Apostila-teoria-das-estruturas-II

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Universidade do Sul de Santa Catarina – UNISUL 
Curso:	Engenharia	Civil	
	
	
	
	
 
 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas II 
(2º Semestre / 2012) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor: Marcelo Cechinel 
E‐mail: marcelo.cechinel@unisul.br 
 
 
2 
 
 
Conteúdo Programático 
 
 Capítulo I – Revisão (Grau de Hiperstaticidade) 
 Capítulo II – Método das Forças 
 Capítulo III – Método dos Deslocamentos 
 Capítulo IV – Processo de Cross 
 
Objetivo 
Capacitar o aluno na análise de estruturas hiperestáticas, com ênfase nas estruturas 
planas, fornecendo subsídios para a determinação de esforços solicitantes, bem como 
o  traçado  de  diagramas  de  estado,  visando  aplicação  em  estruturas  de  concreto 
armado. 
 
Metodologia 
 Apresentação do conteúdo dividido em capítulos através de aulas expositivas; 
 Incentivo à pesquisa bibliográfica; 
 Proposição de tarefas e solução de exercícios propostos pelo professor; 
 Acompanhamento pelo professor para esclarecimento de dúvidas; 
 
 
Critérios de Avaliação 
 
A avaliação será realizada da forma que segue: 
 
Avaliação 01:  Prova escrita, individual, SEM consulta. 
    Conteúdo: Capítulo II (Método das Forças) 
 
Avaliação 02:  Trabalho individual e/ou prova escrita, individual, SEM consulta. 
    Conteúdo: Capítulo III (Método dos Deslocamentos) 
 
Avaliação 03:  Prova escrita, individual, SEM consulta. 
    Conteúdo: Capítulo IV (Processo de Cross) 
 
Além  das  três  avaliações  citadas,  cabe  ressaltar  que  a  presença  e  a  participação 
contarão como parâmetro na avaliação final do aluno. 
 
 
3 
 
Capítulo I - Revisão 
 
 
1.1. Vínculos: 
São classificados de acordo com o número de movimentos que impedem. 
 
 Vínculo  Simples  ou  de  Primeira  Ordem:  impedem  apenas  um 
movimento, normalmente a translação. 
 
 
 
 
 
 Vínculo  Duplo  ou  de  Segunda  Ordem:  impedem  dois  movimentos 
permitindo geralmente a rotação. 
 
 
 
 
 
 Vínculo Tríplo ou de Terceira Ordem: impedem três movimentos, a 
saber, duas translações e uma rotação. 
 
 
 
 
1.2. Classificação das Estruturas: 
 
Estrutura Hipostática:  Estruturas  cujos  movimentos  de  corpo‐rígido  NÃO 
são  restringidos  e  NÃO  atingem,  portanto,  uma 
configuração  de  equilíbrio  estável,  ou  seja,  não 
possui  vínculos  suficientes  para  garantir  a  sua  total 
estabilidade. 
 
 
 
 
 
4 
 
Estrutura Isostática:   Estruturas  com  movimentos  de  corpo‐rígido 
restringidos e o número de incógnitas a determinar é 
igual  ao  número  de  equações  de  equilíbrio  estável, 
em  outras  palavras,  estruturas  com  vínculos 
estritamente  necessários  para  garantir  a  sua  total 
estabilidade. 
 
 
 
 
 
Estrutura  Hiperestática:  Estruturas  com  movimentos  de  corpo‐rígido 
restringidos  e  número  de  incógnitas  a  determinar 
maior  que  o  número  de  equações  de  equilíbrio 
estável, resumidamente, são estruturas que possuem 
vínculos  mais  que  necessários  para  garantir  a  sua 
total imobilidade. 
 
 
 
 
 
Obs.:  cabe  ressaltar  que  na  prática  a  grande  maioria  das  estruturas 
classifica‐se como HIPERESTÁTICA ou ESTATICAMENTE INDETERMINADA. 
 
 
1.3. Grau de Hiperestaticidade: 
 
1.3.1. Grau de Hiperestaticidade Externo (ge): 
 
Seja a estrutura abaixo: 
 
                                          B 
 
 
 
 
Como pode ser visto, dispomos de 05 reações de apoio (03 do apoio do 
engaste e 02 do apoio de segunda ordem) e apenas 03 equações universais da 
estática no plano (ΣFx / ΣFy / ΣM) além de mais uma (momento fletor nulo em 
 
5 
 
A
B C
D
A
B C
D
“B”). Ou seja, 05  incógnitas e apenas 04 equações. A essa deficiência damos o 
nome de GRAU DE HIPERESTATICIDADE EXTERNO. Desta  forma podemos dizer 
que  o  grau  de  hiperestaticidade  externo  é  o  número  de  equações 
suplementares necessárias para o cálculo das reações de apoio da estrutura. 
 
1.3.2. Grau de Hiperestaticidade Interno (gi): 
 
Seja a estrutura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste  segundo  caso  apesar  de  as  reações  de  apoio  ser  de  imediata 
obtenção (a partir das equações universais da estática), isso NÃO significa que a 
estrutura esteja resolvida. 
O  simples  conhecimento  das  reações  não  nos  habilita  a  traçar  seus 
diagramas solicitantes devido ao fato de ser uma ESTRUTRA FECHADA e de, por 
este motivo,  não  sabermos  todas  as  forças  a  que  está  sujeita  a  estrutura.  É 
necessário, portanto, ABRIRMOS a estrutura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  Assim  pode‐se  definir  GRAU  de  HIPERESTATICIDADE  INTERNO  da 
estrutura como sendo o número de equações suplementares necessárias para 
traçarmos os diagramas de esforços internos, o que no caso em questão é três. 
 
6 
 
( 1 ) ( 2 )
( 3 ) ( 4 )
 
1.3.3. Determinação do Grau de Hiperestaticidade Total (g): 
 
  ࢍ ൌ ࢍࢋ ൅ ࢍ࢏    
  ݃௘ ൌ ݎ െ ݁ െ	݊௥       
onde:     
 
r – nº de reações 
e – nº de equações 
nr – nº equações provenientes das rótulas e que é igual a (b ‐1) 
b – nº de barras ligadas a rótulas. 
 
݃௜ ൌ  número  de  esforços  internos  necessários  ao  traçado  dos 
diagramas, conhecidas as reações. 
      
 
1.3.4. Aplicações: 
 
Classifique quanto à estaticidade e determine o grau de hiperestaticidade 
total das estruturas que seguem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
( 5 ) ( 6 )
( 7 ) ( 8 )
( 9 ) ( 10 )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
Capítulo II – Método das Forças 
 
 
Formalmente, a resolução de estruturas hiperestáticas pelo Método das Forças 
resolve  o  problema  considerando  os  grupos  de  condições  a  serem  atendidas 
pelo modelo estrutural na seguinte ordem: 
 
1° Condições de equilíbrio; 
2° Condições sobre o comportamento dos materiais (leis constitutivas); 
3° Condições de compatibilidade. 
 
Na  prática,  entretanto,  a metodologia  utilizada  pelo Método  das  Forças  para 
analisar uma estrutura hiperestática é: 
 
•  Somar  uma  série  de  soluções  básicas  que  satisfazem  as  condições  de 
equilíbrio, mas  não  satisfazem  as  condições  de  compatibilidade  da  estrutura 
original, para na superposição restabelecer as condições de compatibilidade. 
Cada solução básica (chamada de caso básico) não satisfaz  isoladamente todas 
as  condições  de  compatibilidade  da  estrutura  original,  as  quais  ficam 
estabelecidas  quando  se  efetuam  a  superposição  de  efeitos  todos  os  casos 
básicos. 
 
A estrutura utilizada para a superposição de soluções básicas é, em geral, uma 
estrutura isostática auxiliar obtida a partir da estrutura original pela eliminação 
de vínculos. Essa estrutura isostática é chamada Sistema Principal (SP). As forças 
ou  os  momentos  associados  aos  vínculos  liberados  são  as  incógnitas  do 
problema e  são denominados hiperestáticos.  Essa metodologia de  solução de 
uma  estrutura  hiperestática  pelo  Método  das  Forças  vai  ser  explicada 
detalhadamente através da  resolução de exemplos que  serão apresentados a 
seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos de Aplicações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
q= 2 kN/m
q= 2 kN/m


X1 = 1 kN
2 kN/m
s1
EXEMPLO I: 
 
 
 
 
Calculando o grau de hiperestaticidade da estrutura obtemos: 
݃ ൌ 1	 → ݁ݏݐݎݑݐݑݎܽ	1ݔ	݄݅݌݁ݎ݁ݏݐáݐ݅ܿܽ 
Desta forma se conclui que a estrutura apresenta 04 reações (incógnitas) – Rax, 
RAy, MA e RBy – e apenas 03 equações (ΣFx=0 / ΣFy=0 / ΣM=0) 
 
Pelo  método  das  forças  devemos  então  liberarum  dos  vínculos,  para  tal 
adotaremos liberar o RBy. 
 
X1: 
 
 
  X0: 
 
Desta forma, pela superposição de efeitos, se obtêm a seguinte equação para o 
problema: 
ߜ଴ ൅	ߜଵ. ଵܺ ൌ 0 
Seção S1 (X0):  
 
 
 
                                                 
              Σܨݕ ൌ 0	 ∴ ܸ െ 2ݔ ൌ 0 
 
11 
 
2 kN/m
s1
v
M +
+
10 kN
[D.E.C.]
-
-25 kN.m
[D.M.F.]
              ܸ ൌ 2ݔ	 ൜ ଴ܸ ൌ 0
ହܸ ൌ 10	ሾ݇ܰሿ 
              ΣM ൌ 0	 ∴ ܯ െ 2ݔ. ݔ/2 ൌ 0 
              ܯ ൌ െݔ²	 ൜ ܯ଴ ൌ 0ܯହ ൌ െ25	ሾ݇ܰ.݉ሿ 
 
 
 
 
 
 
E = 210x109 [N/m²] 
Seção da Viga (20x40)cm → ܫ ൌ 	 ௕	௫	௛యଵଶ ൌ 1,067ݔ10ିଷ	ሾ	݉ସ	ሿ 
 
Sabendo‐se que a derivada segunda do momento é análoga a derivada segunda 
do deslocamento, tem‐se: 
 
ܧܫݕ" ൌ െܯሺݔሻ ∴ ܧܫݕ" ൌ െሺെݔଶሻ 
නܧܫݕ"݀௬ ൌ නݔଶ݀௫ ∴ ܧܫݕᇱ ൌݔ
ଷ
3 ൅ ܣ 
නܧܫݕᇱ݀௬ ൌ නሺݔ
ଷ
3 ൅ ܣሻ݀௫ ∴ ܧܫݕ ൌ
ݔସ
12 ൅ ܣݔ ൅ ܤ 
ݕ ൌ 1ܧܫ ሺ
ݔସ
12 ൅ ܣݔ ൅ ܤሻ 
 
Aplicando as condições de contorno: 
 
1º.  x = L → y’ = 0 
 
ݕᇱ ൌ 1ܧܫ ቆ
ݔଷ
3 ൅ ܣቇ → ݕ
ᇱሺݔ ൌ ܮሻ ൌ 1ܧܫ ൬
1
3 ܮ
ଷ ൅ ܣ൰ ൌ 0 ∴ ܣ ൌ െܮ
ଷ
3  
 
 
 
 
 
12 
 
s1
X1
s1
v
M +
2º.  x = L → y = 0 
 
ݕ ൌ 1ܧܫ ቆ
ݔସ
12 ൅
ܮଷݔ
3 ൅ ܤቇ → ݕሺݔ ൌ ܮሻ ൌ
1
ܧܫ ቆ
ܮସ
12 െ
ܮସ
3 ൅ ܤቇ ൌ 0 ∴ ܤ ൌ
െܮସ
12 ൅
ܮସ
3
ൌ ܮ
ସ
4  
 
Desta forma, a expressão final será: 
 
ݕ ൌ 1ܧܫ ሺ
ݔସ
12 െ
ܮଷ
3 ݔ ൅
ܮସ
4 ሻ 
 
Sabendo que ymax → x=0 
 
ݕ௠௔௫ ൌ 1ܧܫ ቆ
ܮସ
4 ቇ ൌ
ܮସ
4ܧܫ ൌ
5ସ
4ݔ210ݔ10଺ݔ1,067ݔ10ିଷ ൌ 6,97ݔ10
ିସሾ݉ሿ 
 
Obs.: atentar para as unidades na entrada dos dados 
 
 
Seção S1 (X1): 
 
 
 
 
 
 
 
             
 
 
 
 
Σܨ௬ ൌ 0 ∴ ܸ ൅ 1 ൌ 0 ∴ ܸ ൌ െ1	ሾ݇ܰሿ 
Σܯ ൌ 0 ∴ ܯ െ ଵܺ. ݔ ൌ 0 ∴ ܯ ൌ ଵܺ. ݔ ൜ܯ଴ ൌ 0	ሾ	݇ܰ.݉	ሿܯହ ൌ 5	ሾ	݇ܰ.݉	ሿ 
 
 
13 
 
- 1 kN
[D.E.C.] +
5 kN.m
[D.M.F.]
Seguindo o mesmo procedimento do caso X0, obtêm‐se a seguinte expressão 
final: 
 
ݕ ൌ 1ܧܫ ሺ
െݔଷ
6 ൅
ܮଶ
2 ݔ െ
ܮଷ
3 ሻ 
 
Sabendo que ymax → x=0 
 
ݕ௠௔௫ ൌ 1ܧܫ ቆ
െܮଷ
3 ቇ ൌ െ
ܮଷ
3ܧܫ ൌ
െ5ଷ
3ݔ210ݔ10଺ݔ1,067ݔ10ିଷ ൌ െ1,860ݔ10
ିସሾ݉ሿ 
 
Seguindo no campo dos deslocamentos e sabendo que esse deslocamento no 
ponto B deve ser nulo: 
 
E = 210x109 [N/m²] = 210x106 [kN/m²] 
Seção da Viga (20x40)cm → ܫ ൌ 	 ௕	௫	௛యଵଶ ൌ 1,067ݔ10ିଷ	ሾ	݉ସ	ሿ 
 
ݑ௬೉బ ൅ ݑ௬೉భ. ଵܺ ൌ 0 ∴ 6,97ݔ10ିସ െ 1,86ݔ10ିସ ൌ 3,75	݇ܰ 
 
Como X1 refere‐se à reação de apoio no ponto B: 
 
ଵܺ ൌ ܴ஻೤ ൌ 3,75	݇ܰ 
 
Da mesma forma que o deslocamento é calculado pela soma ux0+ux1.X1, os 
esforços internos e reações de apoio também são calculados: 
 
 
14 
 
+
10 kN
[D.E.C.]
-
-25 kN.m
[D.M.F.]
RAy=10 kNM
=2
5 
kN
.m
+
M
=-
5 
kN
.m
-
RAy=-1 kN
௙ܸ௜௡௔௟ ൌ ௑ܸబ ൅ ଵܺ. ௑ܸభ  
 
ܯ௙௜௡௔௟ ൌ ܯ௑బ ൅ ଵܺ.ܯ௑భ  
ܴ݁ܽçã݋ ൌ ܴ௑బ ൅ ଵܺ. ܴ௑భ 
 
Resultados para X0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resultados para X1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 1 kN
[D.E.C.] +
5 kN.m
[D.M.F.]
 
