Geometria Analítica - Bases

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Título
Disciplina
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Geometria Analítica
Aula 04
Andressa Nathally Rocha Leal
Agenda
■ Bases;
■ Coordenadas;
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Bases
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Vimos na aula anterior que, para descrever qualquer vetor em um plano
bastava escrevermos um vetor em função de dois vetores LI enquanto que
para escrever qualquer vetor do espaço, precisávamos de 3 vetores LI.
Além disto, vimos que qualquer vetor 𝑢 é escrito de maneira única em relação
a uma lista LI. Sendo assim, definimos:
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Definição: Uma tripla ordenada linearmente independente 𝐸 = ( Ԧ𝑒1, Ԧ𝑒2, Ԧ𝑒3)
chama-se base de 𝕍3.
OBS: Se trabalharmos no plano, isto é, 2D ou 𝕍𝟐, uma base E é dada por
𝑬 = (𝒆𝟏, 𝒆𝟐).
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Base é um conjunto L.I. ordenado com três vetores.
Qualquer vetor do 𝕍3 se escreve como combinação linear dos vetores da
base de maneira única.
Seja 𝐸 = ( Ԧ𝑒1, Ԧ𝑒2, Ԧ𝑒3) uma base, para todo 𝑢 pertencente ao 𝕍3 , existem
𝑎1, 𝑎2 𝑒 𝑎3 pertencentes aos reais tais que:
𝑢 = 𝑎1 Ԧ𝑒1 + 𝑎2 Ԧ𝑒2 + 𝑎3 Ԧ𝑒3
E estes coeficientes são únicos.
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Seja um vetor qualquer dado por 𝑢 = 𝑎1 Ԧ𝑒1 + 𝑎2 Ԧ𝑒2 + 𝑎3 Ԧ𝑒3. Cada coeficiente da
combinação linear é chamado coordenada de 𝑢 em relação à base E.
Também podemos escrever este vetor da seguinte forma: 𝑢 = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 𝐸 ou
𝑢 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3), se não tivermos dúvidas sobre a base utilizada.
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Proposição: Sejam a base 𝐸 = ( Ԧ𝑒1, Ԧ𝑒2, Ԧ𝑒3), os vetores 𝑢 = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 𝐸 e Ԧ𝑣 =
𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 𝐸, e 𝛼 ∈ ℝ. Então:
a) 𝑢 + Ԧ𝑣 = 𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2, 𝑎3 + 𝑏3 𝐸
b) 𝛼𝑢 = 𝛼𝑎1, 𝛼𝑎2, 𝛼𝑎3 𝐸
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Proposição: Sejam a base 𝐸 = ( Ԧ𝑒1, Ԧ𝑒2, Ԧ𝑒3), os vetores 𝑢 = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 𝐸 e Ԧ𝑣 =
𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 𝐸, e 𝛼 ∈ ℝ. Então:
a) 𝑢 + Ԧ𝑣 = 𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2, 𝑎3 + 𝑏3 𝐸
Prova:
𝑢 + Ԧ𝑣 = 𝑎1𝑒1+ 𝑎2𝑒2 + 𝑎3𝑒3+𝑏1𝑒1+𝑏2𝑒2+𝑏3𝑒3
𝑢 + Ԧ𝑣 = (𝑎1+ 𝑏1)𝑒1 + (𝑎2+𝑏2)𝑒2+(𝑎3+𝑏3)𝑒3
𝑢 + Ԧ𝑣 = 𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2, 𝑎3 + 𝑏3 𝐸
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Proposição: Sejam a base 𝐸 = ( Ԧ𝑒1, Ԧ𝑒2, Ԧ𝑒3), os vetores 𝑢 = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 𝐸 e Ԧ𝑣 =
𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 𝐸, e 𝛼 ∈ ℝ. Então:
b) 𝛼𝑢 = 𝛼𝑎1, 𝛼𝑎2, 𝛼𝑎3 𝐸
Prova:
𝛼𝑢 = 𝛼(𝑎1𝑒1+ 𝑎2𝑒2 + 𝑎3𝑒3)
𝛼𝑢 = (𝛼𝑎1𝑒1+ 𝛼𝑎2𝑒2 + 𝛼𝑎3𝑒3)
Portanto,
𝛼𝑢 tem coordenadas 𝛼𝑎1, 𝛼𝑎2, 𝛼𝑎3 𝐸
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Exercícios:
a) Quais as coordenadas do vetor 𝑢 = Ԧ𝑒1 − 2Ԧ𝑒2 + 4Ԧ𝑒3 em relação a base
𝐸 = ( Ԧ𝑒1, Ԧ𝑒2, Ԧ𝑒3);
b) Escreva Ԧ𝑡 = 4,0,13 como combinação linear de 𝑢 = (1,−1,3), Ԧ𝑣 =
2,1,3 e 𝑤 = (−1,−1,4);
c) 𝑢 = (1,−1,3) pode ser escrito como combinação linear de Ԧ𝑣 = (−1,1,0)
e 𝑤 = (2,3,1/3)?
