequações. 
 
A palavra logaritmo vem do grego: logos (razão) + arithmos (números). 
 No estudo de equações e inequações exponenciais, só tratamos de casos em que 
podíamos reduzir as potências à mesma base. 
 Entretanto, se tivermos de resolver uma equação como 2x=5, não conseguiremos 
reduzir todas as potências ‘a mesma base. Nesse caso, como 4 < 5 < 8, então 4 < 
2x< 8, ou seja 22 < 2x < 23 , e apenas poderemos garantir que 2 < x < 3 . Para 
descobrirmos o valor de termos que estudar as propriedades dos Logaritmos. 
 
Definição: 
Sendo a e b números reais e positivos, com b≠1, chama-se logaritmo de a na 
base b o expoente x ao qual se deve elevar a base b de modo que a potência bxseja 
igual a a . 
 
 Na expressão: logba = x , temos: 
 
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 Exemplos 
 a) log24 = 2, pois 22 = 4 
b) log381 = 4, pois 34 = 81 
Teoria dos Logaritmos – o porquê dos Logaritmos 
Considere as expressões: 
• 31245 + 6231 
• 31245 – 6231 
• 31245 . 6231 
• 31245 : 6231 
 
Quais delas você resolveria mais rapidamente? 
 De modo geral é mais simples somar ou subtrair dois números do que multiplicá-los 
ou dividi-los. Com base nessas ideias o escocês John Napier (ou Neper) formalizou 
a teoria dos logaritmos, cuja finalidade é simplificar cálculos numéricos. 
Os princípios básicos dos logaritmos – transformar uma multiplicação em adição 
ou uma divisão em subtração – já haviam sido vislumbrados por outros 
matemáticos antes de Napier. 
Para que Servem os Logaritmos - Aplicação 
O estudo dos logaritmos é muito importante para os homens, agilizam os cálculos 
relacionados à Astronomia, à Navegação e ao Comércio. 
 
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 34 
 
Muitos dos fenômenos que ocorrem nas diversas áreas de atuação do homem são 
descritos por leis matemáticas que envolvem logaritmos. Veja alguns exemplos: 
• Em Física, por exemplo, no ramo da acústica, aplica-se logaritmo no cálculo 
do nível sonoro, serve para medir a força de um terremoto, por exemplo, é 
determinado por uma função logarítmica que relaciona a amplitude das 
ondas sismológicas com o tempo (escala Richter); 
• Já em Química, o logaritmo é usado para calcular o pH (potencial 
hidrogeniônico), classificando-se desse modo, uma solução química em 
ácida, neutra ou básica; 
• Na Matemática Financeira, usamos uma das propriedades e a tabela 
logarítmica para calcular o período (tempo) de aplicação e o Montante (Capital 
+ Juros) no regime de juros compostos; 
• Na Estatística (um dos ramos da Matemática), usamos logaritmos para 
determinar um intervalo de classe nas variáveis contínuas, dentre outros 
exemplos. 
 Resumo sobre Logarítmos 
 
 
Consequências da Definição 
 1º) logb1 = 0 
2º) logb b = 1 
3º) logb bn = n 
4º) blog ba = a 
5º) logb a = logb c a = c 
 
 
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Condições de Existência - Equações Logarítmicas 
 
 
Propriedades dos Logaritmos 
• Logaritmo de um produto 
 
• Logaritmo de um quociente 
 
• Logaritmo de uma potência 
 
• Logaritmo de uma raiz 
𝑙𝑜𝑔𝑏 √𝑎𝑚𝑛
= 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎
𝑚
𝑛
 = 
𝑚
𝑛
 . 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 
• Mudança de base 
 
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 
𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎
𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 > 0; 0 < 𝑏 ≠ 1; 0 < 𝑐 ≠ 1 
 
 
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 
Veja: 
 
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 36 
 
• log3 (x – 1) = 2 
• logx+1 (19 – x) = 2 
• 1 – log2 x = 32 + 4 log2 x 
 
Elas apresentam a incógnita envolvida com logaritmos e, por esse motivo, são 
chamadas de equações logarítmicas. 
Para resolvê-la aplicaremos, além da definição de logaritmo, a seguinte propriedade: 
 
Exemplos 
 
1º) Resolva a equação log2 (x – 4) = 3. 
Resolução: Observando a condição de existência do logaritmo, devemos ter: 
 
 
Usando a definição de logaritmo, vem: 
 
Na resolução de equações logarítmicas, devemos sempre verificar se os valores 
obtidos para a incógnita satisfazem as condições de existência. 
Somente tais valores é que devem ser apresentados como solução da equação. 
Como x =12satisfaz a condição de existência do logaritmo, o conjunto solução da 
equação é S = {12}. 
 