15 
 
+
-
+
-
[D.E.C.]
[D.M .F.]
6,25 kN
-3,75 kN
ࡰࡱ࡯.ࢌ࢏࢔ࢇ࢒ ൌ ࡰࡱ࡯.ࢄ૙൅ ࢄ૚.ࡰࡱ࡯ࢄ૚  
 
Em x = 0: 
௑ܸబ ൌ 0	 ∴ 	 ௑ܸభୀ െ 1	ሾ݇ܰሿ 
ிܸ ൌ ௑ܸబ ൅ ଵܺ. ௑ܸభ ൌ 0 ൅ ሺെ1ሻ. 3,75 ൌ െ3,75	݇ܰ 
 
Em x = 5: 
௑ܸబ ൌ 10	ሾ݇ܰሿ 	 ∴ 	 ௑ܸభୀ െ 1	ሾ݇ܰሿ 
ிܸ ൌ ௑ܸబ ൅ ଵܺ. ௑ܸభ ൌ 10 ൅ ሺ3,75ሻ. 1 ൌ ൅6,25	݇ܰ 
 
ࡰࡹࡲ.ࢌ࢏࢔ࢇ࢒ ൌ ࡰࡹࡲ.ࢄ૙൅ ࢄ૚. ࡰࡹࡲࢄ૚ 
 
Em x = 0: 
ܯ௑బ ൌ 0	 ∴ 	ܯ ௑ܸభୀ0	 
ܯி ൌ ܯ௑బ ൅ ଵܺ.ܯ௑భ ൌ 0 ൅ 3,75.0 ൌ 0 
 
Em x = 5: 
ܯ௑బ ൌ െ25	ሾ݇ܰ.݉ሿ ∴ 	ܯ௑భୀ ൅ 5	ሾ݇ܰ.݉ሿ 
ܯி ൌ ܯ௑బ ൅ ଵܺ.ܯ௑భ ൌ െ25 ൅ ሺ3,75ሻ. 5 ൌ െ6,25	݇ܰ.݉ 
 
 
               
              ܯ௑బሺݔ ൌ 1,875ሻ ൌ 3,52	ሾ݇ܰ.݉ሿ 
 
ܯ௑భሺݔ ൌ 1,875ሻ ൌ 1,875	ሾ݇ܰ.݉ሿ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
25 kN.m
[D.M.F.] +
5 kN.m [D.M.F.]
-
xo
x1
+
5 kN.m [D.M.F.] x1
+
5 kN.m [D.M.F.] x1
25 kN.m
[D.M.F.] +
5 kN.m [D.M.F.]
-
xo
x1
 
O  valor  dos  deslocamentos  pode  ser  obtido  também  através  de  tabelas 
elaboradas a partir da resolução destas integrais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da tabela obtêm‐se os valores de δij (deslocamento na direção i, provocado pelo 
caso de carregamento xj: 
 
δ10:  
 
         
          ߜଵ଴ ൌ ௅ସܯ.ܯ ൌ
ହ
ସ . െ25.5 ൌ െ156,25 
 
 
 
 
 
δ11:  
ߜଵଵ ൌ ܮ3ܯ.ܯ ൌ
5
3 . 5.5 ൌ 41,67 
 
 
 
 
 
 
ߜଵ଴ ൅ ߜଵଵ. ଵܺ ൌ 0 ∴ െ156,25 ൅ ଵܺ. 41,67 ∴ ଵܺ ൌ 3,75	݇ܰ 
 
 
 
17 
 
Tabela I: Cargas virtuais utilizadas para calcular deslocamentos e rotações em 
vínculos eliminados de estruturas hiperestáticas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
Tabela II: Integração de diagramas de esforços 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
RAx
RBy RCyRAy
A B C
2 kN/m
[x0]
A B C
2 kN/m
X1=1 [kN]
[x1]
A B C
EXEMPLO II: 
 
 
 
 
 
Incognitas:  
RAx , RAy, RBy, RCy – (4) 
 
Número de Equações: 
Σܨݔ ൌ 0 ∴ 	Σܨݕ ൌ 0 ∴ 	Σܯ ൌ 0 – (3)  
 
Grau de Hiperestaticidade:  
ࢍ ൌ	݃௘ ൅ ݃௜ ൌ ሺݎ െ ݁ െ ݊௥ሻ ൅ 0 ൌ 4 െ 3 ൅ 0 ൌ ૚࢞	ࢎ࢏࢖ࢋ࢘ࢋ࢙࢚á࢚࢏ࢉࢇ 
 
Optaremos por liberar o vínculo RBy. 
Desta forma teremos: 
 
 
 
 
+ 
 
 
 
 
 
 
20 
 
RAx
RCyRAy
A C
2 kN/m
S1
+
_
+
[D.E.C.]
[D.M.F.]
-10 kN
+10 kN
+25 kN.m
 
1º Caso de Carregamento [ X0 ]: 
 
 
 
 
 
 
ܴ஺೤ ൌ ܴ஼೤ ൌ
ݍ. ܮ
2 ൌ
2	 ቂ݇ܰ݉ ቃ . 10	ሾ݉ሿ
2 ∴ ܴ஺೤ ൌ ܴ஻೤ ൌ 10	ሾ݇ܰሿ 
ܯ௠௔௫ ൌ ݍ. ܮ
ଶ
8 ൌ
2	 ቂ݇ܰ݉ ቃ . 10ଶ	ሾ݉ଶሿ
8 ൌ
200	ሾ݇ܰ.݉ሿ
8 ൌ 25	ሾ݇ܰ.݉ሿ 
 
Seção S1: 
Σܨݕ ൌ 0 ∴ ܸ െ 2ݔ ൅ 10 ൌ 0 ∴ ܸ ൌ 2ݔ െ 10 
ሺܸସሻ ൌ 2. ሺ4ሻ െ 10 ൌ െ2	ሾ݇ܰሿ 
ሺܸ଴ሻ ൌ 2. ሺ0ሻ െ 10 ൌ െ10	ሾ݇ܰሿ 
ሺܸଵ଴ሻ ൌ 2. ሺ10ሻ െ 10 ൌ 10	ሾ݇ܰሿ 
 
Σܯ ൌ 0 ∴ ܯ െ 10ݔ ൅ 2ݔ. ݔ2 ൌ 0 ∴ ܯ ൌ 10ݔ െ ݔ
ଶ 
ܯሺସሻ ൌ 10. ሺ4ሻ െ ሺ4ሻଶ ൌ 24	ሾ݇ܰ.݉ሿ 
ܯሺ଴ሻ ൌ 10. ሺ0ሻ െ ሺ0ሻଶ ൌ 0 
ܯሺଵ଴ሻ ൌ 10. ሺ10ሻ െ ሺ10ሻଶ ൌ 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
RAx
RAy
X1=1 kN
RCy
(a) (b)
X1=1 kN
(a) (b)
D.E.C. [kN]
D.M.F. [kN.m]
-0,4
+0,6
-2,4
2º Caso de Carregamento [ X0 ]: 
 
 
 
 
 
 
 
ܴ஺೤ ൌ
െܾ. ଵܺ
ܮ ൌ
െ4	ሾ݉ሿ. 1	ሾ݇ܰሿ
10 ∴ ܴ஺೤ ൌ െ0,40	ሾ݇ܰሿ 
ܴ஼೤ ൌ
െܽ. ଵܺ
ܮ ൌ
െ6	ሾ݉ሿ. 1	ሾ݇ܰሿ
10 ∴ ܴ஼೤ ൌ െ0,60	ሾ݇ܰሿ 
 
ܯ௠௔௫ ൌ െܲ. ܽ. ܾܮ ൌ
െ ଵܺ. ܽ. ܾ
ܮ ൌ
െ1	ሾ݇ܰሿ. 6ሾ݉ሿ. 4ሾ݉ሿ
10 ൌ െ2,4	ሾ݇ܰ.݉ሿ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
Pela tabela de integração de diagramas de esforços: 
 
ߜଵ଴ ൌ ܮ3 . ൫ܯ.ܯ൯. ቀ1 ൅
ݔ. ݕ
ܮଶ ቁ ൌ
10
3 . ሺ25. െ2,4ሻ. ൬1 ൅
6.4
ሺ10ሻଶ൰ ൌ െ248 
ߜଵଵ ൌ ܮ3 . ൫ܯ.ܯ൯ ൌ
10
3 . ሺെ2,4.െ2,4ሻ ൌ 19,20 
 
ߜଵ଴ ൅ ଵܺ. ߜଵଵ ൌ 0 ∴ െ248 ൅ ଵܺ. 19,20 ൌ 0 ∴ ଵܺ ൌ 12,92	ሾ݇ܰሿ 
 
Reações de Apoio: 
 
ܴ஺೤ ൌ ܴ஺௬೉బ ൅ ଵܺ. ܴ஺௬೉భ ∴ ܴ஺೤ ൌ 10 ൅ 12,92. ሺെ0,4ሻ ൌ 4,83	ሾ݇ܰሿ 
ܴ஻೤ ൌ ܴ஻௬೉బ ൅ ଵܺ. ܴ஻௬೉భ ∴ ܴ஻೤ ൌ 0 ൅ 12,92. ሺ1ሻ ൌ 12,92	ሾ݇ܰሿ 
ܴ஼೤ ൌ ܴ஼௬೉బ ൅ ଵܺ. ܴ஼௬೉భ ∴ ܴ஼೤ ൌ 10 ൅ 12,92. ሺെ0,6ሻ ൌ 2,25	ሾ݇ܰሿ 
 
Σܴ ൌ ሺ4,83 ൅ 12,92 ൅ 2,25ሻ ൌ 20	ሾ݇ܰሿ⇔ Σ	݀ܽݏ	ܿܽݎ݃ܽݏ ൌ 2 ൤݇ܰ݉ ൨ . 10ሾ݉ሿ
ൌ 20ሾ݇ܰሿ 
 
D.E.C.  
 
஺ܸ ൌ ஺ܸ೉బ ൅ ଵܺ. ஺ܸ೉భ ൌ 10ሾ݇ܰሿ ൅ 12,92ሾ݇ܰሿ. ሺെ0,40ሻ ൌ 4,83ሾ݇ܰሿ 
஻ܸ೐ೞ೜ ൌ ஻ܸ೉బ ൅ ଵܺ. ஻ܸ೉భ ൌ െ2ሾ݇ܰሿ ൅ 12,92ሾ݇ܰሿ. ሺെ0,40ሻ ൌ െ7,17ሾ݇ܰሿ 
஻ܸ೏೔ೝ ൌ ஻ܸ೉బ ൅ ଵܺ. ஻ܸ೉భ ൌ െ2ሾ݇ܰሿ ൅ 12,92ሾ݇ܰሿ. ሺ൅0,60ሻ ൌ 5,75ሾ݇ܰሿ 
஼ܸ ൌ ஼ܸ೉బ ൅ ଵܺ. ஼ܸ೉భ ൌ െ10ሾ݇ܰሿ ൅ 12,92ሾ݇ܰሿ. ሺ൅0,60ሻ ൌ െ2,25ሾ݇ܰሿ 
 
 
D.M.F.  
 
ܯ஺ ൌ ܯ஺೉బ ൅ ଵܺ.ܯ஺೉భ ൌ 0ሾ݇ܰ.݉ሿ ൅ 12,92ሾ݇ܰሿ. ሺ0ሻ ൌ 0,00ሾ݇ܰሿ 
ܯ஻ ൌ ܯ஻೉బ ൅ ଵܺ.ܯ஻೉భ ൌ 24ሾ݇ܰ.݉ሿ ൅ 12,92ሾ݇ܰሿ. െ2,40ሾ݉ሿ ൌ െ7,00ሾ݇ܰ.݉ሿ 
ܯ஼ ൌ 0,00ሾ݇ܰ.݉ሿ 
 
 
 
 
 
 
23 
 
RAy=4,83 kN
RBy=12,92 kN
RCy=2,25 kN
2 kN/m
A
B C
4,83 kN
5,75 kN
-7,17 kN
-2,25 kN
7,00 kN.m
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
A B C D
10 kN/m
A D
q=10 kN/m[X0]
A D
[X1]
X1=1 kN
A D
[X2]
X2=1 kN
EXEMPLO III: 
 
 
 
 
 
Incógnitas:  
RAx , RAy, RBy, RCy e RDy – (5) 
Número de Equações: 
Σܨݔ ൌ0 ∴ 	Σܨݕ ൌ 0 ∴ 	Σܯ ൌ 0 – (3)  
Grau de Hiperestaticidade:  
ࢍ ൌ	݃௘ ൅ ݃௜ ൌ ሺݎ െ ݁ െ ݊௥ሻ ൅ 0 ൌ 5 െ 3 ൅ 0 ൌ ૛࢞	ࢎ࢏࢖ࢋ࢘ࢋ࢙࢚á࢚࢏ࢉࢇ 
 
Neste exemplo liberaremos os vínculos RBy e RCy, assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
A B C D
q=10 kN/m
RAX
RAy RDy
[X0]
A B C D
q=10 kN/m
RAX
RAy=60kN RDy=60kN
D.E.C. [kN]
D.M.F. [kN.m]
-60kN
60kN
180kN
S1
1º Caso de Carregamento [ X0 ]: 
 
 
 
 
 
 
ܴ஺ೣ ൌ 0	ሾ݇ܰሿ 
 
ܴ஺೤ ൌ ܴ஽೤ ൌ
ݍ. ܮ
2 ൌ
10	 ቂ݇ܰ݉ ቃ . 12	ሾ݉ሿ
2 ∴ ܴ஺೤ ൌ ܴ஽೤ ൌ 60	ሾ݇ܰሿ 
 
ܯ௠௔௫ ൌ ݍ. ܮ
ଶ
8 ൌ
10	 ቂ݇ܰ݉ ቃ . 12ଶ	ሾ݉ଶሿ
8 ൌ
1440	ሾ݇ܰ.݉ሿ
8 ൌ 180	ሾ݇ܰ.݉ሿ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
q=10 kN/m
M
V
A D
RAX
RAy RDy
[X1]
X1=1 kN
Seção S1: 
 
 
 
 
 
Σܨݕ ൌ 0 ∴ ܸ െ 10ݔ ൅ 60 ൌ 0 ∴ ܸ ൌ 10ݔ െ 60 
ሺܸ଴ሻ ൌ 10. ሺ0ሻ െ 60 ൌ െ60	ሾ݇ܰሿ 
ሺܸଵଶሻ ൌ 10. ሺ12ሻ െ 60 ൌ ൅60	ሾ݇ܰሿ 
 
Σܯ ൌ 0 ∴ ܯ െ 60ݔ ൅ 10ݔ. ݔ2 ൌ 0 ∴ ܯ ൌ 60ݔ െ 5ݔ
ଶ 
ܯሺ଴ሻ ൌ 60. ሺ0ሻ െ 5. ሺ0ሻଶ ൌ 0	ሾ݇ܰ.݉ሿ 
ܯሺସሻ ൌ 60. ሺ4ሻ െ 5. ሺ4ሻଶ ൌ 160	ሾ݇ܰ.݉ሿ 
ܯሺ଻ሻ ൌ 60. ሺ7ሻ െ 5. ሺ7ሻଶ ൌ 175	ሾ݇ܰ.݉ሿ 
ܯሺଵଶሻ ൌ 60. ሺ12ሻ െ 5. ሺ12ሻଶ ൌ 0	ሾ݇ܰ.݉ሿ 
 
2º Caso de Carregamento [ X1 ]: 
 
 
 
 
 