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Exercícios:
a) Quais as coordenadas do vetor 𝑢 = Ԧ𝑒1 − 2Ԧ𝑒2 + 4Ԧ𝑒3 em relação a base
𝐸 = ( Ԧ𝑒1, Ԧ𝑒2, Ԧ𝑒3);
𝑢 = 1,−2,4
Se por acaso a base fosse 𝐹 = ( Ԧ𝑒2, Ԧ𝑒1, Ԧ𝑒3), então, 𝑢 = −2,1,4 𝐹.
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Exercícios:
b) Escreva Ԧ𝑡 = 4,0,13 como combinação linear de 𝑢 = 1,−1,3 , Ԧ𝑣 = 2,1,3 e
𝑤 = −1,−1,4 ;
Lembrando da aula anterior, escrever um vetor como combinação linear de outros três,
significa escrever a seguinte relação:
Ԧ𝑡 = 𝛼𝑢 + 𝛽 Ԧ𝑣 + 𝛾𝑤
Nosso trabalho agora será descobrir os coeficientes 𝛼, 𝛽 e 𝛾 que satisfazem a relação
acima.
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Como nós conhecemos as coordenadas de cada vetor, vamos substituí-las e assim
desenvolver a expressão. Portanto,
4,0,13 = 𝛼 1, −1,3 + 𝛽 2,1,3 + 𝛾 −1,−1,4
4,0,13 = 𝛼,−𝛼, 3𝛼 + 2𝛽, 𝛽, 3𝛽 + −𝛾,−𝛾, 4𝛾
4,0,13 = 𝛼 + 2𝛽 − 𝛾,−𝛼 + 𝛽 − 𝛾, 3𝛼 + 3𝛽 + 4𝛾
Então, se compararmos coordenada a coordenada, obtemos o seguinte sistema:
ቐ
𝛼 + 2𝛽 − 𝛾 = 4
−𝛼 + 𝛽 − 𝛾 = 0
3𝛼 + 3𝛽 + 4𝛾 = 13
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Por fim, se resolvermos o sistema, vamos obter: 𝛼 = 1, 𝛽 = 2 e 𝛾 = 1. Desta forma, a
resposta da questão é:
Ԧ𝑡 = 𝑢 + 2 Ԧ𝑣 + 𝑤
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Agora veremos outra forma de determinar se uma lista de vetores é LI ou LD utilizando
determinantes e as coordenadas dos vetores.
Proposição: Os vetores 𝑢 = 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 𝐸 e Ԧ𝑣 = 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 𝐸 são LD se, e somente se,
os seguintes determinantes forem iguais a 0:
𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2
=
𝑎1 𝑐1
𝑎2 𝑐2
=
𝑏1 𝑐1
𝑏2 𝑐2
= 0
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Para os vetores 𝑢 = 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 𝐸 e Ԧ𝑣 = 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 𝐸 pertencentes a 𝕍3, se 𝑢 for paralelo
a Ԧ𝑣, a lista de vetores (𝑢, Ԧ𝑣) é LD, isso implica que 𝑢 e Ԧ𝑣 possui coordenadas
proporcionais ( desde que estejam na mesma base).