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2º) Determine o conjunto solução da equação logx (3x2 – x) = 2. 
 Resolução: As condições de existências são: 
 
 
Usando a definição, obtemos: 
 
Verificação: 
 
Observe que satisfaz as duas condições de existências, mas x = 0 não. 
Nesse caso, é a única solução da equação. Logo, 
 
3) Qual o conjunto verdade da 
Resolução: A condição de existência do logaritmo é x > 0. 
 Fazendo a substituição log3 x = Y, temos: 
 
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 Resolvendo a equação do 2º grau em y, vem: 
 
 
Voltando à igualdade log3x = y, obtemos: 
 
Como esses dois valores satisfazem à restrição imposta inicialmente, 
temos 
Exercícios 
1) Resolva as equações: 
 
2) Determine o conjunto solução das seguintes equações: 
 
 
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INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 
Chamamos de inequação logarítmica toda inequação que envolve logaritmos com 
a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos. 
 Exemplos 
1º) log2x > 0, que é satisfeita para x > 1 . 
 2º) log4 (x+3) ≤, que é satisfeita para –3 < x ≤ 1. 
Para resolver inequações logarítmicas, devemos observar dois passos importantes: 
 1º Passo: Redução dos dois membros da inequação a logaritmos de mesma base; 
2º Passo: Aplicação da propriedade. 
 
 1) Resolva a inequação 
Resolução: A condição de existência é: 
 
Como a base é um número entre 0 e 1, a função logarítmica é decrescente e o 
sentido da desigualdade se inverte para os logaritmandos. 
x – 3 ≤ 4 O sentido da desigualdade se inverte. x ≤ 7 (II) 
 
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 40 
 
 A solução da inequação deve satisfazer as duas condições. Na reta real: 
Quadro de resolução: 
 
2º) Resolva a inequação log12 (x – 1) + log12 (x – 2) ≤ 1. 
Resolução: As condições de existências são: 
 
 Na reta real: 
Quadro de resolução: 
 
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 41 
 
 
 Exercícios 
1) Resolva as inequações: 
 a) log√2 (x – 6) > log√2 5 
 b) log2 (4 – x) < log2 3 
 c) log1 x < log1 (4x – 1) 
 2) Determine o conjunto solução das inequações: 
 a) log10 (a2 – 2a + 1) < 2 
 b) log1 (x2 +4x – 5) ≥ – 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aula 05_Função Exponencial 
Palavras-chaves: função exponencial; gráficos. 
 
A função dada por ƒ(x) = ax (com a >0 e a ≠ 1) é denominada função 
exponencial de base a. 
 Por que a base deve ser positiva e diferente de 1? 
Veja o porquê. 
• Se a<0, então ƒ(x) = ax não estaria definida para todo x real. 
 Por exemplo, supondo a= -2 e 𝑥 = 
1
2
 , 𝑡𝑒𝑟í𝑎𝑚𝑜𝑠: 𝑓 (
1
2
) = (−2)
1
2, 
Ou ainda, 𝑓 (
1
2
) = √−2 𝑞𝑢𝑒 𝑛ã𝑜 é 𝑟𝑒𝑎𝑙. 
• Se a = 1, então ƒ(x) = ax é uma função constante: ƒ(x) = 1x , sendo ƒ(x) = 1, para 
todo x real. 
Vamos agora examinar o comportamento da função exponencial traçando o seu 
gráfico no plano cartesiano. 
Temos dois casos: 
 
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Neste caso, quanto maior o expoente x, menor é a potência ax, ou seja, se 
0 < a < 1 a função ƒ(x) = ax é decrescente. 
De acordo com a definição da função ƒ(x) = ax (com a> 0 e a ≠1) observando os 
dois gráficos, temos: 
• O domínio da função é D = R. 
• O contradomínio da função é CD = R. 
• A imagem da função é Im = (reais positivos) 
Existem fatos que podem ser descritos por meio de uma função do tipo 
exponencial, tais como o juro do dinheiro acumulado, o crescimento ou 
decrescimento de populações animais ou vegetais e desintegração radioativa. 
 Exemplos 
1º) Uma pessoa deposita R$ 500,00 na caderneta de poupança e, mensalmente, 
são creditados juros de 2% sobre o saldo. Sabendo que a fórmula do montante 
(capital + rendimentos), após x meses, é M(x) = 500. (1,02) x calcule: 
a) O montante após 1 ano; 
b) O rendimento no primeiro ano. 
Resolução: 
a) Sabemos que M(x) = 500. (1,02) x. Após 1 ano (x=12), temos: M(x) = 500. 
(1,02)12 
M ≈ 500. 1,2682418 M ≈ 634,12. 
 