 
ܴ஺ೣ ൌ 0	ሾ݇ܰሿ 
 
ܴ஺೤ ൌ
െܲ. ܾ
ܮ ൌ
െ1,00ሾ݇ܰሿ.8,00	ሾ݉ሿ
12	ሾ݉ሿ ∴ ܴ஺೤ ൌ െ0,667	ሾ݇ܰሿ 
 
ܴ஽೤ ൌ
െܲ. ܽ
ܮ ൌ
െ1,00ሾ݇ܰሿ.4,00	ሾ݉ሿ
12	ሾ݉ሿ ∴ ܴ஺೤ ൌ െ0,333	ሾ݇ܰሿ 
 
ܯ௠௔௫ ൌ െܲ. ܽ. ܾܮ ൌ
െ1,00. 8,00.4,00
12 ൌ
െ32	ሾ݇ܰ.݉²ሿ
12	ሾ݉ሿ ൌ െ2,667	ሾ݇ܰ.݉ሿ 
 
 
 
27 
 
D.E.C. [kN]
D.M.F. [kN.m]
0,333
-0,667
A D
RAy=-0,667 RDy=-0,333
[X1]
X1=1 kN
-2,667
A D
RAX
RAy RDy
[X2]
X2=1 kN
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3º Caso de Carregamento [ X2 ]: 
 
 
 
 
 
 
 
ܴ஺ೣ ൌ 0	ሾ݇ܰሿ 
 
ܴ஺೤ ൌ
െܲ. ܾ
ܮ ൌ
െ1,00ሾ݇ܰሿ.5,00	ሾ݉ሿ
12	ሾ݉ሿ ∴ ܴ஺೤ ൌ െ0,417	ሾ݇ܰሿ 
 
ܴ஽೤ ൌ
െܲ. ܽ
ܮ ൌ
െ1,00ሾ݇ܰሿ.7,00	ሾ݉ሿ
12	ሾ݉ሿ ∴ ܴ஺೤ ൌ െ0,583	ሾ݇ܰሿ 
 
ܯ௠௔௫ ൌ െܲ. ܽ. ܾܮ ൌ
െ1,00. 7,00.5,00
12 ൌ
െ35	ሾ݇ܰ.݉²ሿ
12	ሾ݉ሿ ൌ െ2,917	ሾ݇ܰ.݉ሿ 
 
 
28 
 
D.E.C. [kN]
D.M.F. [kN.m]
0,583
-0,417
A D
RAy=-0,417 RDy=-0,583
[X2]
X2=1 kN
-2,917
-2,667
180kN
-2,667-2,667
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela tabela de integração de diagramas de esforços: 
 
 
 
 
 
 
ߜଵ଴ ൌ ܮ3 . ൫ܯ.ܯ൯. ቀ1 ൅
ݔ. ݕ
ܮଶ ቁ ൌ
12
3 . ሺ180.െ2,667ሻ. ൬1 ൅
4.8
ሺ12ሻଶ൰ ൌ െ2.346,96 
 
 
 
 
 
 
ߜଵଵ ൌ ܮ6 . ൫ܯ.ܯ൯. ቈ2 െ
ሺݔ െ ݔଵሻଶ
ݔଵ. ݕ ቉ ൌ
12
6 . ሺെ2,667.െ2,667ሻ. ሾ2 െ 0ሿ ൌ 28,45 
 
 
29 
 
180kN
-2,917
-2,917-2,917
-2,667
-2,917
-2,667
-1,667
-2,667
-1,667
M
1
M
2
M
3 M
4
-2,917
-1,667 -1,667
-2,917
 
 
 
 
 
 
ߜଶ଴ ൌ ܮ3 . ൫ܯ.ܯ൯. ቂ1 ൅
ݔ. ݕ
ܮ² ቃ ൌ
12
3 . ሺ൅180.െ2,667ሻ. ൤1 ൅
7.5
12ଶ൨ ൌ െ2.610,72 
 
 
 
 
 
 
ߜଶଶ ൌ ܮ3 . ൫ܯ.ܯ൯ ൌ
12
3 . ሺെ2,917.െ2,917ሻ ൌ 34,03 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(δ12)1        (δ12)2          (δ12)3 
 
 
 
 
 
30 
 
ߜଵଶ ൌ ߜଶଵ ൌ ሺߜଵଶሻଵ ൅ ሺߜଵଶሻଶ ൅ ሺߜଵଶሻଷ
ൌ ܮ3 . ሺܯ.ܯഥሻ ൅
ܮ
6 ሾܯଵሺ2.ܯଷ ൅ܯସሻ ൅ ܯଶ. ሺܯଷ ൅ 2.ܯସሻሿ
൅ ܮ3 ሺܯ.ܯഥሻ
ൌ 43 ሺെ2,667.െ1,667ሻ
൅ 36 ሾെ2,667. ሺ2. െ1,667 െ 2,917ሻ
െ 1,667. ሺെ1,667 ൅ 2.െ2,917ሻሿ ൅ 53 ሺെ1,667.െ2,917ሻ
ൌ 5,928 ൅ 14,588 ൅ 8,104 ൌ 28,62 
 
൜ߜଵ଴ ൅ ଵܺ. ߜଵଵ ൅ ܺଶ. ߜଵଶ ൌ 0ߜଶ଴ ൅ ଵܺ. ߜଶଵ ൅ ܺଶ. ߜଶଶ ൌ 0 
 
൜െ2.346,96 ൅ ଵܺ. 28,45 ൅ ܺଶ. 28,62 ൌ 0െ2.610,72 ൅ ଵܺ. 28,62 ൅ ܺଶ. 34,03 ൌ 0 
 
Desta  forma  obtêm‐se  um  sistema  de  equações  de  simples  resolução  (2 
equações e 2 incógnitas). 
 
Resolvendo‐se o sistema obtemos:    
ଵܺ ൌ 34,54	݇ܰ 
ܺଶ ൌ 47,67	݇ܰ 
 
Cálculo das Reações de Apoio: 
 
ܴ ൌ ܴ௑଴ ൅ ଵܺ. ܴ௑ଵ ൅ ܺଶ. ܴ௑ଶ 
ܴ஺೤ ൌ 60 ൅ 34,54. ሺെ0,667ሻ ൅ 47,67. ሺെ0,417ሻ ൌ 17,08	ሾ݇ܰሿ 
ܴ஻೤ ൌ ଵܺ ൌ 34,56	ሾ݇ܰሿ 
ܴ஼೤ ൌ ܺଶ ൌ 47,67	ሾ݇ܰሿ 
 
ܴ஽೤ ൌ 60	 ൅ 34,54. ሺെ0,333ሻ ൅ 47,67. ሺെ0,583ሻ ൌ 20,71	ሾ݇ܰሿ 
 
 
 
 
 
 
31 
 
VX0 [kN]
-60kN
60kN
0,333
-0,667
0,583
-0,417
VX1 [kN]
VX2 [kN]
D.E.C. [kN]
17,08
11,38
29,29
-18,38 -20,71
Cálculo do Esforço Cortante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D.E.C.  
 
ܸ ൌ ௑ܸ଴ ൅ ଵܺ. ௑ܸଵ ൅ ܺଶ. ௑ܸଶ 
 
஺ܸ ൌ 60 ൅ 34,54. ሺെ0,667ሻ ൅ 47,67. ሺെ0,417ሻ ൌ ൅17,08ሾ݇ܰሿ 
஻ܸ೐ೞ೜ ൌ 20 ൅ 34,54. ሺെ0,667ሻ ൅ 47,67. ሺെ0,417ሻ ൌ െ22,92ሾ݇ܰሿ 
஻ܸ೏೔ೝ ൌ 20 ൅ 34,54. ሺ0,333ሻ ൅ 47,67. ሺെ0,417ሻ ൌ ൅11,38ሾ݇ܰሿ 
஼ܸ೐ೞ೜ ൌ െ10 ൅ 34,54. ሺ0,333ሻ ൅ 47,67. ሺെ0,417ሻ ൌ െ18,38ሾ݇ܰሿ 
஼ܸ೏೔ೝ ൌ െ10 ൅ 34,54. ሺ0,333ሻ ൅ 47,67. ሺ0,583ሻ ൌ ൅29,29ሾ݇ܰሿ 
஽ܸ ൌ െ60 ൅ 34,54. ሺ0,333ሻ ൅ 47,67. ሺ0,583ሻ ൌ െ20,71ሾ݇ܰሿ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
180kN-2,667
-2,917
16
0k
N
17
5k
N
-1,667
-1,667
MX0 [kN.m]
MX1 [kN.m]
MX2 [kN.m]
D.M.F. [kN.m]
M1
M2
-11,58
M3
Cálculo do Momento Fletor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D.M.F.  
 
ܯ ൌ ܯ௑଴ ൅ ଵܺ.ܯ௑ଵ ൅ ܺଶ.ܯ௑ଶ 
 
ܯ஺ ൌ ܯ஽ ൌ 0,00ሾ݇ܰሿ 
ܯ஻ ൌ 160 ൅ 34,54. ሺെ2,667ሻ ൅ 47,67. ሺെ1,667ሻ ൌ െ11,58ሾ݇ܰ.݉ሿ 
ܯ஼ ൌ 175 ൅ 34,54. ሺെ1,667ሻ ൅ 47,67. ሺെ2,917ሻ ൌ െ21,63ሾ݇ܰ.݉ሿ 
ܯଵ ൌ 17,08 ൅ 1,712 ൌ ൅14,62ሾ݇ܰ.݉ሿ 
ܯଶ ൌ െ11,58 ൅ 11,38. 1,1382 ൌ െ5,10ሾ݇ܰ.݉ሿ 
ܯଷ ൌ െ21,63 ൅ 29,29. 2,9292 ൌ ൅21,26ሾ݇ܰ.݉ሿ 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
A B C D
10 kN/m
X1=1 kN.m X2=1 kN.m
A B
X1
C
10 kN/m
X1
10 kN/m
C D
10 kN/m
B
A B
X1
C
X1
C DB
A B C C DB
X2 X2
[X0]
[X1]
[X2]
1 kN/m
R=q.L
 2
R=q.L
 2
R=-P
 L
R=P
 L
1 kN/m
R=-P
 L
R=P
 L
D.M.F. [kN.m]
D.E.C. [kN]
-q.L
 2
q.L
 2
-1
 L
1
L
q.L²
 8
-1 -1
EXEMPLO IV: 
 
Outra maneira de resolver o anterior é liberando a continuidade da estrutura e 
impondo momentos de engastamento unitário, conforme apresentado a seguir: 
 
 
 
 
Desta forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabe‐se que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
A B
X1
C
10 kN/m
X1
10 kN/m
C D
10 kN/m
B
[X0]
+20
-20
+15
-15
+25
-25
+20
+11,25
+31,25
1º Caso de Carregamento [ X0 ]: 
 
ܴ஺೤ ൌ ܴ஻೤ ൌ
ݍ. ܮ
2 ൌ
10	 ቂ݇ܰ݉ ቃ . 4	ሾ݉ሿ
2 ∴ ܴ஺೤ ൌ ܴ஻೤ ൌ 20	ሾ݇ܰሿ 
ܯ ൌ ݍ. ܮ
ଶ
8 ൌ
10	 ቂ݇ܰ݉ ቃ . 4ଶ	ሾ݉ଶሿ
8 ൌ 20	ሾ݇ܰ.݉ሿ 
ܴ஻೤ ൌ ܴ஼೤ ൌ
ݍ. ܮ
2 ൌ
10	 ቂ݇ܰ݉ ቃ . 3	ሾ݉ሿ
2 ∴ ܴ஻೤ ൌ ܴ஼೤ ൌ 15	ሾ݇ܰሿ 
ܯ ൌ ݍ. ܮ
ଶ
8 ൌ
10	 ቂ݇ܰ݉ ቃ . 3ଶ	ሾ݉ଶሿ
8 ൌ 11,25	ሾ݇ܰ.݉ሿ 
ܴ஼೤ ൌ ܴ஽೤ ൌ
ݍ. ܮ
2 ൌ
10	 ቂ݇ܰ݉ ቃ . 5	ሾ݉ሿ
2 ∴ ܴ஼೤ ൌ ܴ஽೤ ൌ 25	ሾ݇ܰሿ 
ܯ ൌ ݍ. ܮ
ଶ
8 ൌ
10	 ቂ݇ܰ݉ ቃ . 5ଶ	ሾ݉ଶሿ
8 ൌ 31,25	ሾ݇ܰ.݉ሿ 
 
 
 
 
	
	
	
	
	
2º Caso de Carregamento [ X1 ]: 
 
ܴ஺೤ ൌ
െ1
ܮ ൌ
െ1	
4 ൌ െ0,25	ሾ݇ܰሿ ∴ ܴ஻೤೐ೞ೜ ൌ
1
ܮ ൌ 0,25	ሾ݇ܰሿ 
ܴ஻೤೏೔ೝ ൌ
1
ܮ ൌ
1	
3 ൌ 0,33	ሾ݇ܰሿ ∴ ܴ஼೤೐ೞ೜ ൌ െ
1
ܮ ൌ െ0,33	ሾ݇ܰሿ 
ܴ஼೤ ൌ ܴ஽೤ ൌ 0,00	ሾ݇ܰሿ 
 
 
35 
 
A B
X1
C
X1
C DB
[X1]
-0,25
-0,33
-1 -1
A B C CB
X2 X2[X2]
-0,33
0,20
-1 -1
-1+20
+11,25
+31,25
-1
 
 
 
	
	
	
	
3º Caso de Carregamento [ X2 ]: 
 
ܴ஺೤ ൌ ܴ஻೤೐ೞ೜ ൌ 0,00	ሾ݇ܰሿ 
ܴ஻೤೏೔ೝ ൌ
െ1
ܮ ൌ
െ1
3 ൌ െ0,33	ሾ݇ܰሿ ∴ ܴ஼೤೐ೞ೜ ൌ
1
ܮ ൌ
1
3 ൌ 0,33	ሾ݇ܰሿ 
ܴ஼೤೏೔ೝ ൌ
1
ܮ ൌ
൅1	
5 ൌ 0,20	ሾ݇ܰሿ ∴ ܴ஽೤ ൌ െ
1
ܮ ൌ െ
1
ܮ ൌ െ0,20	ሾ݇ܰሿ 
	
	
	
	
	
	
	
Cálculo do : 
 
10: 
 
	
	
ߜଵ଴ ൌ ܮ3ܯܯഥ ൅
ܮ
3ܯܯഥ ൅ 0 ൌ
4
3 . 20. െ1 ൅
3
3 . 11,25.െ1 ൅ 0 ൌ െ37,92	
 
36 
 
-1 -1
-1 -1
+20
+11,25
+31,25-1 -1
-1 -1
-1 -1
-1 -1
-1 -1
20: 
 
 
	
	
ߜଶ଴ ൌ 0 ൅ ܮ3ܯܯഥ ൅
ܮ
3ܯܯഥ ൌ
3
3 . 11,25.െ1 ൅
5
3 . 31,25.െ1 ൌ െ63,33	
	
11: 
	
	
	
ߜଵଵ ൌ ܮ3ܯܯഥ ൅
ܮ
3ܯܯഥ ൅ 0 ൌ
4
3 .െ1.െ1 ൅
3
3 .െ1.െ1 ൌ 2,33	
 
22: 
 
 
 
 
 
ߜଶଶ ൌ 0 ൅ ܮ3ܯܯഥ ൅
ܮ
3ܯܯഥ ൌ
3
3 .െ1.െ1 ൅
5
3 .െ1.െ1 ൌ 2,67	
 
 
21=12: 
 
 
 
 
ߜଶଵ ൌ ߜଵଶ ൌ 0 ൅ ܮ6ܯܯഥ ൅ 0 ൌ
3
6 .െ1.െ1 ൌ 0,50	
 
 
37 
 
Compatibilização das Rotações: 
 
൜ߜଵ଴ ൅ ଵܺ. ߜଵଵ ൅ ܺଶ. ߜଵଶ ൌ 0ߜଶ଴ ൅ ଵܺ. ߜଶଵ ൅ ܺଶ. ߜଶଶ ൌ 0 
 
൜െ37,92 ൅ ଵܺ. 2,33 ൅ ܺଶ. 0,50 ൌ 0െ63,33 ൅ ଵܺ. 0,50 ൅ ܺଶ. 2,67 ൌ 0 
 
Novamente um sistema de fácil resolução, que resultaem: 
 
ଵܺ ൌ 11,63	݇ܰ.݉ 
ܺଶ ൌ 21,57	݇ܰ 
 
Observa‐se que ao invés de obtermos os valores das reações de apoio, neste 
caso, obtemos os valores dos momentos fletores nos apoios. 
 
