Compilado - Semana 2 - Calculo II - Univesp - Engenharias - NOTA 10

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Status Completada 
Resultado da tentativa 10 em 10 pontos 
Perg unta 1 1,25 em 1.25 pontos 
~ sabemos que existe um conceito básico e intrínseco às integrais de volumes que, usualmente, denominamos de Teorema Fundamental do Cálculo, uma vez que é o início dos conceitos aplicados ao volume de integrais 
duplas e triplas. 
Nesse contexto, assinale a alternativa que apresenta o conceito do Teorema Fundamental do Cálculo. 
Resposta Selecionada: ~ d.A primitiva de uma função y = f (x ,y, :) é uma outra função F(x ,y, :) , onde ambas são relacionadas pela propriedade F ' (x ,y ,:) = f (x ,y ,:) . 
Respostas: a. A pnm111va de uma função y = f (x ,y ,.:) é uma outra função F '(x ,y . :) , onde ambas são relacionadas pela propnedade F' (x ,y .:) = f (x ,y ,:) . 
b. A primitiva de uma função,.·=/ (x ,y , : ) é uma outra função F (x ,y ,:) , onde ambas são relacionadas pela propriedade F(x .y .: ) = / (x ,y . : ) . 
e. A primitiva de uma função .,··= f (x ,y, :) é uma outra função F(x ,y ,:) , onde ambas são relacionadas pela propriedade F (x ,y , :) = f ' (x ,y, :) 
~ d. Apnm,tiva de uma função y = f(x ,y , ;:) é uma outra função F(x ,y,:) , onde ambas são relaoonadas pela propnedade F '(x ,y ,:) = f (x ,y,:) . 
e. A primitiva de uma função y = f ' ( x ,y , :) é uma outra função F(x ,y .:) , onde ambas são relacionadas pela propriedade F(x ,y ,:) = f ' (x ,y .:) . 
JUSTIFICATIVA Comentário da 
resposta: 
O Teorema Fundamental do Cálculo é a base das operações centrais do cálculo, diferenciação e integração, que são consideradas a inversão uma da outra. Isso representa que uma função contínua é , 
primeiramente, integrada e, posteriormente, diferenciada, voltando à função oliginal. 
Pergunta 2 1,2s em 1,25 pontos 
~ ~uando falamos em pol'.nómio de Taylor, sabemos da sua utilidade para estimar valores de determinada função a partir da utilização de suas derivadas. Essa é uma ferramenta muito utilizada dentro do cálculo diferencial e 
integral, a fim de detenrnnar valores de uma função complexa de maneira mais simples. 
Dito isso, assinale a alternativa com o conceito correto do polinômio de Taylor grau 1. 
Resposta Selecionada: e, e. Consiste na definição da reta tangente. 
Respostas: a. Consiste na definição da reta perpendicular 
b. Consiste na definição da abscissa. 
e. Consiste na definição da bissetriz. 
d. Consiste na definição da reta paralela. 
~ e. Consiste na definição da reta tangente. 
JUSTIFICATIVA Comentário da 
resposta: 
O conceito de polinômio de Taylor de ordem 1 consiste, basicamente, na definição de uma reta tangente. A partir desse método, é possível estimar a função em diversos pontos por meio de pontos 
próximos e, como dito anteriormente, a partir da determinação da reta tangente da função que estamos analisando. 
Pergunta 3 2.25 em 2.25 pontos 
~ Quando falamos em pol'.nõmio de Taylor, sabemos da sua utilidade para esti~ar valores de determinada função a partir da utilização de suas derivadas. Essa é uma ferramenta muito utilizada dentro do cálculo diferencial e 
integral, a fim de determinar valores de uma função complexa de maneira mais simples 
Dito isso, assinale a alternativa correta do polinômio de Taylor de grau 3, em volta do x 0= 1, da função f (x ) =x 5. 
Resposta Selecionada: p (.r) = 5x _ 4 + 10(.r _ l ) 2+ 10(.r - l) 3 
~ a. 3 
Respostas: ~ a. p / ") =5x-4+ 10(.r- 1) 2+ IO(x - 1) 3 
Comentârio da 
resposta: 
b. P /") = 5x - 4 + 5(.r - l) 2+ 5(x - l) 3 
e. P/x) =2t-4+ l O(x- 1) 4+ !O(x - 1) 2 
P (.r)=b- 3+ 10(.r-1) 2+10(x-1) 3 
d. l 
P /t) =5.t- 4+2(x- 1) 2+ 3(x- 1) 3 
e. 