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Então, o montante após 1 ano será de R$ 634,12. 
b) Para calcular o rendimento no primeiro ano, lembramos que montante é igual a 
(capital + rendimentos). Então: rendimentos é igual a (montante– capital). 
 634,12 – 500,00 = 134,12. Logo, o rendimento no primeiro ano será de R$ 134,12 
2º) Uma cultura, inicialmente com 100 bactérias, reproduz-se em condições ideais. 
Suponha que, por divisão celular, cada bactéria dessa cultura dê origem a duas 
outras bactérias idênticas por hora. 
a) Qual a população dessa cultura após 3 horas do instante inicial? 
b) Depois de quantas horas a população dessa cultura será de 51.200 bactérias? 
 Resolução: 
a) No instante inicial, temos 100 bactérias. 
Uma hora depois, teremos: 100. 2 = 200 bactérias. 
Decorrida mais uma hora (após 2 horas do instante inicial), a população será de: 
(100. 2) . 2 = 100. 22 = 400 bactérias. 
Decorrida outra hora (após 3 horas do instante inicial), a população será de: (100. 
22) . 2 = 100. 23 = 800 bactérias. E assim por diante. 
Após 3 horas, teremos 800 bactérias. 
 
b) Depois de n horas, teremos uma população P dada por P = 100. 2n 
De acordo com os dados do problema, temos: 
 
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Então, a população da cultura será de 51.200 bactérias após 9 horas. 
 
Exercícios 
1) Identifique como crescente ou decrescente as seguintes funções exponenciais: 
 
2) Determine o ponto de intersecção dos gráficos das funções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 47 
 
Aula 06_Função Logarítmica. Logaritmo decimal. Cologaritmo 
 
Palavras-chaves: função logarítmica; logaritmos decimais; gráficos; cologaritmo. 
 
A função exponencial f: R R*+ definida por y = ax (com a > 0 e a ≠ 1), é bijetora. 
Nesse caso, podemos determinar a sua função inversa. 
Você já deve ter adivinhado que a função inversa da função exponencial é a função 
logarítmica. 
Observe: y = ax , x = loga y, permutando as variáveis, y = loga x. 
Vamos agora examinar o comportamento da função logarítmica traçando o seu 
gráfico no plano cartesiano. 
 Temos dois casos: 
 1º caso: base a > 1, a função ƒ(x) = loga x é crescente. 
 
 2º caso: base 0<a < 1, a função ƒ(x) = loga x é decrescente. 
 
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 Exercícios 
 1) Esboce os gráficos das funções: 
 a) y = log3x 
 b) f(x) = log2 (x – 1) 
 c) y = log |x| 
 2) Construa, num mesmo sistema de eixos, os gráficos de: 
 
COLOGARITMO 
Chamamos cologaritmo de um número positivo b numa base a ( 1 ≠ a > 0) e 
indicamos cologa b o logaritmo do inverso desse número b na base a. 
 
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Em símbolos: 
 
 Como 
podemos também escrever: cologa b = – logab. 
 
 Exemplos 
 1) colog2 8 = – log2 8 = – 3 
 2) colog3 81= – log3 81 = – 4 
 
Mudança de base 
Podem aparecer, no cálculo, situações em que encontramos vários logaritmos em 
bases diferentes. 
Como as propriedades logarítmicas só têm validade para logaritmos numa mesma 
base, é necessário fazer antes a conversão dos logaritmos de bases diferentes para 
uma única base conveniente. Essa conversão chama-se mudança de base. 
 Vamos supor, por exemplo, que temos loga x = y e que precisamos descobrirquanto 
vale logb x. 
 Para isso devemos fazer a mudança da base a para a base b. 
 
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 50 
 
 
 Exemplos 
 
LOGARITMOS DECIMAIS 
Logaritmos decimais, verificam as propriedades da característica e das mantissas. 
As principais propriedades dos logaritmos decimais são: y 
 
 
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 51 
 
Consideremos, agora, um número real positivo x escrito na forma decimal. 
Este número x ou está compreendido entre duas potências de base 10 e expoentes 
inteiros e consecutivos, ou é igual a uma potência de base 10 e expoente inteiro. 
Exemplos 
1) 100 < 3,54 < 101 
2) 101 < 29,3 < 102 
3) 102 < 347,81 < 103 
4) 102 < 100 < 103 
5) 103 < 1000 < 104 
Podemos, então, concluir que para todo número real positivo x existe um único 
número inteiro c que satisfaz a condição: 
 10c ≤ x < 10c+1 
 Procuremos, agora, log x: 
 
 Podemos, portanto, escrever: log x = c + m sendo 0 ≤ m < 1, ou seja, que o 
logaritmo decimal de x é a soma de um número inteiro c com um número 
decimal m menor que 1 e não-negativo. 
 Este número c é chamado de característica do log x e o número decimal m é 
chamado de mantissa do log x. 
 Vejamos dois exemplos 
 