Fazendo‐se o mesmo procedimento do Exemplo III têm‐se os esforços e as 
reações de apoio. 
 
ܴ ൌ ܴ௑଴ ൅ ଵܺ. ܴ௑ଵ ൅ ܺଶ. ܴ௑ଶ 
ܸ ൌ ௑ܸ଴ ൅ ଵܺ. ௑ܸଵ ൅ ܺଶ. ௑ܸଶ 
ܯ ൌ ܯ௑଴ ൅ ଵܺ.ܯ௑ଵ ൅ ܺଶ.ܯ௑ଶ 
 
E, desta forma, obtendo‐se os diagramas de esforços cortantes e de momento 
fletores do exemplo anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
A B C D
10 kN/m
E
10 kN/m
20 kN/m
1 kN/m
R=q.L
 2
R=q.L
 2
R=P
 L
R=-P
 L
1 kN/m
R=P
 L
R=-P
 L
D.M.F. [kN.m]
D.E.C. [kN]
-q.L
 2
q.L
 2
1
L
-1
 L
q.L²
 8
1 1
A B C
10 kN/m10 kN/m
D E
10 kN/m
B
A B
X1
C
X1
D EB
[X0]
D
10 kN/m
C
D
X2
C
X2 X3 X3
A B C
10 kN/m10 kN/m
D E
10 kN/m
B
[X0]
D
20 kN/m
C
RAy=20 kN RBy=20 kN RCy=20 kNRBy=20 kN RCy=30 kN RDy=30 kN RDy=25 kN REy=25 kN
20 20
30 25
-20 -20
-30 -25
20 20 22,5
31,25Mmax=q.L² =10.4²=20 kN.m
 2 2
Mmax=q.L² =10.4²=20 kN.m
 2 2
Mmax=q.L² =20.3²=22,5 kN.m
 2 2 Mmax=q.L² =10.5²=31,25 kN.m
 2 2
EXEMPLO V: 
 
 
 
Dados os diagramas:              g = 3 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
1º Caso de Carregamento [ X0 ]: 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
A B
X1
C
X1
D EB
[X1]
DC
1/4 -1/4
1/4
-1/4 1/4
-1/4
1 1
A B C D EB
X2
[X2]
DC
1/4 -1/4 -1/3 1/3
X2
1/4
-1/3
1 1
A B C D EB
X2
[X3]
DC
1/4 -1/4 -1/3 1/3
X2
-1/5
1/3
1 1
2º Caso de Carregamento [ X1 ]: 
 
 
 
 
 
 
 
 
3º Caso de Carregamento [ X2 ]: 
 
 
 
 
 
 
 
 
4º Caso de Carregamento [ X3 ]: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
1 1
20 20 22,5
31,25

1 1

1 1
1 1

1 1
1 1

1 1
Cálculo de : 
 
 
 
 
 
ߜଵ଴ ൌ ܮ3ܯܯഥ ൅
ܮ
3ܯܯഥ ൅ 0 ൅ 0 ൌ
4
3 . 20.1 ൅
4
3 . 20.1 ൅ 0 ൅ 0 ൌ 53,33	
	
 
 
 
 
 
ߜଵଵ ൌ ܮ3ܯܯഥ ൅
ܮ
3ܯܯഥ ൅ 0 ൅ 0 ൌ
4
3 . 1.1 ൅
4
3 . 1.1 ൅ 0 ൅ 0 ൌ 2,67	
	
 
 
 
 
 
 
ߜଵଶ ൌ 0 ൅ ܮ6ܯܯഥ ൅ 0 ൅ 0 ൌ
4
3 . 1.1 ൅ 0 ൅ 0 ൅ 0 ൌ 0,67	
	
 
 
 
 
 
ߜଵଷ ൌ 0 ൅ 0 ൅ 0 ൅ 0 ൌ 0,00 
 
 
41 
 
1 1
20 20 22,5
31,25


1 1
1 1

1 1

1 1


 
 
 
 
ߜଵଶ ൌ 0 ൅ ܮ3ܯܯഥ ൅
ܮ
3ܯܯഥ ൅ 0 ൌ 0 ൅
4
3 . 20.1 ൅
3
3 . 22,5.1 ൅ 0 ൌ 49,17	
	
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ߜଶଶ ൌ 0 ൅ ܮ3ܯܯഥ ൅
ܮ
3ܯܯഥ ൅ 0 ൌ 0 ൅
4
3 . 1.1 ൅
3
3 . 1.1 ൅ 0 ൌ 2,33	
	
 
 
 
 
 
ߜଶଷ ൌ 0 ൅ 0 ൅ ܮ6ܯܯഥ ൅ 0 ൌ 0 ൅ 0 ൅
3
6 . 1.1 ൅ 0 ൌ 0,50	
	
 
 
 
 
 
 
 
42 
 

1 1
1 1

1 1
20 20 22,5
31,25
 
 
 
 
ߜଷଷ ൌ 0 ൅ 0 ൅ ܮ3ܯܯഥ ൅
ܮ
3ܯܯഥ ൌ 0 ൅ 0 ൅
3
3 . 1.1 ൅
5
3 . 1.1 ൌ 2,67	
	
 
 
 
 
 
 
ߜଷ଴ ൌ 0 ൅ 0 ൅ ܮ3ܯܯഥ ൅
ܮ
3ܯܯഥ ൌ 0 ൅ 0 ൅
3
3 . 1.22,5 ൅
5
3 . 1.31,25 ൌ 74,58	
	
 
Resolução do Sistema:  
 
൝
ߜଵ଴ ൅ ଵܺ. ߜଵଵ ൅ ܺଶ. ߜଵଶ ൅ ܺଷ. ߜଵଷ ൌ 0
ߜଶ଴ ൅ ଵܺ. ߜଶଵ ൅ ܺଶ. ߜଶଶ ൅ ܺଷ. ߜଶଷ ൌ 0
ߜଷ଴ ൅ ଵܺ. ߜଷଵ ൅ ܺଶ. ߜଷଶ൅ܺଷ. ߜଷଷ ൌ 0
 
 
൝
53,33 ൅ ଵܺ. 2,67 ൅ ܺଶ. 0,67 ൅ ܺଷ. 0,00 ൌ 0
49,17 ൅ ଵܺ. 0,67 ൅ ܺଶ. 2,33 ൅ ܺଷ. 0,50 ൌ 0
74,58 ൅ ଵܺ. 0,00 ൅ ܺଶ. 0,50൅ܺଷ. 2,67 ൌ 0
 
 
Substituindo temos: 
ଵܺ ൌ െ0,67. ܺଶ െ 53,332,67 ൌ െ0,251. ܺଶ െ 19,97 
ܺଷ ൌ െ0,50. ܺଶ െ 74,582,67 ൌ െ0,187. ܺଶ െ 27,93 
 
49,17 ൅ ሺെ0,251. ܺଶ െ 19,97ሻ. 0,67 ൅ 2,33. ܺଶ ൅ ሺെ0,187. ܺଶ െ 27,93ሻ. 0,50 ൌ 0 
ܺଶ ൌ െ21,8252,0685 ൌ െ10,55	݇ܰ.݉ 
 
43 
 
A B
X1
C
X1
D EB
[X1]
DC
1/4 -1/4 -1/4 1/4
A B C
10 kN/m10 kN/m
D E
10 kN/m
B
[X0]
D
20 kN/m
C
RAy=20 kN RBy=20 kN RCy=20 kNRBy=20 kN RCy=30 kN RDy=30 kN RDy=25 kN REy=25 kN
A B C D EB
X2
[X2]
DC
1/4 -1/4 -1/3 1/3
X2
A B C D EB
X2
[X3]
DC
1/4 -1/4 -1/3 1/3
X2
 
Da mesma forma determinamos: 
 
ଵܺ ൌ െ17,33	݇ܰ.݉ 
ܺଶ ൌ െ25,96	݇ܰ.݉ 
 
Cálculo das Reações de Apoio:  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ܴ ൌ ܴ௑଴ ൅ ଵܺ. ܴ௑ଵ ൅ ܺଶ. ܴ௑ଶ ൅ ܺଷ. ܴ௑ଷ 
ܴ ൌ ܴ௑଴ െ 17,33. ܴ௑ଵ െ 10,55. ܴ௑ଶ െ 25,96. ܴ௑ଷ 
 
ܴ஺௬ ൌ 20 െ 17,33. 14 െ 10,55.0 െ 25,96.0 ൌ 15,67	݇ܰ 
ܴ஻௬ ൌ ሺ20 ൅ 20ሻ െ 17,33. ൬െ	14 െ
1
4൰ െ 10,55.
1
4 െ 25,96. ሺ0ሻ ൌ 46,03	݇ܰ 
ܴ஼௬ ൌ ሺ20 ൅ 30ሻ െ 17,33. 14 െ 10,55. ൬െ
1
4 െ
1
3൰ െ 25,96.
1
3 ൌ 43,17	݇ܰ 
ܴ஽௬ ൌ ሺ30 ൅ 25ሻ െ 17,33. ሺ0ሻ െ 10,55. ൬13൰ െ 25,96. ሺെ
1
3 െ
1
5ሻ ൌ 65,33	݇ܰ 
ܴா௬ ൌ 25 െ 17,33. ሺ0ሻ െ 10,55. ሺ0ሻ െ 25,96. 153 ൌ 19,81	݇ܰ 
 
 
 
 
44 
 
20 20 25
-20 -20 -25
-30
1/4
-1/4
1/4
-1/3
-1/5
1/3
15,68
21,70
24,86
30,19
-24,33
-18,30
-35,14
-19,81
D.E.C. [kN]
Cálculo dos Esforços Cortantes:  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ܸ ൌ ௑ܸ଴ ൅ ଵܺ. ௑ܸଵ ൅ ܺଶ. ௑ܸଶ ൅ ܺଷ. ௑ܸଷ 
ܸ ൌ ௑ܸ଴ െ 17,33. ௑ܸଵ െ 10,55. ௑ܸଶ െ 25,96. ௑ܸଷ 
 
Ponto A:    ܸ ൌ 20 െ 17,33. ቀଵସቁ െ 10,55. ሺ0ሻ െ 25,96. ሺ0ሻ ൌ ൅15,67	݇ܰ 
Ponto Besq:   ܸ ൌ െ20 െ 17,33. ቀଵସቁ െ 10,55. ሺ0ሻ െ 25,96. ሺ0ሻ ൌ െ24,33	݇ܰ 
Ponto Bdir:   ܸ ൌ 20 െ 17,33. ቀെ ଵସቁ െ 10,55. ቀ
ଵ
ସቁ െ 25,96. ሺ0ሻ ൌ ൅21,70	݇ܰ 
Ponto Cesq:  ܸ ൌ െ20 െ 17,33. ቀെ ଵସቁ െ 10,55. ቀ
ଵ
ସቁ െ 25,96. ሺ0ሻ ൌ െ18,30	݇ܰ 
Ponto Cdir:  ܸ ൌ 30 െ 17,33. ሺ0ሻ െ 10,55. ቀଵଷቁ െ 25,96. ቀ
ଵ
ଷቁ ൌ ൅24,86	݇ܰ 
Ponto Desq:  ܸ ൌ െ30 െ 17,33. ሺ0ሻ െ 10,55. ቀଵଷቁ െ 25,96. ቀ
ଵ
ଷቁ ൌ െ35,14	݇ܰ 
Ponto Ddir:  ܸ ൌ 25 െ 17,33. ሺ0ሻ െ 10,55. ሺ0ሻ െ 25,96. ቀെ ଵହቁ ൌ ൅30,19	݇ܰ 
Ponto E:  ܸ ൌ െ25 െ 17,33. ሺ0ሻ െ 10,55. ሺ0ሻ െ 25,96. ቀെ ଵହቁ ൌ െ19,81	݇ܰ 
 
 
	
	
	
 
 
 
45 
 
20 20 22,5
31,25
1 1
1 1
1 1
-17,33
-10,55
-25,96
11,34
6,06 4,24
18,27
D.M.F. [kN.m]
Cálculo dos Momentos Fletores:  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ܯ ൌ ܯ௑଴ ൅ ଵܺ.ܯ௑ଵ ൅ ܺଶ.ܯ௑ଶ ൅ ܺଷ.ܯ௑ଷ 
ܯ ൌ ܯ௑଴ െ 17,33.ܯ௑ଵ െ 10,55.ܯ௑ଶ െ 25,96.ܯ௑ଷ 
 
ܯ௩ã௢	ଵ ൌ 20 െ 17,33. ൬12൰ െ 10,55. ሺ0ሻ െ 25,96. ሺ0ሻ ൌ ൅11,34	݇ܰ.݉ 
ܯ௩ã௢	ଶ ൌ 20 െ 17,33. ൬12൰ െ 10,55. ൬
1
2൰ െ 25,96. ሺ0ሻ ൌ ൅6,06	݇ܰ.݉ 
ܯ௩ã௢	ଷ ൌ 22,5 െ 17,33. ሺ0ሻ െ 10,55. ൬12൰ െ 25,96. ൬
1
2൰ ൌ ൅4,24	݇ܰ.݉ 
ܯ௩ã௢	ସ ൌ 31,25 െ 17,33. ሺ0ሻ െ 10,55. ሺ0ሻ െ 25,96. ൬12൰ ൌ ൅18,27	݇ܰ 
 
 
 
	
	
	
 
	
	
 
 
 
46 
 
20 kN/m
A
C
B
D
20 kN/m
X1=1
X2=1
A
C
B
D
EXEMPLO VI: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Grau de Hiperestaticidade: g = 2 (2x hiperestática) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Liberaremos os vínculos do apoio de segunda ordem 
 
 
47 
 
20 kN/m
A
C
B
D
RAx
RAy
MA
s3 s1
s2
[X0]
V
N M
1º Caso de Carregamento [ X0 ]: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo das Reações de Apoio: 
Σܨݔ ൌ 0 ∴ ܴ஺௫ ൌ 0 
Σܨݕ ൌ 0 ∴ ܴ஺௬ െ 20.6 ∴ ܴ஺௬ ൌ 120	݇ܰ 
Σܯ ൌ 0 ∴ ܯ஺ െ 20.6. 62 ൌ 0 ∴ ܯ஺ ൌ 360	݇ܰ.݉ 
 
Seção S1: 
        	
Σܨݔ ൌ 0 ∴ ܸ ൌ 0 
Σܨݕ ൌ 0 ∴ ܰ ൌ 0 
Σܯ ൌ 0 ∴ ܯ ൌ 0	 
 
 
 
 
 