Prova:
(𝑢, Ԧ𝑣) é LD, isso implica que 𝑢 = λ Ԧ𝑣 ou Ԧ𝑣 = λ𝑢
𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 𝐸 = λ 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 𝐸 ou 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 𝐸 = λ 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 𝐸
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Proposição: Os vetores 𝑢 = 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 𝐸 , Ԧ𝑣 = 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 𝐸 e 𝑤 = 𝑎3, 𝑏3, 𝑐3 𝐸 são LD
se, e somente se:
𝑎1 𝑏1 𝑐1
𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑎3 𝑏3 𝑐3
= 0
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Demonstração: Vamos começar escrevendo o vetor nulo como combinação linear da
lista 𝑢, Ԧ𝑣, 𝑤 . Com isto, temos:
𝛼𝑢 + 𝛽 Ԧ𝑣 + 𝛾𝑤 = 0
Substituindo as coordenadas de cada vetor, temos:
𝛼 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 + 𝛽 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 + 𝛾 𝑎3, 𝑏3, 𝑐3 = 0,0,0
ቐ
𝛼𝑎1 + 𝛽𝑎2 + 𝛾𝑎3 = 0
𝛼𝑏1 + 𝛽𝑏2 + 𝛾𝑏3 = 0
𝛼𝑐1 + 𝛽𝑐2 + 𝛾𝑐3 = 0
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Se reescrevermos o sistema anterior na forma matricial, teremos:
𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑏1 𝑏2 𝑏3
𝑐1 𝑐2 𝑐3
𝛼
𝛽
𝛾
=
0
0
0
Agora vamos utilizar alguns conhecimentos a mais. Lá no estudo de Álgebra Linear
vamos ver que, um sistema homogêneo, possui como única solução 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 0 (o
que nós diria que a lista é LI) se, e somente se, o determinante da matriz que
multiplica os coeficientes for diferente de zero. Portanto,
𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑏1 𝑏2 𝑏3
𝑐1 𝑐2 𝑐3
≠ 0
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Já estamos quase lá. Uma propriedade do determinante é que o determinante de uma
matriz 𝑋 e o da sua transposta 𝑋𝑡 são iguais. Portanto, se obtermos a transposta da
nossa matriz, temos:
𝑎1 𝑏1 𝑐1
𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑎3 𝑏3 𝑐3
≠ 0
Portanto, se a relação acima acontecer, só teremos uma única resposta (
)
𝛼 = 𝛽 = 𝛾 =
0 , o que implica na lista ser LI. Caso o determinante seja igual a zero, não teremos
uma única solução, o que implica na lista ser LD
E assim demonstramos a nossa relação!
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Exercícios:
a) Sejam OABC um tetraedro e M o ponto médio de BC. Explique por que (𝑂𝐴,
𝑂𝐵, 𝑂𝐶) é base e determine as coordenadas de 𝐴𝑀 nessa base.
b) Prove que se o conjunto de vetores (𝑢, Ԧ𝑣, 𝑤) forma uma base para o espaço,
então o conjunto (𝑢 + Ԧ𝑣, 𝑢 − Ԧ𝑣, 𝑤 − 2𝑢) também forma uma base para o
espaço.
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Exercícios:
c) Sejam 𝐸 = ( Ԧ𝑒1, Ԧ𝑒2, Ԧ𝑒3) uma base, 𝑢 = 1,2, −1 𝐸, Ԧ𝑓1 = Ԧ𝑒1 + Ԧ𝑒2 + Ԧ𝑒3, Ԧ𝑓2 = 𝑚Ԧ𝑒1 +
2𝑚 Ԧ𝑒2 − Ԧ𝑒3, Ԧ𝑓3 = 4Ԧ𝑒2 + 3Ԧ𝑒3.
• Para que valores de m a tripla F = ( Ԧ𝑓1, Ԧ𝑓2, Ԧ𝑓3) seja base;
• Nas condições do item anterior calcule m para que 𝑢 = 0,1,0 𝐹.
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Exercícios:
a) Sejam OABC um tetraedro e M o ponto médio de BC. Explique por que (𝑂𝐴,
𝑂𝐵, 𝑂𝐶) é base e determine as coordenadas de 𝐴𝑀 nessa base.
B
O
A
C
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Agora, vamos colocar os vetores 𝑂𝐴, 𝑂𝐵 e 𝑂𝐶 no nosso tetraedro
Como pode ser visto facilmente, não existe nenhum plano que contenha os três
vetores ao mesmo tempo. Portanto, esta lista de vetores é LI, e consequentemente,
base.
B
O
A
C
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Agora, vamos determinar as coordenadas do vetor 𝐴𝑀 nesta base.