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1) log 458 
 Resolução: 
 Como 102 <458 < 103, temos que log 102 < log 458 < log 103 ou 2 < log 458 < 3 e, 
daí, c = 2. 
 Consultando a tábua (ou tabela) de logaritmos (a rigor deveria chamar-se tábua de 
mantissas, pois não fornece logaritmos) na página final desta aula, encontramos m = 
0,6608. 
 Portanto, log 458 = 2 + 0,6608 = 2,6608. 
2) log 0,0572 
 Resolução: 
 Como 10–2 <0,0572 <10–1, temos: log 10–2 <log 0,0572 < log 10–1 ou 
–2 < log 0,0572 < –1 c = – 2. 
 Consultando a tábua de logaritmos, obtemos m = 0,7574. 
Portanto, log 0,0572 = – 2 + 0,7574 = – 1,2426 
Determinação da Característica 
 Para determinar a característica de log x vamos considerar os casos em que x > 
1 e 0 < x < 1. 
 1º caso: x > 1 
A característica de log x (x>1) é igual ao número de algarismos de sua parte inteira 
diminuído de 1. 
 
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 Exemplos 
 1) log 3487 tem característica 3 (4 –1 = 3). 
 2) log 593 tem característica 2 (3 – 1 = 2). 
 
 2º caso: 0 < x< 1 
A característica de logx (0 < x < 1) é igual ao simétrico do número de zeros que 
antecedem o primeiro algarismo significativo. 
 Exemplos 
1) log 0,8 tem característica – 1. 
 2) log 0,0002 tem característica – 4. 
 3) log 0,00107 tem característica – 3. 
Propriedade da mantissa 
 Consideremos, como exemplo, log 256, que tem característica 2 e mantissa 
0,4082, o que nos permite escrever log 256 = 2 + 0,4082. 
 Vamos, agora, estabelecer os valores de log 0,0256, log 0,256, log 2,56, log 25,6 e 
log 2560: 
 
• log 0,0256 = log (10–4.256) = log10–4 + log 256 = – 4 + 2 + 0,4082 = – 2 + 0,4082 
• log 0,256 = log (10–3.256) = log10–3 + log 256 = – 3 + 2 + 0,4082 = – 1 + 0,4082 
 
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 54 
 
• log 2,56 = log (10–2.256) = log10–2 + log 256 = – 2 + 2 + 0,4082 = 0 + 0,4082 
• log 25,6 = log (10–1.256) = log10–1 + log 256 = – 1 + 2 + 0,4082 = 1 + 0,4082 
• log 2560 = log (10.256) = log10 + log 256 = 1 + 2 + 0,4082 = 3 + 0,4082 
 
Como podemos perceber, as mantissas são iguais. 
 De modo geral, podemos enunciar: 
Os logaritmos de dois números escritos na forma decimal, que diferem apenas 
pela posição da vírgula, têm a mesma mantissa. 
 Vamos, por exemplo, calcular log , 
 sabendo que log x = c + m. Temos, então: 
 
A parcela inteira n incide somente sobre a parte inteira de log x , ou seja, sobre c, 
deixando inalterada a mantissa m. 
Exemplos 
1) log 0,00083, log 0,0083, log 0,083, log 0,83, log 8,3, log 830 e log 8300 têm 
todos a mesma mantissa: 0,9190. 
 2) log 0,47, log 4,7, log 47, log 470 e log 4700 têm todos a mesma mantissa: 
0,6720. 
. 
 
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Aula 07_Arco de Circunferência. Ângulo central 
 
 Palavras-chave: arco; circunferência; ângulo central. 
Os pontos A e B, da figura abaixo, dividem a circunferência em duas partes. Cada 
uma dessas partes é denominada arco de circunferência, ou simplesmente arco. 
 
 Arco de circunferência é cada uma das partes em que uma circunferência fica 
dividida por dois de seus pontos. 
Para distinguir um arco do outro, podemos considerar um ponto em cada um deles, 
conforme indica a figura: 
 
Se os pontos A e B coincidem, eles determinam na circunferência o 
arco nulo ou arco de uma volta. 
 
 
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 Vamos convencionar, neste material, indicar os arcos menores de uma 
semicircunferência apenas pelos extremos. 
 Adotaremos a mesma convenção, sempre que estiver claro a qual dos dois arcos 
estamos nos referindo. 
Ângulo Central 
 Consideremos uma circunferência de centro O e os pontos A e B pertencentes a 
ela. Traçando as semirretas determinamos o ângulo central e o 
arco AB. A medida de um arco de circunferência é a 
 
 
 
 
Unidades de Medidas de Arcos e Ângulos 
 Para medir arcos e ângulos utilizamos o grau e o radiano. 
 