48 
 
V
N M
V
N
M
RAx=0
RAy=120 kN
MA=360 kN.m
 -120 kN
120 kN
[D.E.N.] [D.E.C.]
 -360 kN
[D.M.F.]
 -360 kN
Seção S2: 
        	
             
            Σܨݔ ൌ 0 ∴ ܰ ൌ 0 
            Σܨݕ ൌ 0 ∴ ܸ െ 20. ݔ ൌ 0 ∴ ܸ ൌ 20. ݔ 
            xൌ 0 ∴ ܸ ൌ 0 
xൌ 6 ∴ ܸ ൌ 120	݇ܰ 
            Σܯ ൌ 0 ∴ ܯ ൅ 20. ݔ. ௫ଶ ൌ 0 ∴ ܯ ൌ
െ10. ݔ²	 
xൌ 0 ∴ ܯ ൌ 0 
xൌ 6 ∴ ܯ ൌ െ360	݇ܰ.݉ 
Seção S3: 
 
          Σܨݔ ൌ 0 ∴ ܸ ൌ 0 
          Σܨݕ ൌ 0 ∴ ܰ ൅ 120 ൌ 0 ∴ ܰ ൌ െ120	݇ܰ 
          Σܯ ൌ 0 ∴ ܯ ൅ 360 ൌ 0 ∴ ܯ ൌ െ360	݇ܰ.݉	 
 
 
Diagrama de Esforços [X0]: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
A
C
B
D
RAx
RAy
MA
s3 s1
s2
X1=1
[X1]
V
N M
X1=1
2º Caso de Carregamento [ X1 ]: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo das Reações de Apoio: 
 
Σܨݔ ൌ 0 ∴ ܴ஺௫ ൅ 1 ൌ 0 ∴ ܴ஺௫ ൌ െ1	݇ܰ 
Σܨݕ ൌ 0 ∴ ܴ஺௬ ൅ 0 ∴ ܴ஺௬ ൌ 0 
Σܯ ൌ0 ∴ ܯ஺ ൌ 0 
 
Seção S1: 
  Σܨݔ ൌ 0 ∴ ܸ ൅ 1 ൌ 0 ∴ ܸ ൌ െ1	݇ܰ 
    Σܨݕ ൌ 0 ∴ ܰ ൌ 0 
            Σܯ ൌ 0 ∴ ܯ െ 1. ݔ ൌ 0 ∴ ܯ ൌ ݔ	 
xൌ 0 ∴ ܯ ൌ 0 
xൌ 3 ∴ ܯ ൌ 3	݇ܰ.݉ 
 
 
 
 
 
 
50 
 
V
N M
X1=1
V
N
M
RAx=-1
RAy=0 kN
MA=0 kN.m
 -120 kN
[D.E.N.] [D.E.C.]
1 kN
1 kN -1 kN
 -360 kN
[D.M.F.]
3 kN.m 3 kN.m
3 kN.m
Seção S2: 
        	
             
            Σܨݔ ൌ 0 ∴ െܰ ൅ 1 ൌ 0 ∴ ܰ ൌ 1	݇ܰ 
            Σܨݕ ൌ 0 ∴ ܸ ൌ 0 
            Σܯ ൌ 0 ∴ ܯ െ 1.3 ൌ 0 ∴ ܯ ൌ
3	݇ܰ.݉	 
 
 
Seção S3: 
 
            Σܨݔ ൌ 0 ∴ ܸ െ 1 ൌ 0 ∴ ܸ ൌ 1	݇ܰ 
            Σܨݕ ൌ 0 ∴ ܰ ൅ 0 ൌ 0 ∴ ܰ ൌ 0 
            Σܯ ൌ 0 ∴ ܯ െ 1. ݔ ൌ 0 ∴ ܯ ൌ ݔ 
xൌ 0 ∴ ܯ ൌ 0 
xൌ 3 ∴ ܯ ൌ 3	݇ܰ.݉ 
 
Diagrama de Esforços [X1]: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
A
C
B
D
RAx
RAy
MA
s3 s1
s2
X2=1
[X2]
V
N M
X 2=1
3º Caso de Carregamento [ X2 ]: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo das Reações de Apoio: 
 
Σܨݔ ൌ 0 ∴ ܴ஺௫ ൌ 0 
Σܨݕ ൌ 0 ∴ ܴ஺௬ ൅ 1 ∴ ܴ஺௬ ൌ െ1	݇ܰ 
Σܯ ൌ 0 ∴ െܯ஺ െ 1.6 ൌ െ6	݇ܰ.݉ 
 
Seção S1: 
  Σܨݔ ൌ 0 ∴ ܸ ൌ 0 
    Σܨݕ ൌ 0 ∴ ܰ ൅ 1 ൌ 0 ∴ ܰ ൌ െ1	݇ܰ 
            Σܯ ൌ 0 ∴ ܯ ൌ 0	 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
V
N M
X2=1
V
N
M
RAx=0
RAy=-1 kN
MA=-6 kN.m
 -120 kN
[D.E.N.] [D.E.C.]
1 kN
1 kN -1 kN
 6 kN.m
[D.M.F.]
6 kN.m
Seção S2: 
        	
             
            Σܨݔ ൌ 0 ∴ െܰ ൅ 0 ൌ 0 ∴ ܰ ൌ 0  
              Σܨݕ ൌ 0 ∴ ܸ ൅ 1 ൌ 0 ∴ ܸ ൌ
െ1	݇ܰ 
            Σܯ ൌ 0 ∴ ܯ ൌ 0 
 
 
Seção S3: 
 
            Σܨݔ ൌ 0 ∴ ܸ ൌ 0 
            Σܨݕ ൌ 0 ∴ ܰ െ 1 ൌ 0 ∴ ܰ ൌ 1	݇ܰ 
            Σܯ ൌ 0 ∴ ܯ െ 6 ൌ 0 ∴ ܯ ൌ 6	݇ܰ.݉ 
 
 
 
Diagrama de Esforços [X1]: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 




Cálculo do δ: 
	
 
 
 
 
ߜଶଵ ൌ ܮ3 . ൫ܯ.ܯ൯ ൅ ܮ. ൫ܯ.ܯ൯ ൅
ܮ
3 . ൫ܯ.ܯ൯ ൌ
3
3 . 3.3 ൅ 6.3.3 ൅
3
3 . 3.3 ൌ 72 
 
 
 
 
ߜଶଶ ൌ 0 ൅ ܮ3 . ൫ܯ.ܯ൯ ൅ ܮ. ൫ܯ.ܯ൯ ൌ 0 ൅
6
3 . 6.6 ൅ 3.6.6 ൌ 180 
 
 
 
 
 
ߜଶଵ ൌ 0 ൅ ܮ2 . ൫ܯ.ܯ൯ ൅
ܮ
2 . ൫ܯ.ܯ൯ ൌ 0 ൅
6
2 . 3.6 ൅
3
2 . 3.6 ൌ 81 
 
 
δ12 = δ21= 81 
 
 
 
 
ߜଶଵ ൌ ܮ2 . ൫ܯ.ܯ൯ ൅
ܮ
3 . ൫ܯ.ܯ൯ ൅ 0 ൌ
3
2 . 3. െ360 ൅
6
2 . 3. െ360 ൌ െ3.780 
 
54 
 
 
 
 
ߜଶ଴ ൌ 0 ൅ ܮ4 . ൫ܯ.ܯ൯ ൅ ܮ. ൫ܯ.ܯ൯ ൅ 0 ൌ
6
4 . 6. െ360 ൅ 3.6. െ360 ൌ െ9.720 
 
 
Sistema de Equações: 
൜ߜଵ଴ ൅ ଵܺ. ߜଵଵ ൅ ܺଶ. ߜଵଶ ൌ 0ߜଶ଴ ൅ ଵܺ. ߜଶଵ ൅ ܺଶ. ߜଶଶ ൌ 0 
 
൜ െ3.780 ൅ ଵܺ. 72 ൅ ܺଶ. 81 ൌ 0െ9.720 ൅ ଵܺ. 81 ൅ ܺଶ. 180 ൌ 0 
 
Resolvendo‐se o sistema obtemos:    
ଵܺ ൌ െ16,71	݇ܰ 
ܺଶ ൌ 61,52	݇ܰ 
 
Cálculo das Reações de Apoio: 
 
ܴ ൌ ܴ௑଴ ൅ ଵܺ. ܴ௑ଵ ൅ ܺଶ. ܴ௑ଶ 
ܴ஺೤ ൌ 120 െ 16,71. ሺ0ሻ ൅ 61,52. ሺെ1ሻ ൌ ൅58,48	ሾ݇ܰሿ 
ܴ஺ೣ ൌ 0 െ 16,71. ሺെ1ሻ ൅ 61,52. ሺ0ሻ ൌ ൅16,71	ሾ݇ܰሿ 
ܯ஺ ൌ 360 െ 16,71. ሺ0ሻ ൅ 61,52. ሺെ6ሻ ൌ െ9,12	ሾ݇ܰ.݉ሿ 
ܴ஻ೣ ൌ ଵܺ ൌ െ16,71	ሾ݇ܰሿ 
ܴ஻೤ ൌ ܺଶ ൌ ൅61,52	ሾ݇ܰሿ 
ܯ஼ ൌ െ360 െ 16,71. ሺ3ሻ ൅ 61,52. ሺ6ሻ ൌ െ41,01	ሾ݇ܰ.݉ሿ 
ܯ஽ ൌ 0 െ 16,71. ሺ3ሻ ൅ 61,52. ሺ0ሻ ൌ െ50,13	ሾ݇ܰ.݉ሿ 
 
 
 
 
 
 
55 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
BEER, F.P. e JOHNSTON JR, E. R. (1989). Resistência dos materiais. 2a ed. São 
Paulo: McGraw-Hill. 
 
CAMPANARI, Flávio Antônio.(1985). Teoria das estruturas. v.1, 2, 3 e 4. Ed. 
Guanabara Dois. 
 
POPOV, Egor P. (1978). Introdução à mecânica dos sólidos. São Paulo: Edgard 
Blücher. 
 
SUSSEKIND, José Carlos. (1994a). Curso de análise estrutural. v.2. 11a ed.São 
Paulo: 
Ed.Globo. 
TIMOSHENKO, Stephen P. (1967). Resistência dos materiais. v.1. 3a ed. Rio de 
Janeiro: Ao Livro Técnico. 
 
LA ROVER, H.L. e DE MORAES, POLIANA DIAS. R. (2005). Apostila ECV 5220 
–Análise Estrutural II. Santa Catarina: ECV/UFSC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
 
Capítulo III – Método dos Deslocamentos 
 
 
O  método  dos  deslocamentos,  também  conhecido  como  método  da 
rigidez, apesar de  também  ter aplicabilidade na  resolução de estruturas 
isostáticas é um método de análise estrutural bastante aplicado no caso 
de estruturas grandes e complexas. Estas estruturas exigem a solução de 
um grande número de equações,  sendo necessária para a  sua  solução a 
utilização de ferramentas computacionais.  
Comparativamente,  a  formulação  matemática  do  método  dos 
deslocamentos é muito semelhante à do método das  forças, decorrendo 
daí,  quando  da  análise  de  problemas,  qual  dos  dois  se  torna  mais 
vantajoso. 
Em  linhas  gerais,  podem‐se  resumir  os  métodos  das  forças  e  dos 
deslocamentos para aplicação a estruturas hiperestáticas como: 
 
‐ Método das forças: A solução se dá pela determinação de seus esforços 
para, a partir deles, obter as deformações,  impondo como  incógnitas os 
esforços em vínculos. 
‐ Método  dos  deslocamentos:  A  solução  se  dá  pela  determinação  das 
deformações  sofridas pelos nós das diversas barras da estrutura para, a 
partir  desses  valores,  obterem  os  diagramas  de  esforços  solicitantes  da 
estrutura.  Estruturas  hiperestáticas  são  resolvidas  impondo  como 
incógnitas os deslocamentos em nós rígidos. 
 
Ainda na seara das semelhanças e diferenças entre os dois métodos têm: 
 
Método	das	Forças		
	
Idéia	básica:	
Determinar,	 dentro	 do	 conjunto	 de	
soluções	em	forças	que	satisfazem	as	
condições	 de	 equilíbrio,	 qual	 a	
solução	 que	 faz	 com	 que	 as	
condições	 de	 compatibilidade	
também	sejam	satisfeitas.	
	
Metodologia:	
Superpor	 uma	 série	 de	 soluções	
estaticamente	 determinadas	
Método	dos	Deslocamentos	
	
Idéia	básica:	
Determinar,	 dentro	 do	 conjunto	 de	
soluções	 em	 deslocamentos	 que	
satisfazem	 as	 condições	 de	
compatibilidade,	 qual	 a	 solução	 que	
faz	 com	 que	 as	 condições	 de	
equilíbrio	também	sejam	satisfeitas.	
	
Metodologia:	
Superpor	 uma	 série	 de	 soluções	
cinematicamente	 determinadas	
 
57 
 
(isostáticas)	 que	 satisfazem	 as	
condições	de	equilíbrio	da	estrutura	
para	 obter	 uma	 solução	 final	 que	
também	 satisfaz	 as	 condições	 de	
compatibilidade.	
	
	
	Incógnitas:	
Hiperestáticos:	 forças	 e	 momentos	
associados	 a	 vínculos	 excedentes	 à	
determinação	estática	da	estrutura.	
	
	
Número	de	incógnitas:	
É	o	número	de	incógnitas	excedentes	
das	 equações	 de	 equilíbrio,	
denominado	 grau	 de	
hiperestaticidade.	
	
Estrutura	auxiliar	utilizada	nas	
soluções	básicas:	
Sistema	 Principal	 (SP):	 estrutura	
estaticamente	 determinada	
(isostática)	 obtida	 da	 estrutura	
original	pela	eliminação	dos	vínculos	
excedentes	associados	aos	
hiperestáticos.	 Essa	 estrutura	
auxiliar	 viola	 condições	 de	
compatibilidade	 de	 estrutura	
original.	
	
Equações	finais:	
São	 equações	 de	 compatibilidade	
expressas	 em	 termos	 dos	
hiperestáticos.	
Essas	 equações	 recompõem	 as	
condições	 de	 compatibilidade	
violadas	nas	soluções	básicas.	
	
Termos	 de	 carga	 das	 equações	
finais:	
Deslocamentos	 e	 rotações	 nos	
pontos	dos	vínculos	 liberados	no	SP	
devidos	 à	 solicitação	 externa	
(carregamento).	
(configurações	 deformadas	
conhecidas)	 que	 satisfazem	 as	
condições	 de	 compatibilidade	 da	
estrutura	 para	 obter	 uma	 solução	
final	 que	 também	 satisfaz	 as	
condições	de	equilíbrio.	
	
Incógnitas:	
Deslocabilidades:	 componentes	 de	
deslocamentos	 e	 rotações	 nodais	
que	 definem	 a	 configuração	
deformada	da	estrutura.	
	
Número	de	incógnitas:	
É	o	número	de	incógnitas	excedentes	
das	 equações	 de	 compatibilidade,	
denominado	grau	de	hipergeometria.
	
	
Estrutura	 auxiliar	 utilizada	 nas	
soluções	básicas:	
Sistema	 Hipergeométrico	 (SH):	
estrutura	 cinematicamente	
determinada	 (estrutura	 com	
configuração	 deformada	 conhecida)	
obtida	 da	 estrutura	 original	 pela	
adição	dos	vínculos	necessários	para	
impedir	 as	 deslocabilidades.	 Essa	
estrutura	auxiliar	viola	condições	de	
equilíbrio	da	estrutura	original.	
	