JUSTIFICATIVA 
f" (xo) . . 2 /" '(x o ) 
Sabendo que o polinômio de Taylor é baseado na seguinte fórmula ( P 3(.r) =f (.,·e)+ f (x(t ' .(x- x
0
) + - ,,- (., -., 0) + ~ • (.r-.r0) 3) , após aplicarmos as derivadas da função da 
respectiva questão e na fórmula de Taylor, teremos como resposta P / '') = 5.r- 4+ lO(x- l ) 2+ IO(x- l ) 3. 
Pe rgunta 4 2,25 em 2,25 pontos 
-r:il Considere uma função tripla qualquer, como q = (x ,_r ,:) , sendo esta contínua, em detenninada região T fechada e limitada no tempo e no espaço. Ao final, a região T será subdividida em planos paralelos aos três planos 
coordenados 
Diante disso, assinale a alternativa com o resultado que teremos ao realizar a divisão. 
Resposta Seleclonada: e, a. Infinitos paraleleplpedos 
Respostas: 
Comentário da 
resposta: 
e, a. Infinitos paralelepipedos 
b. Infinitos trapézios 
e. Infinitos tnângulos. 
d. Infinitos hexágonos. 
e. Infinitos circules. 
JUSTIFICATIVA 
Quando pensamos em integrais triplas, temos que levar em consideração que, dentro de uma região T de 1 a "n", encontramos diversos paralelepípedos agrupados. Cada paralelepípedo que está 
alocado em um ponto arbit rário (x
11
, y
11
, :,_. ) e no k- ésimo paralelepípedo, é onde a soma deve ser calculada para determinar o volume desse objeto 
Perg unta 5 1.5 em 1.5 pontos 
_d Quando falamos e~ volume de integral dupla, existe uma condição suficiente para que a existência da integral seja a continuidade da função f (x ,y ) em uma região D definida 
Assinale a alternattva correta. 
Resposta Selecionada: ~ c. f (x .y) deve ser integrável e conlínua na região de O 
Respostas: 
Comentário da 
resposta: 
Pe rgunta 6 
a. f (x , y) deve ser derivável e contínua na região de D 
b. /" (x ,y) deve ser igual a zero em D e continua na região de D. 
~ c. f (x ,y) deve ser integrável e cont inua na região de D 
d. f (x ,y ) deve ser nula em D e continua na região de D 
e. f (x ,y) deve ser negativa em D e contínua na região de D. 
JUSTIFICATIVA 
A condição de suficiência para a existência da integral definida em D é a continuidade da função / ( x ,y) na região D, porém, para que f (x ,y) seja contínua em D, a função f deve ser integrável em 
um sólido denominado MD~. 
1.s em 1.s pontos 
~ 5egundo o método _de Fubini, as integrais tn~las são ~nálogas às integrais duplas, porém, em três ou mais dimensões a partir do uso de integrações interadas. Trata-se de uma ferramenta para somar infinitas grandezas 
infinitesimais, assooadas a pontos em detennmada região tridimensional de certo gráfico 
Posto isso, assinale a alternativa correta com as dimensões das integrais triplas. 
Resposta Selecionada: ~ e. f(x, Y, z) 
Respostas: 
Comentário da 
resposta: 
a. 2, 4, 6. 
b. dx, dy, dz. 
e. a, b, e 
d. X, Y, Z 
~ e. f(x, Y, z) 
JUSTIFICATIVA 
A integral é uma ferramenta matemática que tem grande utilidade em diversas aplicações, em áreas ligadas às ciências exatas, tecnologia e engenharia. Ao efetuar uma conta, seja na integração sobre 
uma, duas ou três variáveis, ela resulta em um valor numérico, cuja unidade depende do que se está querendo detenninar (massa, volume, carga, densidade de massa, densidade de carga, momento de 
inércia, probabilidade, centro de massa, entre outras). 
,en1 uma tegião D = [a,b] x [e.d] 
1 " 111 1 
Ili 1 
R, visar env1io do teste· S ,· ' · .. ,• . · · · ·· · · · í • : · 
Pergunta 6 
A partir das integrais triplas, 
1 
um sólido e sua respectiva d 
1,5 em 1,5 pontos 
1sicas com a massa de 
raba lhamos com integra is 
1 
triplas, estamos relaci f'unção do volume. 
li 
Quando ' conceito de 1: dV a 
1 
seguinte propriedade: 
1111 
Resposta Se!ecion 
Respostas: 
Comentário da 
resposta: 
JUSTI IFICATIVA I llj1I 1111
1
1. 1 
bicos_ 
cfos. 