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 57 
 
Grau 
Dividimos uma circunferência em 360 partes iguais, cada uma dessas partes é um 
arco de 1º (lê-se um grau). 
 Isso significa que a circunferência possui 360º. 
 Lembre-se que a medida em graus de um arco é igual à medida em graus do ângulo 
central correspondente. 
Os submúltiplos do grau são o minuto e o segundo. 
 
Por exemplo, se a medida de um arco é 50 graus, 15 minutos e 27 segundos, 
indicaremos: 50º 15´27”. 
Radiano 
É o arco cujo comprimento é igual à medida do raio da circunferência que o contém. 
Indicamos, abreviadamente por rad. 
 Em geral, para se determinar a medida de um arco ab em radiano ά basta dividir o 
comprimento do arco ℓ pela medida do raio da circunferência que o contém (r). 
 
 
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 58 
 
Por exemplo, a medida de um arco AB de comprimento 8 cm, contido numa 
circunferência de raio igual a 4 cm, é 2 rad, pois: 
 
Como o comprimento da circunferência é a medida, em radianos da 
circunferência toda é: 
 
Comparando as medidas em graus e em radianos, obtemos: 
 
 Exemplos 
1) Expresse 300º em radianos. 
 Resolução: Estabelecemos a seguinte regra de três: 
 
 2) A roda dianteira de um velocípede tem 60 cm de diâmetro. 
 
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Resolução: 
a) A medida do raio é igual à metade da medida do diâmetro. 
 
 Assim, o comprimento da circunferência da roda dianteira é: 
 
 b) Se a bicicleta anda 1,884 m a cada volta da roda dianteira, para andar 94,2 m 
ela dará um número de voltas igual a: 94,2: 1,884 = 50 voltas. 
Comprimento de um arco 
 Para determinar o comprimento ℓ do arco AB, podemos estabelecer a seguinte regra 
de três simples e direta: 
 
 
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 60 
 
 
Exemplo 
1) Numa circunferência de raio r = 30 cm, qual é o comprimento de um arco que 
subentende um ângulo central de 60º? Considere 
Resolução: 
 
 Exercícios 
 
 2) Numa circunferência de 32 cm de diâmetro, marca-se um arco AB de 8 cm 
de comprimento. Qual a medida desse arco em radianos? 
 3) Num círculo de raio r = 30 cm, um arco de comprimento 6 cm subentende 
um ângulo central de medida (em radianos). 
 
 
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 61 
 
Aula 08_Circunferência Trigonométrica ou Ciclo Trigonométrico.Arcos côngruos 
Palavras-chaves: trigonometria; ciclo trigonométrico; arcos côngruos. 
Vamos fixar um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais uÔv no plano. 
 A circunferência orientada de centro na origem do sistema, de raio unitário r = 1 e 
cujo sentido positivo é o anti-horário, é denominada circunferência trigonométrica ou 
ciclo trigonométrico. 
 
Sobre essa circunferência vamos marcar os arcos trigonométricos que têm: 
• Origem no ponto A (1,0) 
• Medidas algébricas positivas, se marcados no sentido anti-horário, e negativas, 
se marcados no sentido horário. 
Os eixos do sistema de coordenadas cartesianas ortogonais dividem a circunferência 
trigonométrica em quatro partes iguais, que são chamadas quadrantes, numeradas 
a partir do ponto A, no sentido anti-horário. 
Observe também as extremidades dos quadrantes do ciclo trigonométrico, em graus 
e em radianos. 
 
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 62 
 
 
Como a circunferência trigonométrica tem raio unitário (r = 1), a medida de qualquer 
arco, em radianos, é numericamente igual ao comprimento desse arco. 
 
Portanto, percorrer um arco de x rad no ciclo trigonométrico é fazer um percurso de 
comprimento x. Desse modo, no lugar de escrevemos, simplesmente, 
Em vez de denominamos e assim por diante. 
 
 
 
 
 
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Arcos Côngruos 
 É fácil verificar que, com origem em A e extremidade em P, há uma infinidade de 
arcos. Para isso, basta o percurso num sentido ou noutro e dar mais voltas ou menos 
voltas na circunferência. Vamos considerar, como exemplos: 
 a) Um arco de 60º 
 
 
Os arcos que têm a mesma extremidade e diferem apenas pelo número de voltas 
inteiras são chamadas de arcos côngruos. 
 De maneira geral: 
 
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 Exemplos 
 1) Um móvel, partindo do ponto A, percorreu um arco de na circunferência 
trigonométrica. Quantas voltas completas deu e em que quadrante parou? 
 
 O móvel deu 4 voltas completas no sentido anti-horário. 
 Como 180º < 250º < 270º, o móvel parou no 3º quadrante. 
 2) Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos 
côngruos ao arco de 1940º. 
 