Equações	finais:	
São	 equações	 de	 equilíbrio	
expressasem	 termos	 das	
deslocabilidades.	 Essas	 equações	
recompõem	 as	 condições	 de	
equilíbrio	 violadas	 nas	 soluções	
básicas.	
	
Termos	 de	 carga	 das	 equações	
finais:	
Forças	 e	 momentos	 (reações)	 nos	
vínculos	 adicionados	 no	 SH	 devidos	
à	solicitação	externa	(carregamento)
	
 
58 
 
1
11 21
P2
12 22
P2
1)1
P1
2
2)1 2
	
Coeficientes	das	equações	finais:	
Coeficientes	 de	 flexibilidade:	
deslocamentos	 e	 rotações	 nos	
pontos	dos	vínculos	 liberados	no	SP	
devidos	a	hiperestáticos	com	valores	
unitários	atuando	isoladamente.	
	
Coeficientes	das	equações	finais:	
Coeficientes	 de	 rigidez:	 forças	 e	
momentos	nos	vínculos	 adicionados	
no	 SH	 para	 impor	 configurações	
deformadas	 com	 deslocabilidades	
isoladas	com	valores	unitários.	
	
Tal qual no método das forças, no método dos deslocamentos iremos nos valer 
do Princípio da Superposição de Efeitos (White et al. 1976, West 1989, Felton & 
Nelson 1996)  para formalização dos métodos básicos da análise estrutural. Esse 
princípio  prescreve  que  a  superposição  dos  campos  de  deslocamentos 
provocados  por  vários  sistemas  de  forças  atuando  isoladamente  é  igual  ao 
campo de deslocamentos provocado pelos mesmos sistemas de forças atuando 
concomitantemente. Tal qual representação abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para que se possa utilizar esse princípio é necessário que a estrutura tenha um 
comportamento linear, comportamento este baseado em duas condições:  
 
1ª Condição: que o material trabalhe no regime elástico‐linear.  
2ª  Condição:  que  seja  válida  a  hipótese  de  pequenos  deslocamentos  (os 
deslocamentos  podem  ser  considerados  pequenos  quando  as  equações  de 
equilíbrio  escritas  para  a  geometria  indeformada  da  estrutura  fornecem 
 
59 
 
P
resultados  praticamente  iguais  aos  obtidos  pelas  mesmas  equações  de 
equilíbrio escritas para a geometria deformada da estrutura) 
Exceto em casos particulares, as estruturas civis têm deslocamentos pequenos 
em comparação aos tamanhos característicos dos seus membros (comprimento 
da barra ou altura da seção transversal, por exemplo).  
 
Um contra‐exemplo, para o qual não é possível adotar a hipótese de pequenos 
deslocamentos, é mostrado na figura abaixo.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Essa estrutura tem duas barras e três rótulas alinhadas, e o estado de equilíbrio 
estável  só  pode  ser  alcançado  para  a  estrutura  na  configuração  deformada. 
Cabos, que são estruturas muito  flexíveis, é outro exemplo de estruturas cujo 
equilíbrio é alcançado na geometria final, considerando os seus deslocamentos 
sobrepostos  à  geometria  inicial  indeformada.  Essas  estruturas  não  serão 
tratadas aqui, e serão classificadas como instáveis. 
 
Para  facilitar  o  entendimento  do  método  seguiremos  a  mesma  linha  de 
raciocínio apresentada por SÜSSEKIND (Curso de Análise Estrutural, vol.3), que 
segue: 
 
1. INCOGNITAS: 
 
Contrário ao método das  forças que considerava esforços simples  (ou  reações 
de  apoio)  como  incógnitas  do  problema,  o  método  dos  deslocamentos 
determinará inicialmente as deformações sofridas pelos nós das diversas barras 
da  estrutura para,  a partir desses  valores, obterem os diagramas de  esforços 
solicitantes da estrutura. Desta forma, as incógnitas serão os ângulos de rotação 
e  os  deslocamentos.  Em  seu  cálculo  serão  desprezadas  as  deformações  das 
barras  que  compõem  a  estrutura  devida  a  esforços  normais,  bem  como  as 
devidas  a  esforços  cortantes,  não  se  constituindo  este  fato  em  nenhum  erro 
especial peculiar ao método. 
 
Iniciaremos  nosso  estudo  estabelecendo  as  deformações  possíveis  em  uma 
barra,  a  fim  de  determinarmos  os  esforços  nela  atuantes.  Seja  a  barra  AB 
representada abaixo uma barra genérica de uma estrutura; devido aos esforços 
 
60 
 
que  solicitam a barra, ela se deformará assumindo a posição A’B’,  sendo essa 
mudança  de  posição  encarada  como  resultante  das  seguintes  deformações, 
independentes uma das outras: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura I – 1.2:  
Translação da barra de  δA: durante esta  translação, a barra se mantém  reta e 
paralela  à  sua  posição  primitiva,  de  modo  que  não  é  despertado  qualquer 
esforço simples resta fase; 
 
Figura I – 1.3: 
Deslocamento  linear  de  uma  das  extremidades  da  barra  ao  longo  de  uma 
direção  perpendicular  a  seu  eixo,  de  valor  ρBA  (deslocamento  ortogonal 
recíproco  dos  nós  B  em  relação  ao  nó A),  sem  rotação  das  extremidades  da 
barra.  A  barra  se  comporta  como  se  fosse  uma  viga  biengastada  AB,  cujo 
engaste B sofreu recalque vertical igual a ρBA 
 
Figura I – 1.4: 
Rotação da extremidade A da barra de valor ϕA. A barra se comporta como viga 
biengastada em que um dos engastes sofreu recalque angular de valor ϕA. 
 
Figura I – 1.5: 
Rotação da extremidade B da barra de valor ϕB. A barra se comporta como viga 
biengastada em que um dos engastes sofreu recalque angular de valor ϕA. 
 
61 
 
 
Figura I – 1.6: 
Deformação  da  barra,  sem  deslocamentos  lineares  nem  rotações  de 
extremidade,  devido  ao  carregamento  externo  aplicado.  Nesta  fase,  a  barra 
funciona como uma viga biengastada submetida ao carregamento externo e que 
pode ser determinado sem maiores dificuldades pelo método das forças. 
 
Concluindo,  basta  conhecer  os  valores  de  ϕA,  ϕB  e  ρBA  para  obtermos  o 
diagrama de momento fletores e, a partir dele, os demais diagramas solicitantes 
para  uma  barra  de  uma  estrutura,  já  a  translação  δA  da  barra  não  introduz 
qualquer esforço na mesma. 
 
Observação  Importante: para estruturas espaciais é necessário conhecermos a 
rotação e o deslocamento linear resultante de cada extremidade das barras que 
compõem a  estrutura.  Esta  rotação  será dada por  suas  componentes  (ϕX,  ϕY, 
ϕZ), e o deslocamento  linear por suas componentes (δx ,δy, δz), num total de 6 
incógnitas  por  nó  da  estrutura  espacial,  nos  casos mais  gerais.  Para  grelhas 
precisaremos  conhecer  as  rotações  (ϕX,  ϕY)  e  o  deslocamento  linear  δz,  num 
total de 3 incógnitas por nó, nos casos gerais. 
 
No caso da barra possuir uma das extremidades  rotuladas  (por exemplo “A”), 
sua rotação nesta extremidade não será incógnita do problema, pois o diagrama 
de momentos  fletores  final na barra AB  será  igual à soma daquele provocado 
pelo deslocamento ortogonal  recíproco  ρBA, com o da  rotação ϕB e com o do 
carregamento  externo,  supostos  aplicados numa  viga  apoiada AB  (vide  figura 
abaixo).  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
 
Note  que  o método  das  deformações  só  pode  existir  devido  à  existência  do 
método  das  forças,  que  é  aquele  que  fornece  os  diagramas  para  vigas 
biengastadas  (ou engastadas e rotuladas) devidos a ϕA, ϕB e ρBA... a partir dos 
quais formularemos o método das deformações. 
 
 
2. NÚMERO DE INCOGNITAS (Deslocabilidade interna e externa): 
 
a. Deslocabilidade interna: 
 
Seja a estrutura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Já  sabemos  que  as  incógnitas  do  problema  serão  rotações  e  deslocamentos 
lineares dos nós B e C, já que os engastes A e D não sofrem deformações. 
 
No caso, entretanto, o nó C não apresenta deslocamentos  lineares, pois, neste 
caso,  o  apoio  de  1º  gênero  impede  a  componente  vertical,  assim  como  o 
engaste  D  a  componente  horizontal  de  deslocamento.  Desta  forma,  a  única 
incógnita em C será sua rotação. 
 
O nó B também não apresentará deslocamentos lineares, pois sua componente 
vertical e horizontal será  impedida, respectivamente, pelosengastes A e D, de 
modo que a única incógnita, também no nó B, será a rotação. 
 
Concluindo,  teremos neste exemplo 2  incógnitas, número de nós  rígidos  (não 
rotulados) da estrutura. 
 
Portanto, dizemos que o número de deslocabilidades internas de uma estrutura 
é  igual  ao  número  de  rotações  de  nós  que  precisamos  conhecer  para  poder 
resolvê‐la. Então, o número de deslocabilidades  internas (di) de uma estrutura, 
é  igual ao número de nós  internos rígidos que ela possui (não  incluídos os nós 
extremos apoiados ou engastados, bem como, os rotulados). 
 
63 
 
 
Observação  Importante:  para  estruturas  espaciais,  o  número  de 
deslocabilidades internas é igual ao triplo do número de nós internos rígidos que 
a estrutura possui. 
 
 
b. Deslocabilidade externa: 
 
Seja a estrutura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como  todos  os  nós  internos  são  rotulados,  não  necessitaremos  conhecer  as 
rotações  das  barras  nestes  nós.  Resta‐nos  analisar  o  problema  dos 
deslocamentos lineares dos mesmos para conhecermos o número de incógnitas 
do  problema.  Iniciando  a  análise  pelo  nó  D,  vemos  que  ele  não  terá 
componente  vertical  de  deslocamento  (engaste  em A);  nada  impede,  porém, 
seu deslocamento horizontal  (primeira  incógnita do problema). Para  indicar a 
incógnita, indicaremos um apoio de 1º gênero em D (Figura I – 4.2), mostrando 
que  seria  necessário  mais  um  vínculo  na  estrutura  para  que  o  nó  D  não 
deslocasse.  Da  mesma  forma  que  ocorre  em  D,  ocorre  no  nó  G  (segunda 
incógnita do problema). 
 
Desta  forma,  caso  os  apoios  ❶  e  ❷  exisƟssem,  seriam  indeslocáveis 
linearmente os nós D e G, e por conseqüência os nós E e F. 
 
A  estrutura  em  questão  possui  então,  dois  deslocamentos  lineares  que  são 
impedidos pelos apoios do 1º gênero ❶ e ❷, e dizemos, então, que ela possui 
duas deslocabilidades lineares ou externas. 
 
Ou  seja:  a  deslocabilidade  externa  (de)  é  igual  ao  número  de  apoios  do  1º 
gênero que precisamos acrescentar para que  todos os nós  sejam  linearmente 
indeslocáveis. 
 
 
c. Deslocabilidade Total: 
 
É a soma das deslocabilidades internas e externas: ݀ ൌ ݀௜ ൅ ݀௘ 
 
64 
 
 
Aplicação  I: Determine o número  total de deslocabilidades para as estruturas 
planas a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65 
 
Aplicação  II:  Obter  o  número  total  de  deslocabilidades  para  as  grelhas 
(estruturas  planas  que  serão  solicitadas  perpendicularmente  a  seu  plano) 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66 
 
CONVENÇÃO DE SINAIS: 
 
Deste  ponto  em  diante,  estabeleceremos  uma  convenção  de  sinais  que  será 
adotada neste método em especial. Convenção esta, que consiste em chamar 
de  positivo  os  momentos  e  rotações  nos  extremos  das  barras  quando  os 
mesmos tiverem o sentido anti‐horário, além das demais convenções abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A convenção de sinais para momentos fletores será explorada para descrever os 
diagramas nos passos intermediários do método, conforme será visto. 
Uma  das  utilidades  desta  convenção  de  sinais mostrada  acima  é  considerar 
informações  sobre  os  esforços  que  atuam  em  uma  barra.  Por  exemplo, 
considere a viga biengastada abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
 
3. INTRODUZINDO O MÉTODO: 
 
 
A  base  deste  método  consiste  em  determinarmos  primeiramente  os 
deslocamentos e de forma indireta, a partir destes, os esforços. 
 
Este método pode ser empregado tanto em estruturas ISOSTÁTICAS quanto em 
estruturas HIPERESTÁTICAS; sua única limitação são as VIGAS BI‐ENGASTADAS. 
 
No que se refere a estruturas reticuladas (barras  ligadas por nós) o número de 
incógnitas será igual ao número de deslocamentos nodais ou o número de graus 
de  liberdade  (GL) de  todos os nós da estrutura.  Já para o  caso de  vigas, não 
serão  considerados  deslocamentos  axiais,  portanto  cada  nó  terá  apenas  2GL, 
que são: translação paralela a Y e rotação em torno de Z. No caso de existirem 
forças  horizontais  aplicadas  na  viga,  estas  serão  modeladas  como  pórticos 
planos. 
 
  
  
Em  resumo,  o método  consiste  em  FIXAR  a  estrutura,  introduzindo  vínculos 
fictícios, de forma a tornar a estrutura cinematicamente determinada, e através 
das  cargas aplicadas nas barras  calcularem os esforços  causados na estrutura 
fixa (SP – Sistema Principal). 
 
Na sequência são aplicados os deslocamentos nos nós e calculados os esforços 
decorrentes destes na estrutura. 
 
Através da  superposição de efeitos  calculam‐se os esforços  totais que devem 
estar  em  equilíbrio  com  as  forças  externas  aplicadas  nos  nós,  gerando  um 
sistema de equações de forças em torno dos nós da estrutura. 
 
 
68 
 
Obs.: em estruturas reticuladas, o único sistema principal possível é obtido pela 
fixação  de  todos  os  nós,  o  que  torna  conveniente  a  utilização  de  programas 
computacionais. 
 
4. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS ‐ VIGAS: 
 
a. Sistema de um GRAU DE LIBERDADE: 
 
Seja a viga engastada‐apoiada de rigidez EI abaixo: 
 
 
 
   
 
A mesma apresenta apenas um grau de  liberdade, a saber:  rotação em B  (em 
geral, as vigas apresentam 2 graus de liberdade) 
 
 
 
 
 
A temática do método baseia‐se em fixar a estrutura (limitar os deslocamentos, 
inversamente  ao  que  era  feito  no método  das  forças,  onde,  liberávamos  os 
vínculos e deixávamos a estrutura deslocar) e calculam‐se então os esforços de 
ENGASTAMENTO  PERFEITO,  calculando  para  a  estrutura  fixa,  o  esforço 
(momento)  que  surge  na  barra  na  direção  de  GL  devido  ao  carregamento 
externo. Como segue: 
 
 
 
 
 
 
69 
 
Posteriormente, aplica‐se o deslocamento B no nó e  calculam‐se os esforços 
correspondentes. 
 
De  forma  elucidativa:  como  a  estrutura  NÃO  é  fixa  em  B  e  este  em  teoria 
sofreria um deslocamento,  impõem‐se este deslocamento no nó e calcula‐se o 
esforço  correspondente  na  barra.  Este  esforço  será  proporcional  ao 
deslocamento  imposto, proporcionalidade esta dada pelo coeficiente da barra 
4ܧܫ ݈ൗ  
 
 
 
 
 
Por  fim, efetua‐se o equilíbrio das  forças em  torno de B. Por superposição de 
efeitos  calcula‐se o esforço  total na extremidade da barra e  iguala‐se  à  força 
aplicada no nó. 
 