1, 111 1 . . . . . 1 11 
dV e o ~!emento d1fer·en
1 
c1a l dó vo lume de ~1rn dad,o corpo de interesse. 
, 
1 
] j l1 
Caso venha a .ser ~fe'tuada a integral nq espaço ocupado pelo n esmo -
1 1 
usandb uni e; ir,ite rr1~ de ooordenac1;:.1s €1dequêH.'.lQ .. , o resultado da conta 
1 
1 1 1 1 1 1 1 1 .,, li 1 
é o seu volume total , dado pela ex,i,ressilo \1 "' ,///d\·. 
1'11J/w11, 
1/1
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1. Para responder a esta atividade, selecione a(s) alternativa(s)que você considerar correta(s);
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Pergunta 1
Resposta Selecionada:
a. 
Respostas:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da resposta:
Quando falamos em polinômio de Taylor, sabemos da sua utilidade para estimar valores de determinada função a partir da utilização de suas derivadas. Essa é uma ferramenta muito utilizada dentro do cálculo diferencial e integral, a fim de determinar valores de uma função complexa de maneira mais simples.
Dito isso, assinale a alternativa correta do polinômio de Taylor de grau 3, em volta do x
0
= 1, da função f (x ) =x 5.
P
3
(x ) = 5x − 4+ 10(x − 1) 2+ 10(x − 1) 3
P
3
(x ) = 5x − 4+ 10(x − 1) 2+ 10(x − 1) 3
P
3
(x ) = 5x − 4+ 2(x − 1) 2+ 3(x − 1) 3
P
3
(x ) = 5x − 4+ 5(x − 1) 2+ 5(x − 1) 3
P
3
(x ) = 2x − 4+ 10(x − 1) 4+ 10(x − 1) 2
P
3
(x ) = 1x − 3+ 10(x − 1) 2+ 10(x − 1) 3
JUSTIFICATIVA
Sabendo que o polinômio de Taylor é baseado na seguinte fórmula ( P
3
(x ) = f (x
0
) + f (x
0
) ' . (x − x
0
) +
f " (x
0
)
2!
· (x − x
0
) 2+
f " '(x
0
)
3! !
· (x − x
0
) 3) , após aplicarmos as derivadas da função da respectiva questão e na fórmula de Taylor, teremos como resposta P
3
(x ) = 5x − 4+ 10(x − 1) 2+ 10(x − 1) 3.
Pergunta 2
Resposta Selecionada: a. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da resposta:
Considere uma função tripla qualquer, como q = (x ,y , z) , sendo esta contínua, em determinada região T fechada e limitada no tempo e no espaço. Ao final, a região T será subdividida em planos paralelos aos três planos coordenados. 
Diante disso, assinale a alternativa com o resultado que teremos ao realizar a divisão.
Infinitos paralelepípedos.
Infinitos paralelepípedos.
Infinitos círculos.
Infinitos triângulos.
Infinitos hexágonos.
Infinitos trapézios.
JUSTIFICATIVA
Quando pensamos em integrais triplas, temos que levar em consideração que, dentro de uma região T de 1 a "n", encontramos diversos paralelepípedos agrupados. Cada paralelepípedo que está alocado em um ponto arbitrário (x
k
, y
k
, z
k
) e no k – ésimo paralelepípedo, é onde a soma deve ser calculada para determinar o volume desse objeto.
Pergunta 3
Resposta Selecionada:
d. 
Respostas:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da resposta:
Quando falamos em volume de integral dupla, existe uma condição suficiente para que a existência da integral seja a continuidade da função f (x ,y ) em uma região D definida.
Assinale a alternativa correta.
f (x ,y ) deve ser integrável e contínua na região de D.
f (x ,y ) deve ser nula em D e contínua na região de D.
f (x ,y ) deve ser igual a zero em D e contínua na região de D.
f (x ,y ) deve ser negativa em D e contínua na região de D.
f (x ,y ) deve ser integrável e contínua na região de D.
f (x , y ) deve ser derivável e contínua na região de D.
JUSTIFICATIVA
A condição de suficiência para a existência da integral definida em D é a continuidade da função f (x ,y ) na região D, porém, para que f (x ,y ) seja contínua em D, a função f deve ser integrável em um sólido denominado “D”.
Pergunta 4
Resposta Selecionada:
b. 
Respostas:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da resposta:
O Teorema de Fubini possibilita o cálculo de uma integral dupla, por meio do processo de integrações iteradas, permitindo a inversão da ordem de integração.
Dito isso, assinale a alternativa onde se faz aplicação do Teorema de Fubini.