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 Resolução: 
 
 Exercícios 
 1) Quantas voltas completas dá e em que quadrante para um móvel que, partindo 
da origem dos arcos, percorre, na circunferência trigonométrica, um arco de: 
 
 2) Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos 
côngruos a: 
 
 
 
 
 
 
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Aula 09_Seno e Cosseno de um arco. Redução ao primeiro 
quadrante 
 
Palavras-chave: trigonometria; seno; cosseno; primeiro quadrante. 
 
Vamos verificar como operar seno, cosseno e tangente com ângulos maiores 
que 90° no ciclo trigonométrico. 
 Até o momento, operamos com os números sen x, cos x, tg x no triângulo 
retângulo, onde x representa a medida de um ângulo agudo. 
 Mas o que ocorrerá se x for a medida de um ângulo maior que 90º ? 
 Para responder a essa pergunta, precisamos ampliar as noções de sen x, cos 
x, tg x para os casos em que x representa a medida de um ângulo maior que 90º. 
 Consideremos no ciclo trigonométrico o ponto M, que é a imagem do número 
real x, conforme indica figura. 
 
Daí, definimos: 
• Seno de x é a ordenada do ponto M. 
• Cosseno de x é a abscissa do ponto M. 
 
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 67 
 
O eixo v (vertical) é o eixo dos senos e o eixo u (horizontal) é o dos cossenos. 
 Daí, se M é um ponto do ciclo trigonométrico, podemos escrever: 
M (cos x; sen x). 
 Essa nova definição tem a vantagem de não ficar restrita aos ângulos agudos. Agora 
podemos falar de seno de arcos (ou ângulos) de qualquer medida. 
 
Valores importantes de sen x e cos x 
 
 
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 Exemplos 
 1) Calcule o valor de sen 1.830º. 
 Resolução: Vamos calcular a 1ª determinação positiva: 
 
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 Exercícios 
1) Determine o valor de: 
 
2) Determine o valor de: 
 
 
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REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE 
Verificaremos, agora, como fazer a redução ao primeiro quadrante, usando a simetria 
do estudo do seno e cosseno. Usando a simetria, podemos relacionar o seno e o 
cosseno de um arco de qualquer quadrante com os valores do primeiro quadrante. 
Desse modo, estaremos fazendo uma redução ao 1º quadrante. 
 Redução do segundo quadrante para o primeiro quadrante 
 
Do exposto, podemos dizer que: 
 
 
 
Redução do terceiro quadrante para o primeiro quadrante 
 
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Redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante. 
 
 
 Exemplos 
 
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1) Calcule os valores de sen 210º e cos 210º. Resolução: Reduzindo esse arco ao 
1º quadrante: 
 
 
 
 
3) Simplifique a expressão A = sen (900º – x) + cos (1980º + x)+sen (1440º – x) 
 
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Resolução: Sabemos que: 
 
Substituindo na expressão: A = sen x – cos x – sen x A = – cosx 
 Exercícios 
1) Determine: 
a) sen 150º 
b) cos 150º 
c) sen 240º 
d) cos 240º 
2) Calcule sen 330º – cos 2460º 
 
 
 
 
 
 
 
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Aula 10_Gráficos das funções Seno e Cosseno 
Palavras-chave: gráficos; seno; cosseno. 
Para estudar a função seno (y = sen x) e a função cosseno (y = sen x) vamos variar 
x no intervalo [0, 2π]. 
a) y = sen x 
 
O gráfico da função seno é chamado de senoide e ele continua à direita de e à 
esquerda de 0 (zero). 
A partir do gráfico, podemos construir o quadro: 
 
 
 
 
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 Concluímos que: 
• O domínio da função y = sen x é o conjunto dos números reais, isto é, D = IR. 
• A imagem da função y = sen x é o intervalo [–1,+1], isto é, – 1≤sen x ≤1. 
• Toda vez que somamos 2 π a um determinado valor de x, a função seno assume 
o mesmo valor. Como 2 π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o 
período da função y = sen x é p = 2 π. 
Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico onde 
marcamos o arco x. 
Quando adicionamos 2kπ ao arco x, obtemos sempre o mesmo valor para o seno, 
pois a função seno é periódica de período 2π: 
 
O seno é uma função ímpar 
Observe que, no ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos números x e – 
x têm imagens simétricas em relação ao eixo das abscissas. Daí resulta que as 
ordenadas desses pontos têm o mesmo valor absoluto, porém, sinais opostos. 
Então, sen (–x) = – sen x. 
Quando uma função f é tal que f (–x)= – f(x), para todo x do seu domínio, dizemos 
que f é uma função ímpar. 
Como sen (–x) = – sen x, para todo x real, podemos afirmar que a função seno é 
ímpar. 
 