െݍ݈ଶ
12 ൅
4. ܧܫ
݈ . ߠ஻ ൌ 0	 ∴ 	ߠ஻ ൌ
݈
4. ܧܫ .
ݍ݈ଶ
12 	∴ 	 ߠ஻ ൌ
ݍ݈ଷ
48. ܧܫ  
Nesta linha de raciocínio, podemos escrever a equação de equilíbrio das forças 
da seguinte maneira: 
ܨா௉ ൅ ܵ. ݀ ൌ ܨ௡௢ ൌ ܣ  
Onde: FEP é o esforço de engastamento perfeito; 
  S é o coeficiente de rigidez; 
  d é o deslocamento e 
  A a ação (força ou binário) aplicada no nó. 
De  forma  a  sistematizar  o método,  faremos  a  imposição  de  deslocamentos 
unitários  (assim  como  feito  no método  das  forças)  na  direção  dos GL. Desta 
forma:  para  d1  =  1  teremos  ܯ஻ ൌ 4. ܧܫ ݈ൗ ൌ ଵܵଵ.  Logo  para  d1  =  B  tem‐se 
ܯ஻ ൌ ସ.ாூ௟ . ߠ஻ 	 ∴ 	ܯ஻ ൌ ଵܵଵ. ߠ஻ ൌ 	 ଵܵଵ. ݀ଵ,  onde  S11  representa  o  esforço  na 
barra na direção 1 causado por um deslocamento unitário na direção 1. 
 
 
 
 
 
 
Em linhas gerais, o grau de liberdade pode ser calculado pela seguinte equação 
de equilíbrio de forças na direção 1: 
 
70 
 
ܨா௉ଵ ൅ ଵܵଵ. ݀ଵ ൌ ܣଵ  
De forma geral, para muitos graus de liberdade tem‐se: 
 
ሼܨா௉ሽ ൅ ሾܵሿ. ሼܦሽ ൌ ሼܣሽ  
Onde: { FEP } é o vetor de esforços de engastamento perfeito; 
  [ S ] é a matriz de rigidez da estrutura; 
  { D } é o vetor de deslocamentos nodais e; 
  { A } é o vetor de ações nodais.Casa  coeficiente  Sij  (  i – efeito  /  j –  causa),  representa o esforço na barra na 
direção ou GLi, causado por um deslocamento unitário na direção ou grau de 
liberdade j. 
 
Esforço de ESGASTAMENTO PERFEITO: 
 
Os  esforços  de  engastamento  perfeito  podem  ser  encontrados  através  do 
Método das Forças. 
 
 
 
 
 
 
 
 
ܯ௑଴ ൌ ݍ. ݈²8 	 ∴ 	ܯ௑ଵ ൌ ܯ௑ଶ ൌ െ1  
ߜଶ଴ ൌ ߜଵ଴ ൌ ݈3 .
ݍ. ݈²
8 . െ1 ൌ
െݍ. ݈³
24   
ߜଵଵ ൌ ߜଶଶ ൌ ݈3 െ 1.െ1 ൌ
݈
3  
ߜଵଶ ൌ ߜଶଵ ൌ ݈6 . െ1.െ1 ൌ
݈
6 
 
71 
 
 
െݍ. ݈³
8 ൅
ܮ
3 . ଵܺ ൅
ܮ
6 . ܺଶ ൌ 0  
െݍ. ݈³
8 ൅
ܮ
6 . ଵܺ ൅
ܮ
3 . ܺଶ ൌ 0  
 Resolvendo o sistema obtemos:  ଵܺ ൌ ܺଶ ൌ ௤.௟²ଵଶ   
Desta forma, os momentos de engastamento perfeito da estrutura ficam assim 
determinados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coeficientes de RIGIDEZ: 
 
Também  podem  ser  determinados  pelo  Método  das  Forças,  impondo‐se 
deslocamentos unitários nos graus de liberdade. 
 
Sejam a estrutura engastada e apoiada estudada até agora, na qual se pretende 
determinar o  coeficiente S11  (grau de  liberdade 1  causado pelo deslocamento 
unitário imposto): 
 
  
      
 
 
 
Através do Método das Forças (capítulo II), eliminam‐se os vínculos excedentes 
obtendo‐se o seguinte SP: 
 
 
 
 
 
 
 
 
72 
 
 
 
ܯ௑଴ ൌ 0	 ∴ 	ܯ௑ଵ ൌ ܯ௑ଶ ൌ െ1  
ߜଵ଴ ൌ 0  
ߜଵଵ ൌ ߜଶଶ ൌ ݈3 െ 1.െ1 ൌ
݈
3  
ߜଵଶ ൌ ߜଶଵ ൌ ݈6 . െ1.െ1 ൌ െ
݈
6  
൜ߜଵ. ܧܫ ൌ ܧܫ. ሺߜଵ଴ ൅ ଵܺ. ߜଵଵ ൅ ܺଶ. ߜଵଶሻ ∴ ܧܫ. 1 ൌ ܧܫ. ሺߜଵ଴ ൅ ଵܺ. ߜଵଵ ൅ ܺଶ. ߜଵଶሻߜଶ. ܧܫ ൌ ܧܫ. ሺߜଶ଴ ൅ ଵܺ. ߜଶଵ ൅ ܺଶ. ߜଶଶሻ ∴ ܧܫ. 0 ൌ ܧܫ. ሺߜଶ଴ ൅ ଵܺ. ߜଶଵ ൅ ܺଶ. ߜଶଶሻ  
 
൞
݈
3 . ଵܺ െ
ܮ
6 . ܺଶ ൌ ܧܫ
െ݈
6 . ଵܺ ൅
݈
3 . ܺଶ ൌ 0
 
 
ଵܺ ൌ 4. ܧܫ݈ 	 ∴ 	ܺଶ ൌ
2. ܧܫ
݈   
Desta  forma  o  coeficiente  de  rigidez  é  ଵܵଵ ൌ ܺ1 ൌ 4ܧܫ ݈ൗ .  O  esforço  na 
extremidade da barra é  igual à  reação no engaste e observa‐se que na outra 
extremidade ele equivale à metade ሺ2ܧܫ ݈ൗ ሻ. 
 
 
 
	
 
73 
 
b. Sistema de dois GRAUS DE LIBERDADE: 
 
Seja a figura abaixo com 2 graus de liberdade: 
Pela superposição de efeitos, inicialmente fixa‐se a estrutura, aplica‐se as cargas 
nas barras e determinam‐se os esforços de engastamento perfeito. 
 
  
Posteriormente impomos o deslocamento unitário no grau de liberdade 1 (d1=1 
e d2=0), determinando os esforços correspondentes (coeficientes de rigidez S11 
em GL1 e S22 em GL2) 
  
Pelas condições de equilíbrio, a soma dos esforços em um nó em certa direção 
tem que ser igual à ação aplicada neste mesmo nó na mesma direção. 
 
No GL1: FEP1 + S11.d1 + S12.d2 = A1 = M 
No GL2: FEP2 + S21.d1 + S22.d2 = A2 = 0 
 
O que resulta no seguinte sistema: 
 
 
 
74 
 
Resolvendo o sistema obtém‐se o vetor de deslocamentos { D }: 
 
[ S ] . { D } = { A } – { FEP } 
{ D } = [ S ]‐1 . { A – FEP } 
 
Desta forma se a estrutura for  isostática ou hiperestática, a matriz [ S ] poderá 
ser  invertida  sempre,  logo,  do  sistema  de  equações  obtém‐se  {  D  }.  Caso  a 
estrutura seja hipoestática, a matriz  [ S  ] será singular  (det[ S  ]=0) e o sistema 
NÃO terá solução. 
 
Visando  simplificar a  resolução do método no que  tange a determinação dos 
momentos  de  engastamento  perfeitos,  serão  apresentadas  na  sequência  as 
tabelas  algumas  tabelas  bastante  úteis.  As  que  são  parte  integrante  desta 
apostila  foram  extraídas  da  apostila  TABELAS  DE  VIGAS:  Deslocamentos  e 
Momentos de Engastamento Perfeito do professor Libânio / UFSCar, porém, as 
mesmas podem ser encontradas em SUSSEKIND,  José Carlos  (Curso de análise 
estrutural,  volume  III),  que  embasa  este  estudo  teórico  do  Método  dos 
Deslocamentos. 
 
	
 
 
 
 
 
 
75 
 
 
 
76 
 
 
 
77 
 
 
 
78 
 
 
 
 
79 
 
5. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS – TRELIÇAS: 
 
a. Sistema com um GRAU DE LIBERDADE 
 
Usaremos  como  exemplo  uma  barra  de  material  homogêneo  e  seção 
transversal constante, submetida a uma carga axial. 
Imaginaremos  a  mesma  como  uma  barra  de  treliça  engastada  em  uma 
extremidade e na outra uma carga de tração, conforme abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo  analogia  a mola  elástica  de  rigidez  k,  deve‐se  ter  que  a  força  P  é 
proporcional  ao  deslocamento  u1,  sendo  esta  proporcionalidade  dada  pela 
rigidez axial da barra e desta forma temos a seguinte equação de equilíbrio: 
 
 
 
 
Sabendo que a rigidez é o  inverso da flexibilidade, e considerando conhecida a 
rigidez, sendo esta obtida pelo PTV (Principio dos Trabalhos Virtuais = tabelas de 
integração), temos: ݇ ൌ ܧܣ ݈ൗ  
Para obtermos a solução da equação de equilíbrio temos:	ݑଵ ൌ ܲ ݇ൗ ൌ ݈ܲ ܧܣൗ  
b. Sistema com dois GRAUS DE LIBERDADE 
 
Para tanto analisaremos uma barra composta de duas hastes de comprimento e 
seções desiguais. 
 
80 
 
 
 
 
 
 
Seguindo o raciocínio anteriormente adotado: 
 
 
 
Teremos como constantes elásticas das molas:  
 
 
Sendo a extremidade à esquerda  fixa,  teremos 2 graus de  liberdade  (u1 e u2). 
Teremos então, o seguinte sistema de equações de equilíbrio: 
 
 
Ou em sua forma matricial: [ S ] . { D } = { A } 
A matriz de rigidez [ S ] pode ser obtida impondo‐se os deslocamentos u1 = 1 e 
u2 = 0 obtendo‐se assim os coeficientes S11 = k1 + k2 e S21 = ‐k2. 
 
 
 
 
 
 
 
81 
 
Posteriormente  impomos  os  deslocamentos  como  seguem:  u1  =  0  e  u2  =  1 
obtendo‐se assim os coeficientes S12 = ‐k1 + k2 e S21 = k2. 
 
 
 
 
 
Substituindo‐se os coeficientes Sij no sistema temos: 
 
 
 
Para  estruturas  com muitas barras,  ao  invés de  analisarmos de  forma  global, 
dividimos a estrutura em elementos. As matrizes de  rigidez de cada elemento 
são calculadas  isoladamente e, a partir delas, obtém‐se a matriz de  rigidez da 
estrutura,  somando‐se os  coeficientes  correspondentes  aos mesmos  graus de 
liberdade.  Para  n  graus  de  liberdade,  teremos  um  sistema  de  equações  de 
equilíbrio da estrutura n x  n. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
82 
 
EXEMPLOS/APLICAÇÕES 
Exemplo 01: 
Seja a viga abaixo, cuja  rigidez das barras é constante e  igual a 72x10³ kN.m². 
Determine  o  grau  de  liberdade.  Calcule  os  deslocamentos  pelo  método  da 
rigidez. 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto a estrutura em questão possui 2 graus de liberdade (d1 e d2).  
 
 
 
Dessa forma, para resolvermos o problema, primeiramente aplicamos as cargas 
nas barras e encontramos os esforços de engastamento perfeito. 
 
 
 
Pelas tabelas de momentos de engastamento perfeito temos: 
 
 
 
 
 
83 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplica‐se então d1 = 1 e conseqüentemente d2 = 0 e determinam‐se os esforços 
correspondentes. 
 
 
 
 
 
 
Aplica‐se após d2 = 1 e conseqüentemente d1 = 0 e determinam‐se os esforços 
correspondentes. 
 
 
 
Pela superposição de efeitos, defini‐se o seguinte sistema de equações: 
No nó B (GL1): ܨா௉ଵ ൅ ଵܵଵ. ݀ଵ ൅ ଵܵଶ. ݀ଶ ൌ ܣଵ 
No nó C (GL2): ܨா௉ଶ ൅ ܵଶଵ. ݀ଵ ൅ ܵଶଶ. ݀ଶ ൌ ܣଶ 
 
 
 
84 
 
Em sua forma matricial temos: 
 
 
 
 
Substituindo os dados já determinados na forma matricial do problema tem‐se: 
 
 
Que resulta em: 
 
A partir dos deslocamentos d1 e d2 podem‐se encontrar os esforços nas barras 
multiplicando‐se os coeficientes de  rigidez de cada barra pelos deslocamentos 
sofridos nas suas extremidades e somando‐se o  resultado com os esforços de 
engastamento perfeito nas extremidades das barras.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
85 
 
Exemplo 02: 
Considere a viga abaixo. O valor da rigidez à  flexão da mesma é EI = 1,2 x 104 
kN.m². O  valor  da  carga  distribuída  é  de  q  =  12  kN/m. Determine  o  grau  de 
liberdade da mesma, calcule os deslocamentos e gere os diagramas DEC e DMF. 
 
Como  podemos  verificar,  as  únicasdeslocabilidades  da  estrutura  são  as 
rotações em B e C. 
 
 
 
 
 
Identificadas  as  deslocabilidades  e  o  sistema  hipergeométrico  (SH)  seguimos 
com a superposição nos casos básicos. 
Caso 0 – Carregamento Externo: 
 
 
 
 
Fazendo as considerações dos momentos de engastamento perfeitos, temos: 
 
86 
 
 
ܯ஺஻ಶೄೂ ൌ ൅
ݍ. ݈ଶ
12 ൌ ൅
12. 4ଶ
12 ൌ 	൅16	݇ܰ.݉ 
ܯ஺஻ವ಺ೃ ൌ െ
ݍ. ݈ଶ
12 ൌ െ
12. 4ଶ
12 ൌ 	െ16	݇ܰ.݉	
ܯା ൌ ݍ. ݈²8 ൌ
12. 4ଶ
8 ൌ 	24	݇ܰ.݉ െ 16	݇ܰ.݉ ൌ 8	݇ܰ.݉	
ܯ஻஼ಶೄೂ ൌ ൅
ݍ. ݈ଶ
12 ൌ ൅
12. 6ଶ
12 ൌ 	൅36	݇ܰ.݉ 
ܯ஻஼ವ಺ೃ ൌ െ
ݍ. ݈ଶ
12 ൌ െ
12. 6ଶ
12 ൌ 	െ36	݇ܰ.݉	
ܯା ൌ ݍ. ݈²8 ൌ
12. 6ଶ
8 ൌ 	54	݇ܰ.݉ െ 36	݇ܰ.݉ ൌ 18	݇ܰ.݉	
ܯ஼஽ಶೄೂ ൌ ൅
ݍ. ݈ଶ
12 ൌ ൅
12. 2ଶ
12 ൌ 	൅4	݇ܰ.݉ 
ܯ஼஽ವ಺ೃ ൌ െ
ݍ. ݈ଶ
12 ൌ െ
12. 2ଶ
12 ൌ 	െ4	݇ܰ.݉	
ܯା ൌ ݍ. ݈²8 ൌ
12. 2ଶ
8 ൌ 	6	݇ܰ.݉ െ 4	݇ܰ.݉ ൌ 2	݇ܰ.݉	
	
(A)	
 
 
 
(B) 
Apresentamos o diagrama de duas  formas. A primeira com a convenção usual 
(lado da fibra da seção transversal que é tracionada), na segunda os valores dos 
momentos são indicados nas extremidades das barras pela convenção de sinais 
do método (anti‐horário positivo). 
 