Calcular o volume do sólido situado abaixo do gráfico de z = f (x ,y ) e acima do plano 𝑥 𝑦 (ou plano z = 0), onde f (x ,y ) ≥ 0.
Calcular o volume do sólido situado abaixo do gráfico de z = f (x ,y ) e acima do plano xz (ou plano y = 0), onde f (x ,y ) > 0.
Calcular o volume do sólido situado abaixo do gráfico de z = f (x ,y ) e acima do plano 𝑥 𝑦 (ou plano z = 0), onde f (x ,y ) ≥ 0.
Calcular o volume do sólido situado abaixo do gráfico de z = f (x ,y ) e acima do plano xz (ou plano y > 0), onde f (x ,y ) ≤ 0.
Calcular o volume do sólido situado abaixo do gráfico de z = f (x ,y ) e acima do plano yz (ou plano x < 0), onde f (x ,y ) ∼ 0.
Calcular o volume do sólido situado abaixo do gráfico de z = f (x ,y ) e acima do plano yz (ou plano x = 0), onde f (x ,y ) < 0.
JUSTIFICATIVA
O teorema de Fubini tem como base o cálculo de integrais duplas, onde duas integrações de uma variável são realizadas, e uma terceira variável permanece fixa, de forma que a função f (x ,y ) seja contínua em uma região D = [a,b] x [c,d].
Pergunta 5
Resposta Selecionada:
a. 
Respostas:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da resposta:
Quando desenhamos determinado sólido dentro de um sistema de coordenadas, como um gráfico, podemos determinar seu volume por meio de integrais duplas. Para uma região no espaço cartesiano xyz, delimitada entre uma função z=f(x, y)>0 e uma região retangular R no plano xy, como se define o volume do sólido compreendido entre eles?
O produto da função f(x
ij
* , y
ij
* ) pelo elemento de área R
ij
 correspondente a um ponto amostral (x
ij
* , y
ij
* ), fazendo na sequência a soma destes subprodutos no limite em que a quantidade de pontos (i; j)=(1, 2, ..., m ; 1, 2, ..., n) se aproxima do infinito, com subáreas assumindo valores menores.
O produto da função f(x
ij
* , y
ij
* ) pelo elemento de área R
ij
 correspondente a um ponto amostral (x
ij
* , y
ij
* ), fazendo na sequência a soma destes subprodutos no limite em que a quantidade de pontos (i; j)=(1, 2, ..., m ; 1, 2, ..., n) se aproxima do infinito, com subáreas assumindo valores menores.
A soma da função f(x
ij
* , y
ij
* ) pelo elemento de área R
ij
 correspondente a um ponto amostral (x
ij
* , y
ij
* ), fazendo na sequência a soma destes subprodutos no limite em que a quantidade de pontos (i; j)=(1, 2, ..., m ; 1, 2, ..., n) se aproxima do infinito, com subáreas assumindo valores menores.
A subtração da função f(x
ij
* , y
ij
* ) pelo elemento de área R
ij
 correspondente a um ponto amostral (x
ij
* , y
ij
* ), fazendo na sequência a soma destes subprodutos no limite em que a quantidade de pontos (i; j)=(1, 2, ..., m ; 1, 2, ..., n) se aproxima do infinito, com subáreas assumindo valores menores.
A paridade da função f(x
ij
* , y
ij
* ) pelo elemento de área R
ij
 correspondente a um ponto amostral (x
ij
* , y
ij
* ), fazendo na sequência a soma destes subprodutos no limite em que a quantidade de pontos (i; j)=(1, 2, ..., m ; 1, 2, ..., n) se aproxima do infinito, com subáreas assumindo valores menores.
A divisão da função f(x
ij
* , y
ij
* ) pelo elemento de área R
ij
 correspondente a um ponto amostral (x
ij
* , y
ij
* ), fazendo na sequência a soma destes subprodutos no limite em que a quantidade de pontos (i; j)=(1, 2, ..., m ; 1, 2, ..., n) se aproxima do infinito, com subáreas assumindo valores menores.
JUSTIFICATIVA
Uma aplicação das integrais duplas consiste na determinação de volume de sólidos, que podem se encontrar em um espaço compreendidos entre uma função z = f (x ,y ) e uma região R definido em um plano.
Pergunta 6
Resposta Selecionada:
d. 
Respostas:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da resposta:
Na matemática, temos a soma de Riemann, que é uma aproximação obtida a partir da somatória da função f (x ,y ) , multiplicada pela variação do deslocamento do gráfico. Uma aplicação comum da soma de Riemann diz respeito às aproximações da área de funções e/ou linhas de um gráfico. 