Agora, a ideia é tentar decompor o vetor 𝐴𝑀 utilizando a nossa base. Vejamos então
uma caminho possível.
B
O
A
C
M
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𝐴𝑀 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝑀
𝐴𝑀 = 𝐴𝑂 + 𝑂𝐵 +
1
2
𝐵𝐶
𝐴𝑀 = −𝑂𝐴 + 𝑂𝐵 +
1
2
𝐵𝑂 + 𝑂𝐶
𝐴𝑀 = −𝑂𝐴 + 𝑂𝐵 +
1
2
−𝑂𝐵 + 𝑂𝐶
𝐴𝑀 = −𝑂𝐴 +
1
2
𝑂𝐵 +
1
2
𝑂𝐶
𝐴𝑀 = −1,
1
2
,
1
2
B
O
A
C
M
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Exercícios:
c) Sejam 𝐸 = ( Ԧ𝑒1, Ԧ𝑒2, Ԧ𝑒3) uma base, 𝑢 = 1,2, −1 𝐸, Ԧ𝑓1 = Ԧ𝑒1 + Ԧ𝑒2 + Ԧ𝑒3, Ԧ𝑓2 = 𝑚Ԧ𝑒1 +
2𝑚 Ԧ𝑒2 − Ԧ𝑒3, Ԧ𝑓3 = 4Ԧ𝑒2 + 3Ԧ𝑒3.
• Para que valores de m a tripla F = ( Ԧ𝑓1, Ԧ𝑓2, Ԧ𝑓3) seja base;
• Nas condições do item anterior calcule m para que 𝑢 = 0,1,0 𝐹.
Para que a tripla F = ( Ԧ𝑓1, Ԧ𝑓2, Ԧ𝑓3) seja base, o seguintedeterminante deve ser diferente 
de zero:
1 1 1
𝑚 2𝑚 −1
0 4 3
≠ 0
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Desenvolvendo a nossa relação, temos:
1 1 1
𝑚 2𝑚 −1
0 4 3
≠ 0
6𝑚 + 0 + 4𝑚 − 0 − 4 + 3𝑚 ≠ 0
7𝑚 + 4 ≠ 0
𝑚 ≠ −4/7
Portanto, se 𝑚 ≠ −4/7, a nossa lista 𝐹 é base!
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Agora vamos calcular m para que 𝑢 = 0,1,0 𝐹. Para isto, vamos escrever o vetor 𝑢
como combinação linear da base 𝐹. Logo,
𝑢 = 0 Ԧ𝑓1 + Ԧ𝑓2 + 0 Ԧ𝑓3
𝑢 = Ԧ𝑓2
Só que nós conhecemos tanto o vetor 𝑢 quanto o vetor Ԧ𝑓2 na base 𝐸. Se a gente 
substitui as suas coordenadas, obtemos:
1,2, −1 𝐸 = 𝑚, 2𝑚,−1 𝐸
Então, se compararmos coordenada a coordenada, obtemos 𝑚 = 1.
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Para finalizar, vamos discutir o conceito de ortogonalidade e suas consequências para
o estudo de bases.
Definição:
a) Os vetores não nulos 𝑢 e Ԧ𝑣 são ortogonais se existe um representante (A,B) de
um deles e um representante (C,D) do outro, tais que AB e CD sejam
ortogonais. Indica-se 𝑢 ⊥ Ԧ𝑣;
b) O vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor.
Ou seja, dizemos que dois vetores são ortogonais, quando possui
representantes ortogonais ou um desses vetores é nulo.
Definição: Uma base ( Ԧ𝑒1, Ԧ𝑒2, Ԧ𝑒3) é ortonormal se Ԧ𝑒1, Ԧ𝑒2 e Ԧ𝑒3 são unitários (possui
norma 1) e dois a dois ortogonais.
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Proposição: os vetores 𝑢 e Ԧ𝑣 são ortogonais se, e somente se,
𝑢 + Ԧ𝑣 2 = 𝑢 2 + Ԧ𝑣 2
Proposição: Seja ( Ԧ𝑒1, Ԧ𝑒2, Ԧ𝑒3) uma base ortonormal. Se 𝑢 = 𝛼 Ԧ𝑒1 + 𝛽 Ԧ𝑒2 + 𝛾 Ԧ𝑒3, então:
𝑢 = 𝛼2 + 𝛽2 + 𝛾2
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