 
87 
 
ߚଵ଴ ൌ ܨா௉ଵ ൌ െ16 ൅ 36 ൌ ൅20	݇ܰ.݉ 
ߚଶ଴ ൌ ܨா௉ଶ ൌ െ36 ൅ 4 ൌ െ32	݇ܰ.݉ 
 
Caso 1 – Deslocabilidade d1: 
 
 
 
 
 
 
ܯ஺஻ಶೄೂ ൌ ൅
2. ߙ
݈ . ܧܫ ൌ ൅
2.1
4 . 1,2. 10
ସ ൌ 	൅6.000	݇ܰ.݉/ݎܽ݀ 
ܯ஺஻ವ಺ೃ ൌ ൅
4. ߙ
݈ . ܧܫ ൌ ൅
4.1
4 . 1,2ݔ10
ସ ൌ 	൅12.000	݇ܰ.݉/ݎܽ݀	
ܯ஻஼ಶೄೂ ൌ ൅
4. ߙ
݈ . ܧܫ ൌ ൅
4.1
6 . 1,2. 10
ସ ൌ 	൅8.000	݇ܰ.݉/ݎܽ݀ 
ܯ஻஼ವ಺ೃ ൌ ൅
2. ߙ
݈ . ܧܫ ൌ ൅
2.1
6 . 1,2. 10
ସ ൌ 	൅4.000	݇ܰ.݉/ݎܽ݀ 
ܯ஼஽ಶೄೂ ൌ ܯ஼஽ವ಺ೃ ൌ 0 
 
ܭଵଵ ൌ ଵܵଵ ൌ ൅12.000 ൅ 8.000 ൌ ൅20.000	݇ܰ.݉/ݎܽ݀ ൌ ൅20. 10ଷ݇ܰ.݉/ݎܽ݀ 
ܭଶଵ ൌ ܵଶଵ ൅ 4.000	݇ܰ.݉/ݎܽ݀ ൌ ൅4. 10ଷ	݇ܰ.݉/ݎܽ݀ 
	
 
88 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso 2 – Deslocabilidade d2: 
 
 
 
 
 
ܯ஺஻ಶೄೂ ൌ ܯ஺஻ವ಺ೃ ൌ 0 
ܯ஻஼ಶೄೂ ൌ ൅
2. ߙ
݈ . ܧܫ ൌ ൅
2.1
6 . 1,2. 10
ସ ൌ 	൅4.000	݇ܰ.݉/ݎܽ݀ 
ܯ஻஼ಶೄೂ ൌ ൅
4. ߙ
݈ . ܧܫ ൌ ൅
4.1
6 . 1,2ݔ10
ସ ൌ 	൅8.000	݇ܰ.݉/ݎܽ݀	
ܯ஻஼ವ಺ೃ ൌ ൅
4. ߙ
݈ . ܧܫ ൌ ൅
4.1
2 . 1,2. 10
ସ ൌ 	൅24.000	݇ܰ.݉/ݎܽ݀ 
ܯ஻஼ಶೄೂ ൌ ൅
2. ߙ
݈ . ܧܫ ൌ ൅
2.1
2 . 1,2. 10
ସ ൌ 	൅12.000	݇ܰ.݉/ݎܽ݀ 
 
89 
 
 
ܭଵଶ ൌ ଵܵଶ ൌ ൅4.000	݇ܰ.݉/ݎܽ݀ ൌ ൅4. 10ଷ݇ܰ.݉/ݎܽ݀ 
ܭଶଶ ൌ ܵଶଶ ൌ ൅8.000 ൅ 24.000 ൌ ൅32.000	݇ܰ.݉/ݎܽ݀ ൌ ൅32. 10ଷ	݇ܰ.݉/ݎܽ݀ 
 
Montando o sistema matricial, temos: 
 
 
Resolvendo o sistema determinamos os seguintes deslocamentos: 
 
O  valor  negativo  de  D1  indica  que  a  rotação  da  seção  no  apoio  interno  da 
esquerda  se  dá  no  sentido  HORÁRIO  e  o  valor  positivo  de  D2  indica  que  a 
rotação no outro nó interno tem o sentido anti‐horário. 
 
 
 
 
Para determinação dos momentos fletores, temos: 
ܯ ൌ ܯ଴ ൅ܯଵ. ܦଵ ൅ ܯଶ. ܦଶ 	 ∴ ܯ ൌ ܯ଴ െ 1,25. 10ିଷ.ܯଵ ൅ 1,15. 10ିଷ.ܯଶ 
 
 
 
90 
 
 
 
 
 
 
A determinação dos demais esforços e das  reações  seguirá  sempre o mesmo 
formato:  conhece‐se  a  configuração  deformada  e  daí  se  tiram  as  demais 
informações. 
 
6. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS – DIVISÃO EM ELEMENTOS  (SISTEMA DE 
COORDENADAS): 
 
As estruturas  reticuladas são divididas em elementos  ligados entre si por nós, 
aonde  se  supõem  concentradas  todas  as  forças  de  ligação.  As  ações  e 
deslocamentos são discretizados nos nós e a composição destes elementos para 
constituir a estrutura resulta em um sistema de equações montado em  forma 
de matriz. 
No  caso deste método, as equações  são equações de equilíbrio de  forças em 
torno  dos  nós.  Uma  estrutura  com  N  nós,  que  em  cada  tem  M  graus  de 
liberdade (GL) resulta em um sistema NxM. 
 
Considerações pertinentes: 
 
Cada elemento é representado por uma  linha  reta, coincidente com o eixo da 
barra, ligando 2 nós. 
Uma  extremidade  livre,  assim  como  uma  vinculada  a  um  apoio  também  é 
considerada nó. 
Deve‐se  criar  um  nó  fictício  sempre  que  houver  descontinuidade  de  tipo  de 
material  ou  seção  da  barra.  Pode‐se  inclusive,  criar  nó  fictício  sob  cargas 
concentradas. 
 
 
 
 
 
91 
 
 
Sistema de Coordenadas: 
Em estruturas reticuladas utiliza‐se coordenadas cartesianas. Um sistema global 
(X, Y, Z) para a estrutura e um local para os elementos (x, ,y, z ou XL , YL, ZL). 
No  sistema  local,  o  eixo  x  coincide  com  o  eixo  LONGITUDINAL  DA  BARRA 
passando pelo centroide da seção e o sentido positivo deste eixo é definido pela 
incidência dos nós no elemento, conforme abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Grau de Liberdade: 
Em  relação  ao  sistema  global,  definem‐se  os  graus  de  cada  nó:  translação 
paralela ao eixo X (UX); ao eixo Y (UY); ao eixo Z (UZ); rotação em torno do eixo 
X (RX); do eixo Y (RY) e do eixo Z (RZ). 
 
 
 
 
 
 
 
92 
 
Exemplos de Estruturas Reticuladas: 
 
Viga – 2 GL por nó – translação paralela a y e rotação em z; 
 
Treliça Plana – 2 GL por nó – translação paralela a x e a y; 
 
 
 
 
 
 
 
Treliça Espacial – 3 GL por nó – translação paralela a x, y e z; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
93 
 
Pórtico Plano – 3 GL por nó – translação paralela a x e y e rotação em torno de 
z; 
  
 
 
 
 
 
 
Grelha – 3 GL por nó – translação paralela a z e rotação em torno de x e y; 
 
 
 
 
 
Pórtico Espacial – 6 GL por nó – translação paralela a x, y e z e rotação em torno 
de x, y e z; 
 
 
 
94 
 
RESUMO  DO  MÉTODO  PARA  ESTRUTURAS  RETICULADAS  DIVIDIDAS  EM 
ELEMENTOS: 
 
 Cada elemento é considerado isoladamente; 
 Será  calculada  a  matriz  de  rigidez  do  elemento  não  restringido,  em 
relação a todos os GL do elemento, inicialmente no sistema local [ SL ]; 
 Quando houver cargas aplicadas ao longo dos elementos ou barras, será 
calculado o vetor de esforços de engastamento perfeito, inicialmente no 
sistema local { FLEP }; 
 Através de uma transformação de coordenadas, encontra‐se a matriz de 
rigidez  do  elemento  no  sistema  global  [  SG  ]  e  o  vetor  de  esforços  de 
engastamento perfeito também no sistema global { FGEP }; 
 Levando em conta e contribuição de todos os elementos será formada o 
sistema de equações de equilíbrio para a estrutura não  restringida, em 
relação a todos os GL: 
ሼܨா௉ሽ∗ 	൅ ሾ	ܵ	ሿ∗. ሼ	ܦ	ሽ∗ ൌ 	 ሼ	ܣ	ሽ∗ 
ሾ	ܵ	ሿ∗ ൌ Σ௘௟௘௠"ሾ	ܵீ	ሿ 
ሼ	ܨா௉	ሽ∗ ൌ Σ௘௟௘௠"ሼ	ீܨ ா௉	ሽ 
 Impõem‐se  as  condições  de  contorno,  encontrando  o  sistema  de 
equações de equilíbrio da estrutura restringida: 
ሼܨா௉ሽ 	൅ ሾ	ܵ	ሿ . ሼ	ܦ	ሽ ൌ 	 ሼ	ܣ	ሽ  
 Resolve‐se o sistema e obtêm‐se o vetor de deslocamentos: 
 
 
 A partir de  { D  } obtêm‐se as  reações de apoio, encontra‐se o vetor de 
deslocamentos nas extremidades de cada elemento, no sistema local { uL 
}, e os esforços no elemento no sistema local: 
 
 
 
95 
 
 
MATRIZ  DE  RIGIDEZ  DE  UM  ELEMENTO  NO  SISTEMA  LOCAL  (ESTRUTURAS 
RETICULADAS PLANAS): 
 
Elemento de Viga: 
Seja o elemento de viga com 2 GL abaixo. Cujo sistema local coincide com o 
global. 
 
 
 
O elemento ( i ), tem nó inicial J e final K, comprimento l e momento de inércia 
I. O vetor de deslocamentos nodais é dado por: 
 
 
 
E a matriz de rigidez por: 
 
 
 
Para se obter os coeficientes da matriz de rigidez SLij, inicialmente fixam‐se as 
extremidades do elemento e impõe‐se u1 = 1; em seguida u2 = 1. 
 
 
 
 
 
96 
 
Impõe‐se  então  o  deslocamento  unitário  u3  =  1  e  finalmente  u4  =  1,  com  o 
elemento fixo nas extremidades. 
 
 
 
 
Desta forma, todos os coeficientes de rigidez já podem ser calculados, inclusive 
pelo método das forças. 
Impondo u2 = 1, temos: 
ܵଶଶ ൌ ൅4. ߙ݈ . ܧܫ	 ∴ 	 ܵସଶ ൌ ൅
2. ߙ
݈ . ܧܫ 
Pelas condições de equilíbrio temos que ∑MJ=0 e ∑Fy=0: 
∑ܯ௃ ൌ 0 ∴ 	ܵଷଶ. ݈ ൅ 2. ߙ݈ . ܧܫ ൅
4. ߙ
݈ . ܧܫ ൌ 0 ∴ ܵଷଶ ൌ ܵଶଷ ൌ െ
6. ߙ
݈ . ܧܫ.
1
݈
ൌ െ6. ߙ݈ଶ . ܧܫ 
∑ܨ௬ ൌ 0 ∴ 	 ଵܵଶ ൅	ܵଷଶ ൌ 0 ∴ ଵܵଶ ൌ െ൬െ6. ߙ݈ଶ . ܧܫ൰ ൌ ൅
6.ߙ
݈ଶ . ܧܫ 
De forma análoga, impomos u4 = 1: 
ܵସସ ൌ ൅4. ߙ݈ . ܧܫ	 ∴ 	 ܵଶସ ൌ ൅
2. ߙ
݈ . ܧܫ 
Pelas condições de equilíbrio temos que ∑MJ=0 e ∑Fy=0: 
∑ܯ௃ ൌ 0 ∴ െ ଵܵସ. ݈ ൅ 2. ߙ݈ . ܧܫ ൅
4. ߙ
݈ . ܧܫ ൌ 0 ∴ ଵܵସ ൌ ܵସଵ ൌ ൅
6. ߙ
݈ . ܧܫ.
1
݈
ൌ ൅6. ߙ݈ଶ . ܧܫ 
∑ܨ௬ ൌ 0 ∴ 	 ଵܵସ ൅	ܵଷସ ൌ 0 ∴ ܵଷସ ൌ ܵସଷ ൌ െ6. ߙ݈ଶ . ܧܫ 
Por equilíbrio definimos os demais coeficientes: 
ܵଶଵ ൌ ൅6. ܧܫ݈ଶ 	 ∴ 	 ܵସଵ ൌ ൅
6. ܧܫ
݈ଶ  
 
97 
 
 
 
 
 
 
∑ܯ௃ ൌ 0 ∴ ܵଷଵ ൌ െ൬6. ܧܫ݈ଶ ൅
6. ܧܫ
݈ଶ ൰ ൊ ݈ ൌ െ
12ܧܫ
݈ଷ  
∑ܨ௬ ൌ 0 ∴ 	 ଵܵଵ ൌ െ	ܵଷଵ ൌ ൅12. ܧܫ݈ଷ  
 
 
 
 
 
 
 
ܵଶଷ ൌ െ6. ܧܫ݈ଶ 	 ∴ 	 ܵସଷ ൌ െ
6. ܧܫ
݈ଶ  
ܵଷଵ ൌ ଵܵଷ ൌ െ൬6. ܧܫ݈ଶ ൅
6. ܧܫ
݈ଶ ൰ ൊ ݈ ൌ െ
12ܧܫ
݈ଷ  
ܵଷଷ ൌ െ ଵܵଷ ൌ ൅12. ܧܫ݈ଷ  
Desta forma a matriz de rigidez do elemento de viga (não restringido) no 
sistema local é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta matriz de rigidez é singular, não é inversível. É necessário restringir o 
elemento  para  resolver  o  sistema  de  equações  de  equilíbrio.  Não  existe, 
portanto, uma matriz de flexibilidade para elemento não restringido. 
 
 
98 
 
Elemento de Treliça: 
 
Seja o elemento de barra de 2 GL formado pelos nós J e K. Em geral, o sistema 
local não coincide com o sistema global; o vetor de deslocamentos nodais é { uL 
}4x1 e a matriz de rigidez [ SL ]4x4. 
 
 
 
 
 
 
O  elemento  tem  comprimento  l e  área  da  seção  transversal A.  Inicialmente, 
fixa‐se o elemento a movimentos de translação, lembrando que as ligações são 
articuladas (rotação não produzem esforços nos elementos). 
 
 
 
Impõe‐se u1 = 1 e obtêm‐se:  
ଵܵଵ ൌ ܧܣ݈  
Σܨ௫ ൌ 0	 ∴ 	 ܵଷଵ ൌ െ ଵܵଵ ൌ െܧܣ݈ 																																							ܵଶଵ ