LIVRO INVERNO TEORIA DAS CURVAS-3

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COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA 
TEORIA DAS CURVAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JOÃO CARLOS MOREIRA 
COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA 
 
 
GEOMETRIA 
TEORIA DAS CURVAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA 
 
 
GEOMETRIA 
TEORIA DAS CURVAS 
 
 
COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA 
 
 
 
JOÃO CARLOS MOREIRA 
Professor do Instituto de Ciências Exatas e Naturais - ICENP 
Universidade Federal de Uberlândia 
 
 
 
 
 
 
EDITORA LIVRARIA ESCOLA DE MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA 
 
 
Copyright © 2020 by João Carlos Moreira 
 
CAPA: João Carlos Moreira 
 
EDITOR: João Carlos Moreira 
 
DIAGRAMAÇÃO: João Carlos Moreira 
 
DISTRIBUIÇÃO: Editora Livraria Escola de Matemática 
 
COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA 
 
 
 
 
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá 
ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a 
permissão expressa da Editora. Aos infratores aplicam-se as 
sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei no 9.610, 
de 19 de fevereiro de 1988. 
 
 
Impresso no Brasil / Printed in Brazil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para todos os meus alunos, com carinho. 
João Carlos Moreira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA 
 
 
 
 
 
 
Prefácio 
 
 
 
Este livro é fruto de um projeto intitulado Escola de Geometria, criado 
em 2017, com o intuito de colaborar na melhoria do ensino e do 
aprendizado da Geometria e suas aplicações. 
 
A metodologia de ensino é baseada na teoria de sistemas matemáticos 
e no desenvolvimento de algoritmos. 
 
Esse material é inédito e propõe uma nova abordagem no ensino de 
matemática no Brasil. 
 
Agradeço a Deus pela missão educacional confiada a mim. 
 
Ituiutaba, inverno de 2020. 
 
João Carlos Moreira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Símbolos lógicos 
 
Símbolo Lê-se Exemplo Lê-se 
 
∈ pertence 2 ∈ A O número dois pertence 
ao conjunto A. 
∀ para todo (∀ a)(a ∈ ℕ) Para todo a, a pertencente 
a ℕ. 
∃ existe (∃ x)(x ∈ A) Existe x, x pertencente ao 
conjunto A. 
∃! existe um único (∃! x∗)(x∗ ∈ ℕ) Existe um único sucessor 
de x pertencente ao 
conjunto dos números 
naturais. 
∧ e x ∧ y x e y 
∨ ou (inclusivo) x ∨ y x ou y 
∨ ou (exclusivo) x ∨ y x ou y 
¬ não ¬(2 ∈ A) 2 não pertence ao 
conjunto A 
→ implica 𝑃 → 𝑄 P implica Q 
↔ se, e somente se 𝑃 ↔ 𝑄 P se, e somente se, Q 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA 
 
 
GEOMETRIA 
TEORIA DAS CURVAS 
 
 
 
ORGANIZAÇÃO DA APRENDIZAGEM 
 
 
Sumário 
1 Abordagem Histórica 01 
2 Abordagem Algébrica 00 
2.1 Sistema matemático das curvas no ℝ𝑛 00 
 2.1.1 Representação das curvas 00 
 2.1.2 As operações 00 
 2.1.3 As relações 00 
 2.1.4 Os axiomas 00 
 2.2 Teoria do cálculo infinitesimal 00 
 2.3 Teoria do cálculo diferencial 00 
 2.4 Teoria do Cálculo integral 00 
3 Abordagem Geométrica 00 
 3.1 Representação das curvas no ℝ2 e ℝ3 00 
 3.2 Cálculo de perímetro 00 
3.3 Cálculo de área 00 
4 Abordagem Computacional 00 
4.1 Representação das curvas 00 
 4.2 Algoritmos 00 
 
 
 