Sobre as aproximações da área sob uma curva, assinale a alternativa correta.
A soma de Riemann da função f (x ,y ) é relativa à partição P e também a escolha dos pontos (x
j
, y
j
) , podendo ser descrita da seguinte maneira: S = ( f , P , {[x
j
,y
j
]})
A soma de Riemann da função f (x , z) é relativa à partição P e também a escolha dos pontos (x
j
, z
j
) , podendo ser descrita da seguinte maneira: S = ( f , P , {[x
j
, z
j
]})
A soma de Riemann da funçãof (x ,y ) não é relativa à partição P e também a escolha dos pontos (x
j
, y
j
) , podendo ser descrita da seguinte maneira: S = f (x
j
,y
j
)
A soma de Riemann independe da função e é relativa à partição P e também a escolha dos pontos, podendo ser descrita da seguinte maneira: S = ( f , P)
A soma de Riemann da função f (x ,y ) é relativa à partição P e também a escolha dos pontos (x
j
, y
j
) , podendo ser descrita da seguinte maneira: S = ( f , P , {[x
j
,y
j
]})
A soma de Riemann da função f (y , z) é relativa à partição P e também a escolha dos pontos (y
j
, z
j
) , podendo ser descrita da seguinte maneira: S = ( f , P , {[y
j
, z
j
]})
JUSTIFICATIVA
Dentro do cálculo, temos a Soma de Riemann de f (x ,y ) , relativa à partição P e à escolha dos pontos (x
j
,y
j
) também pode ser definida como: S = ( f , P , {[xj ,yj]}) = f (x
j
,y
j
) . Área ( R
ij
) .
← OK
2,25 em 2,25 pontos
2,25 em 2,25 pontos
1,5 em 1,5 pontos
1,5 em 1,5 pontos
1,25 em 1,25 pontos
1,25 em 1,25 pontos
Pergunta 3 1,5 em 1,5 pont os 
~ A partir das integrais triplas, podemos encontrar interpretações físicas com a massa de um sólido e sua respectiva densidade, uma vez que, quando trabalhamos 
com integrais triplas, estamos relacionando os três eixos {x, y, z) e derivando em função do volume. 
Quando analisamos as integrais triplas, podemos relacionar o conceito de 1 dV a seguinte propriedade: 
Resposta Selecionada: ~ e. 1 dV é o volume de D. 
Respostas: a. 1 dV é a subtração da área em metros quadrados 
b. 1 dV é o volume da superficial. 
~ e. 1 dV é o volume de D. 
d. 1 dV é a somatória das áreas em centímetros cúbicos. 
e. 1 dV é a probabilidade da área em metros quadrados 
JUSTIFICATIVA Comentário da 
resposta: 
dV é o elemento diferencial do volume de um dado corpo de interesse. Caso venha a ser efetuada a integral no espaço ocupado pelo mesmo 
- usando um sistema de coordenadas adequado -, o resultado da conta é o seu volume total, dado pela expressão V = jJJ' dV. 
Volume 
sexi dos 
P rgunt111 
Assinale a alternativa que oontema o cálculo da inlegral tripa pelo Teorema fobini qanntdo q= [q,b) \?' (ti ~J )( ~el) é wi paralelepípedo. 
Resposta Selecionada: 
Respostas: 
JJ.l,c 
D 
[f( 
!Ili( 
D 
!Ili( 
o 
/Ili( 
D 
b d rf 
z)dV= 1 f )_ /( y,z)dzdydx 
a e 
b d I 
z)dV = 1 f J f(x,y,z)dxdydz 
a t 
b d rf 
,z)dV = 11 J_ f( ,y,z)dxdzdy 
o r e 
J[[ f{ y z)dV= f bJ d'l ff(x,}l~z)dydzdK 
Q l ,i!! 
OemO 
da resposta: ' flf[ 1 bf dlf 
Você acertou! Essa é a alternativa correta. Pelo Teorema de Fubini, dado { : D~ R3 ➔ R contínua e D um paralelepípedo, então JJJ f(x,y~.ddV = f(x,y,zJdzdydx 
- D a - e ~ 
Quinta-feira. 8 d e fe ere·ro de 202- 1 6hJ.lmin36s BRT 
+-OK 
Pergunta 1 
Assinale a alternativa que contenha o cálculo tfa infegraJ dupla pelo Teorema de Fubini quando D= ((x,v] /a ~ X'~ b e o{x} 5 V5 h(x}j 
Resposta Selecionada: 
Respostas: 
b h(. 1 
III( v)dxdy= [ [ f(x/t)dvdx 
o o olxJ 
lJ "( , JI,c .y)d dy= [ L f( ,y)dx dy 
D o l(K) 
f 
11( )[ ti 
/11(,· y)d ··dy= /(x~vktv d 
o g( J Q 
f1 1.,,(KJ[t, 
f( y)d dy = f(x, y)dx dy 
D g(x) a 
tJ h( ·} 
flrcx.y)dxdy= [ l /(H,Vkiv dx 
D a- g(x) 
- ll(x) - b 
1Ir< .y)dxdy= i /(x,1)dy l f(x,y)dx 
D gtx) li 
Comen.::ãrio aa resposta: ,(( 1-bf h(. J 
Você acertoul Essa é a alternativa correta. Pelo Teorema de Fubini, dado O;:;; {(X, y) / a S X~ b e g(x) ~ y ~ h(x)J eolão JJ~f(x.y)dxdy= /(x.,y)dy dx 
-o o g {x} 
- "~•'e---a e oe Fe ere ro de 202.:! 16 h.!6min21s BRT 
f- 0 
n 1 
estão referente ao Texto-bate - Integrais múltiplas 
Classifique em ven1adeiro (V) ou falso (F) as propriedades das integrais duplas. Assinale a altemaliva a,m a dassíficação correta. 
1. ff.t(x ,V)dA - f[ f(x,y)dA + Jf. t(x y)dA, se D= D1 U D2 tais regiões não se sobrepéie exceto talvez suas frooteiras. 
D D1 D2 
li. ff. I dA = A(D), onde A(D) é a área de D. 
111. j[ rti .v).g( .v)JdA ~ Jf..f(x,v)dA .Jl 11(x,v)dA 
D D D 
Resposta Selecionada: V,V,F 
Resposta~ F,F,F 
CoMemário da 
F,V,V 
F,F,V 
v,v,v 
('; V,V,F 
Você acertou! Essa é a alternativa correta. As propriedades 1 - . . , ÍÍ · 
propóedade da inlegral dupla, nem mesmo da inleg,a/ sünpl~ e M sao de mlegra1s duplas, porem a propriedade {Ili): J-{, ff(x,y).g(x,y}]dA ~ .fl1{x,y)dA ·4 g(x,y}dA não é 
Qumta-~r-a 8 oe !:e ere·ro de 202J 16h49minJ8s BRT 
respos-..a: 
-.oK 
06/02/2024, 16:14 Revisar envio do teste: Semana 2 -Atividade Avaliativa &ndash .. . 
Cálculo li - MCA502 - Turma 001 Atividades Revisar envio do teste: Semana 2 - Atividade Avaliativa 
Revisar envio do teste: Semana 2 - Atividade Avaliativa 
Usuário 
Curso 
Teste 
Iniciado 
Enviado 
Status 
Resultado da 
tentativa 
Cálculo li - MCA502 - Turma 001 
Semana 2 - Atividade Avaliativa 
06/02/24 16:07 
----- ·•···········•·· .. -···· -----
06/02/24 16: 14 
····················-----···················· ....................... . 
Completada 
1 O em 1 O pontos 
Tempo decorrido 6 minutos 
Instruções 
.................................. , .................. -----
Olá, estudante! 
1. Para responder a esta atividade, selecione a(s) alternativa(s) que você 
considerar correta(s); 
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Pergunta 1 1,5 em 1,5 pontos 
l!?rJ Quando falamos em volume de integral dupla, existe uma condição 
suficiente para que a existência da integral seja a continuidade da função 
f (x,y ) em uma região D definida. 
Assinale a alternativa correta. 
Resposta 
Selecionada: 
Respostas: 
o e. 
f (x ,y ) deve ser integrável e contínua na região de D. 
a. 
f (x ,y ) deve ser negativa em D e contínua na região 
de D. 
b. 
f (x ,y ) deve ser nula em D e contínua na região de D. 
e. 
f ( x ,y ) deve ser igual a zero em D e contínua na 
região de D. 
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d. 
f (x, y) deve ser derivável e contínua na região de D. 
o e. 
f (x ,y ) deve ser integrável e contínua na região de D. 
Comentário da JUSTIFICATIVA 
resposta: 
Pergunta 2 
A condição de suficiência para a existência da integral 
definida em D é a continuidade da função f(x ,y ) na 
região D, porém, para que f (x ,y) seja contínua em D, 
a função f deve ser integrável em um sólido 
denominado "D". 
1,5 em 1,5 pontos 
Segundo o método de Fubini, as integrais triplas são análogas às 
integrais duplas, porém, em três ou mais dimensões a partir do uso de 
integrações interadas. Trata-se de uma ferramenta para somar infinitas 
grandezas infinitesimais, associadas a pontos em determinada região 
tridimensional de certo gráfico. 
Posto isso, assinale a alternativa correta com as dimensões das integrais 
triplas. 
Resposta Selecionada: O e. f(x, Y, z) . 
Respostas: 
Comentário 
da resposta : 
a. a, b, c. 
b. dx, dy, dz. 
e. X, y, Z. 
d. 2, 4, 6. 
e,i e. f(x, y, z). 
JUSTIFICATIVA 
A integral é uma ferramenta matemática que tem grande 
utilidade em diversas aplicações, em áreas ligadas às 
ciências exatas, tecnologia e engenharia. Ao efetuar uma 
conta, seja na integração sobre uma, duas ou três 
variáveis, ela resulta em um valor numérico, cuja unidade 
depende do que se está querendo determinar (massa, 
volume, carga, densidade de massa, densidade de carga, 
momento de inércia, probabilidade, centro de massa, 
entre outras). 
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Pergunta 3 2,25 em 2,25 pontos 
Considere uma função tripla qualquer, como q = (x ,y ,z) , sendo esta 
contínua, em determinada região T fechada e limitada no tempo e no 
espaço. Ao final , a região T será subdividida em planos paralelos aos três 
planos coordenados. 
Diante disso, assinale a alternativa com o resultado que teremos ao 
realizar a divisão. 
Resposta Selecionada: e;. d. Infinitos paralelepípedos. 
Respostas: 
Comentário 
da resposta : 
Pergunta 4 
a. Infinitos hexágonos. 
b. Infinitos triângulos. 
e. Infinitos trapézios. 
O d. Infinitos paralelepípedos. 
e. Infinitos círculos. 
JUSTIFICATIVA 
Quando pensamos em integrais triplas, temos que levar 
em consideração que, dentro de uma região T de 1 a "n", 
encontramos diversos paralelepípedos agrupados. Cada 
paralelepípedo que está alocado em um ponto arbitrário ( 
x , y , z ) e no k - ésimo paralelepípedo, é onde a soma 
k k k 
deve ser calculada para determinar o volume desse 
objeto. 
2,25 em 2,25 pontos 
~ Quando falamos em polinômio de Taylor, sabemos da sua utilidade para 
estimar valores de determinada função a partir da utilização de suas 
derivadas. Essa é uma ferramenta muito utilizada dentro do cálculo 
diferencial e integral, a fim de determinar valores de uma função 
complexa de maneira mais simples. 
Dito isso, assinale a alternativa correta do polinômio de Taylor de grau 3, 
em volta do x = 1, da função f ( x ) = x 5 . 
o 
Resposta Selecionada: p (x ) = Sx- 4+ lO(x _ 1) 2+ lO(x - 1) 3 
e. e. 3 
Respostas: p (x ) = 2x -4+ IO(x -1) 4 + IO(x -1) 2 
a. 3 
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P (x) = lx-3+ lü(x-1) 2 + lü(x-1) 3 
b. 3 
P ( x) = Sx - 4 + 10 ( x - 1) 2 + 10 ( x - l) 3 
o e. 3 
P ( x) = Sx - 4 + 5 ( x - 1) 2 + 5 ( x - 1) 3 
d. 3 
P ( x) = Sx - 4 + 2 ( x - l) 2 + 3 ( x - l) 3 
e. 3 
Comentário JUSTIFICATIVA 
da resposta: Sabendo que o polinômio de Taylor é baseado na 
seguinte fórmula 
Pergunta 5 
f" (x ) f'" (x ) 
(P (x)=f(x )+f(x )' .(x-x )+--
0 
·(x-x ) 2+--
0 
·(x-x ) 3) 
3 O O O 2! O 3! ! O 
, após aplicarmos as derivadas da função da respectiva 
questão e na fórmula de Taylor, teremos como resposta 
P ( x) = Sx - 4 + 10 ( x - l) 2 + 10 ( x - l) 3 . 
3 
1,25 em 1,25 pontos 
~ Quando falamos em polinômio de Taylor, sabemos da sua utilidade para 
· estimar valores de determinada função a partir da utilização de suas 
derivadas. Essa é uma ferramenta muito utilizada dentro do cálculo 
diferencial e integral, a fim de determinar valores de uma função 
complexa de maneira mais simples. 
Dito isso, assinale a alternativa com o conceito correto do polinômio de 
Taylor grau 1. 
Resposta Selecionada: e-, e. Consiste na definição da reta tangente. 
Respostas: 
Comentário 
da resposta: 
a. Consiste na definição da reta paralela. 
b. Consiste na definição da abscissa. 
O e. Consiste na definição da reta tangente. 
d. Consiste na definição da reta perpendicular. 
e. Consiste na definição da bissetriz. 
JUSTIFICATIVA 
O conceito de polinômio de Taylor de ordem 1 consiste, 
basicamente, na definição de uma reta tangente. A partir 
desse método, é possível estimar a função em diversos 
pontos por meio de pontos próximos e, como dito 
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Pergunta 6 
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anteriormente, a partir da determinação da reta tangente 
da função que estamos analisando. 
1,25 em 1,25 pontos 
Quando desenhamos determinado sólido dentro de um sistema de 
coordenadas, como um gráfico, podemos determinar seu volume por 
meio de integrais duplas. Para uma região no espaço cartesiano xyz, 
delimitada entre uma função z=f(x, y)>O e uma região retangular R no 
plano xy, como se define o volume do sólido compreendido entre eles? 
Resposta 
Selecionada: 
Respostas: 
o e. 
O produto da função f(x _*, y -~ ) pelo elemento de área R .. 
lJ lJ lJ 
* * correspondente a um ponto amostral (x .. , y .. ), fazendo na 
lJ lJ 
sequência a soma destes subprodutos no limite em que a 
quantidade de pontos (i; j)={1, 2, ... , m ; 1, 2, ... , n) se 
aproxima do infinito, com subáreas assumindo valores 
menores. 
a. 
A subtração da função f(x -~, y .* ) pelo elemento de área R .. 
lJ lJ lJ 
correspondente a um ponto amostral (x .* , y _* ), fazendo na 
lJ !/ 
sequência a soma destes subprodutos no limite em que a 
quantidade de pontos (i; j)=(1, 2, ... , m ; 1, 2, ... , n) se 
aproxima do infinito, com subáreas assumindo valores 
menores. 
b. 
A soma da função f(x -~ , y -~ ) pelo elemento de área R .. 
u u u 
correspondente a um ponto amostral (x -~ , y -~ ), fazendo na 
lJ lJ 
sequência a soma destes subprodutos no limite em que a 
quantidade de pontos (i; j)=(1, 2, ... , m ; 1, 2, ... , n) se 
aproxima do infinito, com subáreas assumindo valores 
menores. 
o e. 
O produto da função f(x -~, y -~ ) pelo elemento de área R .. 
lJ lJ lJ 
correspondente a um ponto amostral (x -~ , y -~ ), fazendo na 
lJ lJ 
sequência a soma destes subprodutos no limite em que a 
quantidade de pontos (i; j)=(1 , 2, ... , m ; 1, 2, ... , n) se 
aproxima do infinito, com subáreas assumindo valores 
menores. 
https://ava .univesp.br/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id= _24032849_ 1 &course_id= _ 12690_ 1 &content_id= _ 1487630_ 1 &return .. . 5/6 
06/02/2024, 16:14 Revisar envio do teste: Semana 2 -Atividade Avaliativa &ndash .. . 
d. 
A divisão da função f(x -~, y -~ ) pelo elemento de área R .. 
lj lj lj 
correspondente a um ponto amostral (x -~ , y -~ ), fazendo na 
lj lj 
sequência a soma destes subprodutos no limite em que a 
quantidade de pontos (i; j)=(1, 2, ... , m ; 1, 2, ... , n) se 
aproxima do infinito, com subáreas assumindo valores 
menores. 
e. 
A paridade da função f(x -~ , y -~ ) pelo elemento de área R .. 
lj lj lj 
correspondente a um ponto amostral (x -~ , y -~ ), fazendo na 
lj lj 
sequência a soma destes subprodutos no limite em que a 
quantidade de pontos (i; j)=(1, 2, ... , m ; 1, 2, ... , n) se 
aproxima do infinito, com subáreas assumindo valores 
menores. 
Comentário da JUSTIFICATIVA 
resposta: Uma aplicação das integrais duplas consiste na 
determinação de volume de sólidos, que podem se 
encontrar em um espaço compreendidos entre uma 
função z = f (x ,y ) e uma região R definido em um 
plano. 
Terça-feira, 6 de Fevereiro de 2024 16h14min08s BRT 
- oK 
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	Nota 10 - validado -[A0 - Amplie] Semana 2 - Cálculo II - UNIVESP - 02-2024
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