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O gráfico da função cosseno é chamado de cossenóide e ele continua à direita de 
2.π e à esquerda de 0 (zero). 
A partir do gráfico, podemos construir o quadro. 
 
Concluímos que: 
• O domínio da função y = cos x é o conjunto dos números reais, isto é, D = IR. 
• A imagem da função y = cos x é o intervalo [–1,1], isto é, –1≤ cos x ≤ 1. 
• O período da função y = cos x é igual a 2π. 
Essa conclusão pode ser obtida, também,a partir do ciclo trigonométrico onde 
marcamos o arco x. 
 
 
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Quando adicionamos 2kπ ao arco x, obtemos sempre o mesmo valor para o 
cosseno, pois a função cosseno é periódica de período 2π: 
cos x = cos(x + 2kπ), k Z 
 
O cosseno é uma função par 
Como já observamos, no ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos 
números x e –x têm imagens simétricas em relação ao eixo das abs-cissas. Daí 
resulta que esses pontos têm a mesma abscissa. 
Então, cos(–x) = cos x. 
Quando uma função ƒ é tal que ƒ(–x) = ƒ(x), para todo x do seu domínio, dizemos 
que ƒ é uma função par. 
Como cos(–x) = cos x, para todo x real, podemos afirmar que a função cosseno é 
par. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aula 11_Tangente de um arco 
Palavras-chave: trigonometria; tangente; gráficos. 
Vejamos como operar tangentes, com ângulos maiores que 90° no ciclo 
trigonométrico. 
Considere a circunferência trigonométrica da figura e o arco AM de medida x. 
 
 
 
 
 
 
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 Exemplos: 
 
 
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 Exercícios 
 
 
1) Determine o valor 
a) tg 900º c) tg (– 1035º) 
b) tg 1500º d) tg 11π 
 
 
 
 
 
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Aula 12_Equações Trigonométricas. Relação fundamental da 
trigonometria 
Palavras-chave: trigonometria; equações; fundamental. 
Denomina-se equação trigonométrica toda equação onde aparecem funções 
circulares da incógnita ou expressões contendo incógnita. Os valores da variável, 
caso existam, que satisfazem a equação dada, constituem a solução da equação 
trigonométrica. 
Equações do tipo sen x = m e cos x = m. Exemplos 
 
 
b) No conjunto dos números reais. 
 
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Resolução: 
 
 
 
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RELAÇÃO TRIGONOMÉTRICA FUNDAMENTAL 
 
No triângulo retângulo, OM’ M, pelo teorema de Pitágoras, temos: 
(MM’)2 + (OM’)2 = (OM)2 (sen x)2 + (cos x)2 = 12 ou ainda, 
sen2 x + cos2 x = 1 
Essa relação é chamada relação trigonométrica fundamental e é válida para todos 
os valores reais de x. 
 
 
 
 
 
 
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Exemplos 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplos 
 
 
 
 
 
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Aula 13_Equações Trigonométricas que Envolvem Artifícios 
Palavras-chave: trigonometria; equações; resoluções. 
 
Resolveremos equações trigonométricas que envolvem artifícios para facilitar o 
desenvolvimento e aprenderemos também, como fazer operações com as fórmulas 
da adição de arcos. 
 Exemplos 
 
 
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Aula 14_Fórmulas de adições, multiplicação e divisão de arcos 
 
Palavras-chave: trigonometria; adição; multiplicação; divisão; arcos. 
 
ADIÇÃO DE ARCOS 
Cálculo de sen (a + b) e cos (a + b) 
Como exemplo, vamos comparar os resultados dos cálculos das 
expressões sen (60º + 30º) e (sen 60º +sen 30º): 
 
De modo geral, sen (a + b) ≠ sen a + sen b. Vejamos então como calcular o 
seno e o cosseno da soma de dois arcos. 
Sendo a e b dois arcos quaisquer, valem as seguintes igualdades: 
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a 
cos (a+b) = cos a . cos b – sen a . sen b 
Essas são as fórmulas que permitem determinar o seno e o cosseno da soma 
de dois arcos a e b, quando são conhecidos os valores do seno e do cosseno dos 
arcos a e b. 
 Exemplos 
1) Calcule sen 105º 
Resolução: sen 105º = sen (45º + 60º) 
 
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Aplicando-se a fórmula do seno de uma soma: 
sen (45º+60º) = sen 45º . cos 60º + sen 60º. cos 45º 
 
2) Calcule cos 135º 
Resolução: Transformando cos 135º = cos (90º + 45º) 
Aplicando a fórmula do cosseno de uma soma: 
 
 
Da fórmula da soma, temos: 
sen (a –b) = sen [ a + (–b)] = sen a . cos (–b) + sen(–b) . cos a sen (a – b) = sen 
a . cos b – sen b . cosa 
 
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• cos (a – b) = cos a .cos b + sen a . sen b 
Da fórmula da soma, temos: 
cos (a –b) = cos [ a + (–b)] = cos a . cos (–b) – sen a. sen (–b) cos (a – b) = cos 
a . cos b + sen a . cos b 
Essas são as fórmulas que permitem determinar o seno e o cosseno da diferença de 
dois arcos a e b, quando são conhecidos os valores do seno e do cosseno desses 
arcos. 
 Exemplo 
1) Calcule cos 15º 
Resolução: Transformando: cos 15º = cos (45º – 30º) 
Aplicando a fórmula do cosseno da diferença: 
cos (45º – 30º) = cos 45º . cos 30º + sen 45º . sen 30º 
 
Cálculo de tg (a + b) e tg (a – b) 
• Cálculo de tg (a + b) 
 
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Essa relação é válida para valores de a, b e a + b que pertencem ao domínio da 
função tangente, ou seja, para: 
 
Essa relação é válida para os valores a, b e a – b que pertencem ao domínio da 
função tangente, como já vimos anteriormente. 
Essas duas fórmulas permitem determinar, respectivamente, a tangente da soma e 
da diferença de dois arcos a e b, quando são conhecidos os valores das tangentes 
desses arcos. 
 
 
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Exemplo 
 
 
 
FÓRMULA DA MULTIPLICAÇÃO E DE DIVISÃO DE ARCOS 
Multiplicação de Arcos 
Este item é apenas uma aplicação das fórmulas da adição (a + b) de dois arcos. 
Nelas faremos b = a, obtendo as fórmulas para o arco 2a. 
 
Exemplo 
 
 
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a) sen 2a 
b) cos 2a 
c) tg 2a 
 
 
 
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Exemplos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 98 
 
Aula 15_Inequação Trigonométrica 
Palavras-chave: trigonometria; inequações. 
Toda inequação envolvendo uma função trigonométrica com arco desconhecido, 
denomina-se inequação trigonométrica. 
Assim são inequações trigonométricas: 
 
Os valores de x que satisfazem a inequação, formam o conjunto solução da 
inequação. 
Exemplos: 
1) Resolva a inequação sen x ≥ 0, para 0 ≤ x ≤ 2π. 
 Resolução: Analisando a inequação sen x no ciclo trigonométrico: 
 
 
 
 
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Aula 16_Atividades de investigação da aprendizagem 
 
Palavras-chave: trigonometria; atividades de aprendizagem.Vamos relembrar como determinar o seno e o cosseno de um ângulo qualquer. 
Primeiro passo: construímos uma circunferência de centro O e raio 1 unidade. Marca-
se o ponto A na circunferência e é feita a projeção do segmento AO no eixo x, 
obtendo assim o ponto B conforme a figura abaixo 
 
A ideia de se construir uma figura desse tipo, é deixar o “desenho” acima e parecido 
com o triangulo retângulo abaixo. 
 
 
 
 
 
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Traçamos então uma reta paralela ao eixo x passando por A, obtendo assim o ponto 
M no eixo y conforme a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
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Se repararmos que os segmentos OB e OM possuem a mesma medida; podemos 
generalizar a ideia de que para se obter o seno de um ângulo qualquer basta medir 
a distância existente entre os pontos O e M obtidos na figura acima. 
E com o auxílio de uma régua podemos verificar que .... 
 
A explicação acima nos leva ao tema Redução ao primeiro quadrante. 
É com esse raciocínio que podemos determinar o seno de 210 graus; por exemplo. 
Assim; podemos dizer que o seno de 210 graus possui o mesmo módulo que o seno 
de 30 graus; pois a projeção em termos de “tamanho” no eixo y; é a mesma, ou seja 
possui a mesma medida; o que muda na realidade é que a projeção é feita na parte 
negativa do eixo y, então temos: 
 
 Veja a figura a seguir: 
 
 
 
 
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 Bem .... 
Vamos agora tentar obter os senos dos ângulos abaixo como fixação; se utilizando 
da tabela de arcos notáveis, tente fazer você. 
 
Vamos lá determinar alguns cossenos e tangentes, tente fazer você. Inicialmente 
vamos lembrar dos quadrantes onde o seno, o cosseno e a tangente são positivos e 
negativos. 
 
 
 
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 107 
 
 
 
 
 
 
Porém como estamos no primeiro quadrante, todas as funções trigonométricas são 
positivas: Precisamos do cosseno e da cotangente para resolvermos o item “a”; e da 
secante e da cossecante para resolvermos o item “b”. Já para resolvermos o item “c” 
precisamos do seno e do cosseno. 
Sabemos que: 
 
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