 
COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA 
 
 
5 Abordagem Avançada 00 
 5.1 Teoremas 00 
 5.2 Conjecturas 00 
 5.3 Paradoxos 00 
6 Resolução de Problemas 00 
6.1 Abordagem histórica 00 
6.2 Abordagem algébrica 00 
 6.2.1 Conceitos primitivos e derivados 00 
 6.2.2 Prática intuitiva 00 
 6.2.3 Prática formal 00 
 6.3 Abordagem geométrica 00 
 6.3.1 Conceitos primitivos e derivados 00 
 6.3.2 Prática intuitiva 00 
 6.3.3 Prática formal 00 
 6.4 Abordagem Computacional 00 
 6.4.1 Conceitos primitivos e derivados 00 
 6.4.2 Prática intuitiva 00 
 6.4.3 Prática formal 00 
7 Referências Bibliográficas 00 
 
 
 
 
 
 
 COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA 
 
1 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 A origem primitiva da matemática está muito ligada ao 
desejo humano de observar as formas que compõem o 
universo e compreender as relações existentes entre elas. 
 
2 É nesse contexto que a teoria das curvas ocupa um 
destaque muito especial. Arqueólogos encontraram 
recentemente (pág. 228, vol. 518 da revista Nature), o que 
pode ser a primeira curva desenhada pelo homem. Trata-
se de uma poligonal feito há mais de 400.000 anos. 
 
 
Fig. 1 Um Homo Erectus segura a concha da jazida de Trinil (Indonésia) 
 
 
3 O mais surpreendente é que esse objeto foi feito por um 
 
ABORDAGEM HISTÓRICA 
TEORIA DAS CURVAS | ESCOLA DE GEOMETRIA 
 
 1 
 
René Descartes (1596-1650), foi um matemático francês. 
Dentre suas contribuições, destacamos o tratado Le Monde, 
publicado em 1637 e que tinha como apêndice a obra La 
Géométrie que deu origem ao que conhecemos hoje como a 
geometria cartesiana. 
 
 
 
 
 
 COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA 
 
2 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 
Homo Erectus, cerca de 300.000 anos antes que nossa 
espécie começasse a desenhar curvas semelhantes, 
provando que o ser humano desenvolveu o seu raciocínio 
geométrico muito antes do que se imaginava. 
 
4 A Arte rupestre representa muito bem a evolução 
geométrica do pensamento humano no interior das 
cavernas (arte parietal) e ao ar livre, durante o período 
pré-histórico (o período da história que precede a escrita). 
 
5 A pintura rupestre foi uma de suas primeiras 
manifestações intelectuais, as mais conhecidas são 
datadas do período Paleolítico Superior (40.000 a.C.). Ela 
se tornou em uma ferramenta muito eficiente para 
registrar as atividades do cotidiano do homem primitivo. 
 
 
 Fig.2. Gruta de Lascaux Fig.3. Bisão na Caverna de Altamira 
 
 Fig. 4 Caverna de Chauvet Fig. 5 Parque Nacional da Serra da Capivara 
 
6 Em geral, as pinturas rupestres são marcadas pela 
presença de grandes animais selvagens como bisões, 
cavalos, entre outros e mais raramente o humano. 
Acredita-se que essas pinturas estejam 
ligadas a atividades humanas como dança, luta, ritos 
 
 
 
 COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA 
 
3 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 
religiosos, relações sexuais e caça. 
 
7 Algumas curvas, como as circunferências e as espirais, 
também são encontradas nas pinturas rupestres. Essas 
curvas eram traçadas utilizando-se como materiais 
básicos os dedos, as mãos e pigmentos minerais moídos 
(óxidos de ferro e manganês, hematita, limonite, argila, 
gesso e outros). O vermelho era a cor mais frequente, 
juntamente com preto, ocre, amarelo e branco em 
diferentes tonalidades que resultavam da mistura 
desses pigmentos.Fig.6. Sítio de Bisnau-GO Fig.7. Piracuruca-PI 
 
8 Com o desenvolvimento das civilizações, surgiram 
técnicas muito eficientes, não só para contar, mas também 
para medir grandezas que surgiram em vários 
problemas, como por exemplo cálculo de distâncias 
astronômicas, comprimento de curvas e áreas limitadas 
por elas. 
 
9 Thales de Mileto (c. 624 a.C.–547 a.C.), por volta de 575 
a.C traz o conhecimento matemático babilônico e egípcio 
para a Grécia. Pode ter sido o primeiro a trazer a 
geometria para a Grécia, ele usou a mesma para calcular 
a altura das pirâmides e as distâncias dos navios ao porto. 
 
10 Muitas referências creditam a Thales as seguintes 
proposições: 
11 Um círculo é dividido por qualquer diâmetro. 
 
 
 
 
 COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA 
 
4 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 
12 Os ângulos de base de um triângulo isósceles são iguais. 
 
13 Os ângulos entre duas linhas que se cruzam são iguais. 
 
14 Dois triângulos são congruentes se tiverem dois ângulos 
e um lado iguais. 
 
15 Todo ângulo inscrito em um semicírculo é reto. 
 
16 Pitágoras (c. 569 a.C.–475 a.C.) trouxe várias 
contribuições para a geometria, dentre elas destacamos a 
demonstração do teorema que recebe o seu nome, já 
conhecido pelos babilônios. A palavra matemática 
(Mathematike, em grego) foi introduzida por Pitágoras, 
que foi o primeiro a ver a matemática como um sistema 
de pensamento baseado em provas dedutivas. 
 
17 Menaechmus (c. 380 a.C.–320 a.C.) foi o primeiro 
matemático grego a estudar as cônicas como uma seção 
de um cone. 
 
18 A obra de Aristeu (c. 370 a.C.- 300 a. C.), o grande (c. 320 
a.C.) “Elementos de seções cônicas” também merece 
destaque. 
 
19 Cerca de 300 a.C, Euclides de Alexandria (c. 325 a.C – 265 
a.C) apresentou os fundamentos da teoria da geometria 
euclidiana, encontrada em "Os Elementos", elevando a 
matemática ao patamar de ciência e não só a ciência da 
observação, mas a ciência da abstração ou matemática 
abstrata. 
 
20 Dessa teoria, destacamos as seguintes definições: 
 
21 Ponto é aquilo de que nada é parte. 
 
 
 
 
 COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA 
 
5 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 
22 Curva é comprimento sem largura. 
 
23 Reta é uma curva que está posta por igual com os pontos 
sobre si mesma. 
 
24 Fronteira é aquilo que é extremidade de alguma coisa. 
 
25 Figura é o que é contido por alguma ou algumas 
fronteiras. 
 
26 As figuras retilíneas são as contidas por retas; se for 
contida por três retas é chamada de trilátera, quatro retas 
de quadrilátera, mais de quatro retas de multilátera. 
 
27 O método conhecido como triangulação, era utilizado 
pelos primeiros arquitetos e agrimensores das 
civilizações egípcia e mesopotâmica. É desse processo, 
que surge o conceito de polígono, figura tendo uma 
decomposição em um número finito de triângulos sem 
pontos interiores comum e cuja área era a soma da área 
desses triângulos. Essa área continha um pequeno erro, 
quando as superfícies dos terrenos não eram figuras 
poliédricas. A fronteira de um polígono é chamada de 
curva poligonal fechada. 
 
28 Aristarchus de Samos (c. 310 a.C.–230 a. C.) usa métodos 
geométricos para calcular as distâncias do sol e da lua à 
terra. Ele também propõe que a terra gira em torno do sol. 
 
29 Os nomes de elipse, hipérbole e parábola são devidos a 
Apolônio de Perga (c.262 a.C.-190 a.C.) e as suas 
proposições envolvendo as mesmas, muito contribuíram 
com a obra de Euclides. 
 
30 A geometria diferencial se dedica ao estudo das formas 
geométricas, destacando-se o estudo das curvas e 
 
 
 
 COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA 
 
6 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 
superfícies e teve como base de seu desenvolvimento a 
análise matemática. Aparece pela primeira vez, no século 
XVIII, nos estudos de L. Euler (1707-1783) e G. Monge 
(1746-1818) (Une application d'Aanalyse à la géométrie, 
1795). 
 
31 N. Lobachevskii (1792-1856), descobre em 1826 que 
existem espaços diferentes do espaço euclidiano, fato 
muito importante para o desenvolvimento de outras 
geometrias. 
 
