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Resumo sobre Sistemas Lineares
Matemática - 8º Ano
Professora Sara Raquel
Sistemas Lineares com Duas Incógnitas
Caṕıtulo 1: Sistemas Lineares com Duas Incógnitas - Parte 1
Tópico 1: Expressões algébricas: conceito, elementos e valor numérico
• Conceito: Uma expressão algébrica é uma combinação de números, variáveis e operações aritméticas.
• Elementos: Termos (cada parte da expressão), coeficientes (números que multiplicam as variáveis) e
variáveis (letras que representam números desconhecidos).
• Valor numérico: O valor obtido ao substituir as variáveis por números e realizar as operações indicadas.
• Exemplo: Na expressão 3x+ 2y − 5, 3x, 2y e −5 são termos; 3 e 2 são coeficientes; x e y são variáveis.
• Frases e Expressões:
– ”O dobro de um número mais 1” pode ser escrito como 2x+ 1.
– ”O triplo de um número menos 5” pode ser escrito como 3x− 5.
– ”A soma de um número e seu quadrado” pode ser escrita como x+ x2.
– ”Metade de um número mais 7” pode ser escrito como x
2 + 7.
Termo Algébrico Coeficiente Parte Literal
5x2 5 x2
−3ab -3 ab
7 (termo constante) 7 -
Table 1: Exemplos de termos algébricos, coeficientes e partes literais
Tópico 2: Solução de uma equação do 1º grau com duas incógnitas
• Equação do 1º grau: Uma equação da forma ax+ by = c, onde a, b e c são constantes.
• Solução: Um par ordenado (x, y) que satisfaz a equação.
• Exemplo: Para a equação 2x+ 3y = 6, (0, 2) e (3, 0) são soluções.
Tópico 3: Representação gráfica de uma equação do 1º grau com duas incógnitas
• Gráfico: A representação gráfica de ax+ by = c é uma linha reta no plano cartesiano.
• Interceptos: Pontos onde a linha cruza os eixos x e y. Para encontrar os interceptos, defina y = 0 e
x = 0 e resolva para x e y, respectivamente.
• Exemplo: Para 2x+ 3y = 6, os interceptos são x = 3 (quando y = 0) e y = 2 (quando x = 0).
1
Professora Sara Raquel
−1 −0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
−1
1
2
3
x
y
2x+ 3y = 6
Figure 1: Gráfico da equação 2x+ 3y = 6
Tópico 4: Sistemas lineares com duas incógnitas
• Sistema linear: Conjunto de duas ou mais equações do 1º grau com duas incógnitas.
• Solução: O par ordenado que satisfaz ambas as equações simultaneamente.
• Métodos de solução: Substituição, eliminação e método gráfico.
• Exemplo: {
2x+ y = 5
x− y = 1
• Solução: (x, y) = (2, 1)
Caṕıtulo 2: Sistemas Lineares com Duas Incógnitas - Parte 2
Tópico 1: Sistemas com equações fracionárias
• Equações fracionárias: Equações que envolvem frações.
• Exemplo: {
x
2 + y
3 = 1
x
3 − y
2 = 0
• Solução pelo método da substituição:
– Multiplique ambas as equações para eliminar as frações:{
3(x2 + y
3 ) = 3(1)
2(x3 − y
2 ) = 2(0)
⇒
{
3x
2 + y = 3
2x
3 − y = 0
⇒
{
3x+ 2y = 6
2x− 3y = 0
– Resolva a segunda equação para x:
2x− 3y = 0 ⇒ 2x = 3y ⇒ x =
3y
2
– Substitua x = 3y
2 na primeira equação:
3
(
3y
2
)
+ 2y = 6 ⇒ 9y
2
+ 2y = 6 ⇒ 9y
2
+
4y
2
= 6 ⇒ 13y
2
= 6 ⇒ 13y = 12 ⇒ y =
12
13
2
Professora Sara Raquel
– Substitua y = 12
13 em x = 3y
2 :
x =
3
(
12
13
)
2
=
36
26
=
18
13
– Solução: x = 18
13 , y = 12
13
• Solução pelo método da adição (eliminação):
– Multiplique ambas as equações para eliminar as frações:{
3(x2 + y
3 ) = 3(1)
2(x3 − y
2 ) = 2(0)
⇒
{
3x
2 + y = 3
2x
3 − y = 0
⇒
{
3x+ 2y = 6
2x− 3y = 0
– Multiplique a segunda equação por 3:
3(2x− 3y) = 3(0) ⇒ 6x− 9y = 0
– Multiplique a primeira equação por 2:
2(3x+ 2y) = 2(6) ⇒ 6x+ 4y = 12
– Subtraia a segunda equação da primeira:
(6x+ 4y)− (6x− 9y) = 12− 0 ⇒ 13y = 12 ⇒ y =
12
13
– Substitua y = 12
13 na primeira equação:
3x+ 2
(
12
13
)
= 6 ⇒ 3x+
24
13
= 6 ⇒ 3x = 6− 24
13
⇒ 3x =
78
13
− 24
13
⇒ 3x =
54
13
⇒ x =
18
13
– Solução: x = 18
13 , y = 12
13
Tópico 2: Classificação de um sistema quanto ao número de soluções
• Sistema compat́ıvel determinado: Tem uma única solução.
• Sistema compat́ıvel indeterminado: Tem infinitas soluções.
• Sistema incompat́ıvel: Não tem solução.
• Exemplo:
–
{
x+ y = 2
2x+ 2y = 4
(Infinitas soluções)
–
{
x+ y = 2
x+ y = 3
(Sem solução)
Tópico 3: Discussão de um sistema linear com duas incógnitas
• Discussão do sistema: Análise das posśıveis soluções.
• Métodos: Verificação gráfica, substituição e eliminação.
• Exemplo: Analisar se o sistema é compat́ıvel ou incompat́ıvel verificando se as retas são paralelas,
coincidentes ou concorrentes.
Tópico 4: Representação gráfica de um sistema linear com duas incógnitas
• Gráfico de sistema linear: A solução do sistema corresponde ao ponto de interseção das retas repre-
sentadas pelas equações.
• Exemplo: {
x+ y = 2
x− y = 0
• Solução gráfica: As retas se intersectam no ponto (1, 1), que é a solução do sistema.
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