32 Em 1827, J. Gauss (1777- 1855) apresenta uma teoria geral 
para as superfícies, deixando de ser uma mera aplicação 
da análise e ganhando o status de uma área independente 
da matemática. 
 
33 E. Galois (1811-1832) foi o primeiro a introduzir o 
conceito de grupo. Em 1854, A. Cayley (1821-1895) 
escreveu dois artigos que são notáveis pela percepção que 
têm de grupos abstratos. Mais tarde, a teoria de grupo 
impulsiona o desenvolvimento da geometria algébrica. 
 
34 Na geometria algébrica uma curva é um conjunto de 
pontos que satisfaz uma determinada equação. 
 
35 Em 1854, G. Riemann (1826-1866) estabelece as bases da 
geometria que recebe o seu nome. 
 
36 F. Minding (1806-1855) e K.M. Peterson (1828-1881) criam 
na Rússia uma Escola de Geometria Diferencial e 
dedicaram a maior parte de seus estudos a deformações 
isométricas de superfícies; isto é, deformações contínuas 
que preservam a geometria interior delas. 
 
37 Os trabalhos de M. Lie (1842-1899) sobre equações 
diferenciais levou ao estudo de grupos topológicos e a 
 
 
 
 COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA 
 
7 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 
topologia diferencial. 
 
38 A visão de F. Klein (1849-1925) de que a geometria é o 
estudo de invariantes sob grupos de transformações fez 
com que E. Cartan (1869-1951) estabelecesse a teoria dos 
espaços com conexões projetivas e afins (estruturas 
geométricas-diferenciáveis em variedades). 
 
39 Com esse desenvolvimento o conceito de curva passa a 
ser visto como uma variedade de dimensão 1. 
 
40 Atualmente o termo geometria diferencial tem sido 
substituído por variedades diferenciáveis. 
 
41 A teoria das curvas, na forma abordada no final do século 
XIX, tratava apenas de curvas ou parte dela 
razoavelmente regulares, devido ao uso da análise 
matemática. 
 
42 No início do século XX, surgiu a chamada “Geometry in 
the large”, onde a exigência da diferenciabilidade foi 
substituída pela convexidade e singularidade local de 
geodésicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA 
 
8 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1 Sistema matemático das curvas 
 
Apresentamos nas próximas seções, os elementos que constituem 
um sistema matemático (modelo) para o desenvolvimento da teoria 
das curvas. 
 
2.1.1 Representação algébrica das curvas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C. Jordan (1838-1922) foi um matemático francês. Dentre suas 
principais contribuições, destacamos o tratado Traité des 
substituencies et des équations algebraique, publicado em 1870 e 
considerado o primeiro livro sobre a teoria de grupos. O 
teorema da curva de Jordan o tornou muito conhecido entre os 
matemáticos. 
 
 
Definição 1. Uma curva no espaço euclidiano ℝm é uma 
função contínua φ ⊆ ℝ × ℝm, a mesma é dita 
parametrizada, se existir um parâmetro t e funções 
contínuas (∀i)( i ∈ {1, … ,m})(φi ⊆ ℝ ×ℝ), tais que 
 
(∀t)(t ∈ D(φ)) (φ(t) = (φ1(t), φ2(t),… , φm(t))). 
 
Neste caso, (∀i)(i ∈ {1,… ,m})(xi = φi(t)), são chamadas 
de equações paramétricas da curva. A imagem da função 
φ é chamadade traço da curva. 
 
 
 
ABORDAGEM ALGÉBRICA 
TEORIA DAS CURVAS | ESCOLA DE GEOMETRIA 
 
 2 
 
 
 
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9 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escólio. A linha reta foi uma das primeiras curvas 
estudadas, no entanto Euclides, em “Os Elementos”, 
embora dedique muito estudo à linha reta, não a 
considera uma curva. Na verdade, a primeira definição 
geral de curva aparece com Jordan em seu Cours 
d'Analysein de 1893. 
 
Exemplo 1. Um segmento de linha reta 𝐱𝒚 no ℝm, também 
chamado de reta limitada, pode ser visto como uma curva 
parametrizada por 
(∀𝑡)(𝑡 ∈ [0,1])(φ(t) = (1 − t) ∙ 𝐱 + t ∙ 𝒚). 
 
 
 
Exemplo 2. Uma linha reta no ℝm, ou simplesmente reta, 
também pode ser obtida através do prolongamento de 
um segmento de linha reta 𝐱𝒚 no ℝm e pode ser vista 
como uma curva parametrizada por 
 
(∀𝑡)(𝑡 ∈ ℝ)(φ(t) = (1 − t) ∙ 𝐱 + t ∙ 𝒚). 
 
Por outro lado, as retas que passam por 𝐱 =
(x1, x2, … , xm) ∈ ℝ
m e tem direção do vetor 𝒗 =
(v1, v2, … , vm) ∈ ℝ
m, v ≠ 𝟎, são curvas que podem ser 
parametrizadas por: 
 
(∀𝑡)(𝑡 ∈ ℝ)(φ(t) = 𝐱 + t ∙ 𝒗). 
 
 
 
Exemplo 3. Uma curva poligonal no ℝm é uma cadeia de 
segmentos de linhas retas adjacentes e não colineares 
𝐱1𝐱2, 𝐱2𝐱3, … , 𝐱n−1𝐱n no ℝm, denotada por 
𝐱1𝐱2𝐱3…𝐱n−1𝐱n. Tal curva pode ser parametrizada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA 
 
10 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4. (Cônicas) Uma cônica é definida como o conjunto 
dos pontos cujas distâncias a um ponto fixo, chamado de foco, 
é proporcional a sua distância à uma reta fixa, chamada de 
diretriz. Tais curvas são parábolas, elipses ou hipérboles, se a 
constante de proporcionalidade 𝑒, chamada de excentricidade, 
for igual a 1, menor que um ou maior que um, 
respectivamente. 
Considerando um ponto arbitrário (𝑥, 𝑦) da curva no 
sistema ortogonal cartesiano, a diretriz como sendo o eixo da 
abscissa e o foco 𝐹(0, 𝑦0) no eixo da ordenada, teremos que: 
 
 
 
φ(t) =
{
 
 
 
 
 
(1 − t) ∙ 𝐱1 + t ∙ 𝐱2, t ∈ [0,1) 
(2 − t) ∙ 𝐱2 + (t − 1) ∙ 𝐱3, t ∈ [1,2) 
⋮ 
(n − 1 − t) ∙ 𝐱n−2 + (t − (n − 2)) ∙ 𝐱n−1, t ∈ [n − 2, n − 1) 
(n − t) ∙ 𝐱n−1 + (t − (n − 1)) ∙ 𝐱n, t ∈ [n − 1, n] 
. 
 
Uma curva poligonal é também chamada de 
caminho poligonal, polilinha, figura retilínea, curva 
linear por partes ou linha quebrada. 
 
Quando suas extremidades coincidem; isto é, 𝐱n =
𝐱1, a curva poligonal é dita fechada, caso contrário será 
dita aberta. 
 
Os pontos 𝐱1, 𝐱2, 𝐱3, … , 𝐱n−1 e 𝐱n e os segmentos 
𝐱1𝐱2, 𝐱2𝐱3, … , 𝐱n−1𝐱n são os vértices e lados adjacentes da 
curva poligonal, respectivamente. 
 
Uma curva poligonal é dita simples, quando dois 
lados quaisquer do polígono 𝐱i𝐱i+1 𝐱j𝐱j+1 se interceptam 
somente quando são adjacentes ou quando a curva é 
fechada ; caso contrário, é dita curva poligonal 
entrelaçada ou com auto intersecção. 
 
 
 
 
 
 
 
 COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA 
 
11 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 J. Kepler (1571-1630), em 1602, disse acreditar que a órbita de 
Marte era oval, depois descobriu que era uma elipse com o sol 
no foco. De fato, ele introduziu a palavra "foco" e publicou sua 
descoberta em 1609. A excentricidade das órbitas planetárias é 
pequena (isto é, elas estão próximas dos círculos). A 
excentricidade de Marte é 1/11 e da Terra é 1/60. 
 
44 G. Galileu (1564-1642) mostrou que os projéteis seguem 
caminhos parabólicos e B. Pascal (1623-1662) considerou a 
parábola como uma projeção central do círculo. 
 
45 Em 1705, E. Halley (1656-1742) mostrou que o cometa, que 
agora recebe o seu nome, tinha sua órbita elíptica em torno do 
sol. A excentricidade do cometa de Halley é de 0,9675, portanto 
está próxima de uma parábola (excentricidade 1). 
 
46 A área da elipse é 𝜋𝑎𝑏. Não existe uma fórmula exata para o 
comprimento de uma elipse em funções elementares e isso 
levou ao estudo de funções elípticas. C. P. Ramanujan (1938-
1974), em 1914, deu fórmula aproximada 𝜋 (3 (a + b) - 
√(a + 3b) ∙ (3a + b)]) para o seu comprimento. 
 
47 D. Gregory (1659-1708) e I. Newton (1643-1727) consideraram 
as propriedades de uma parábola que trazem raios paralelos 
de luz a um foco. 
 
48 Curvas também podem ser representadas algebricamente em 
coordenadas cartesianas retangulares ou polares. 
 
49 A quadratriz foi descoberta por Hippias de Elis (c. 460 a.C. – 
𝑒 =
√𝑥2 + (𝑦 − 𝑦0)
2
|𝑦|
↔ 𝑒2𝑦2 = 𝑥2 + (𝑦 − 𝑦0)
2 
ou 
(𝑦0)
2 − 2𝑦0𝑦 + (1 − 𝑒
2)𝑦2 + 𝑥2 = 0, 
 
chamada de equação retangular ou cartesiana das cônicas. 
 
 
 
 
 
 
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12 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 
400 a.C.) em 430 a.C. Pode ter sido usado por ele para 
trisecionar um ângulo e emparelhar o círculo. A curva pode 
ser usada para dividir um ângulo em qualquer número de 
partes iguais. Mais tarde, foi estudado por Dinostratus em 350 
a.C., que usou a curva para quadrar o círculo. 
 
𝑦 = 𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔 (
𝜋𝑥
2𝑎
) 
ou 
𝑟 =
2𝑎𝜃
𝜋𝑠𝑒𝑛(𝜃)
. 
 
50 Uma subclasse importante das curvas algébricas são as curvas 
algébricas do plano ℝ2 satisfazendo a equação: 
 
∑∑𝑎𝑖𝑗
𝑚2
𝑗=0
∙ 𝑥𝑖
𝑚1
𝑖=0
∙ 𝑦𝑗 = 0. 
 
51 (Kampyle de Eudoxus) Curva estudada por Eudoxus (c. 408 
a.C. – 355 a.C.) relacionada ao problema clássico de duplicação 
do cubo. 
 
𝑎2𝑥4 = 𝑏4(𝑥2 + 𝑦2) 
ou 
𝑟 =
𝑏2
𝑎𝑐𝑜𝑠2(𝜃)
. 
 
52 (Espiral de Arquimedes) Essa espiral foi estudada por 
Arquimedes (c. 287 a.C. – 212 a.C.) em cerca de 225 a.C. na 
obra “Sobre Espirais”. Ela já havia sido considerada pelo seu 
amigo Conon. 
 
𝑟 = 𝑎𝜃. 
 
53 (Conchoid) O Concóide, foi estudado pelo matemático grego 
Nicomedes (c. 280 a.C. – 210 a.C.) em cerca de 200 a.C. e está 
relacionado ao problema da duplicação do cubo. 
 
(𝑥 − 𝑏)2(𝑥2 + 𝑦2) − 𝑎2𝑥2 = 0 
 
 
 
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13 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 
ou 
𝑟 = 𝑎 + 𝑏𝑠𝑒𝑐(𝜃) 
 
54 (Cissoide de Diocles) Esta curva, que significa "em forma de 
hera", foi inventada por Diocles (c. 240 a.C. – 180 a.C.) em cerca 
de 180 a.C., em conexão com sua tentativa de duplicar o cubo 
por métodos geométricos. 
𝑦2 =
𝑥3
(2𝑎 − 𝑥)
 
ou 
𝑟 = 2𝑎𝑡𝑔(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜃). 
 
55 (Curvas espirituais) Depois que Menaechmus (c. 380 a.C – 320 
a.C) construiu seções cônicas cortando um cone por um plano, 
por volta de 150 a.C. o matemático grego Perseus (c. 180 a.C – 
120 a.C) investigou as curvas obtidas pela intersecção de um 
toro por um plano que é paralelo à reta que passa pelo centro 
do buraco do toro. 
 
(𝑟2 − 𝑎2+𝑐2 + 𝑥2+𝑦2)2 = 4𝑟2(𝑥2+𝑐2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição 2. Uma curva parametrizada é dita 
diferenciável no ponto t0 ∈ D(φ) se existir o limite 
 
lim
ℎ→0
φ(t0 + h) − φ(t0)
ℎ
. 
Neste caso, denotamos por φ´(t0) = lim
ℎ→0
φ(t0+h)−φ(t0)ℎ
 a 
derivada de φ no ponto t0. Quando φ for diferenciável 
em todos os pontos de 𝐼 ⊆ D(φ), φ é dita diferenciável em 
𝐼 e 
(∀𝑡)(𝑡 ∈ 𝐼)(∃φ´(t)) ∧ (φ´(𝑡) = lim
ℎ→0
φ(t + h) − φ(t)
ℎ
). 
Neste caso, φ´ é a função derivada de primeira ordem de 
φ. Se além disso, φ´ for uma função contínua φ será de 
classe 𝐶1e denotamos, φ ∈ 𝐶1(𝐼). 
 
 
 
 
 
 
 
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14 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição 3. Se uma curva φ ⊆ ℝ ×ℝm parametrizada por 
t, tem derivada não nula no ponto t0, isto é φ´(t0) ≠ 𝟎, então 
existirá a reta que passa por φ(t0) e têm direção do vetor 
φ´(t0), chamada de reta tangente a curva φ no ponto 
φ(t0) que pode ser parametrizada por 
 
(∀𝑡)(𝑡 ∈ ℝ)(r(t) = φ(t0) + t ∙ φ´(t0)). 
 
Caso (∄φ´(t0)) ∨ (φ´(t0) = 𝟎) , tal reta não existirá. As 
curvas que admitem as retas tangentes em todos os 
pontos de seu domínio; isto é: 
 
(∀𝑡)(𝑡 ∈ 𝐷(φ))(∃φ´(t)) ∧ (φ´(t) ≠ 𝟎) 
 
são chamadas de curvas regulares. 
 
 
Recursivamente, φ será de classe 𝐶𝑛, 𝑛 > 1, se φ´ 
for de classe 𝐶𝑛−1 e denotamos φ ∈ 𝐶𝑛(𝐼). 
 
 
 
 
 
 
 
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15 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[2] DOMINGUES, H. H. Fundamentos de aritmética. São Paulo: 
Atual, 1991. 
[3] LANG, S. Algebra. 3rd ed. USA: Springer, 2002. 
 
[4] VIANNA, J. J. Elementos de Arithmetica. 15 ed. Rio de 
Janeiro: Francisco Alves, 1914. 
[5] WOODBURRY, G. Elementary Algebra. USA: Addison 
Wesley, 2009. 
 
[1] DESKINS, W. E. Abstract Algebra. New York: Dover 
Publicaitions, 1995. 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
TEORIA DAS CURVAS | ESCOLA DE GEOMETRIA 
 
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UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 
 
 
 
COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA 
 
 
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FUN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA 
TEORIA DAS CURVAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Natural de Garça, estado de São Paulo, bacharel em 
matemática pela Unesp - SP, especialista em matemática 
pelo IMPA-RJ, mestre em matemática aplicada pela UFRJ-
RJ e doutor em matemática pela UFSCar-SP. Atualmente é 
professor associado na UFU-MG, campus de Ituiutaba. Sua 
área de pesquisa é Análise Aplicada. Fundou em 2013 a 
primeira Escola de Cálculo do país com sede na 
Universidade Federal de Uberlândia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JOÃO CARLOS MOREIRA 
COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA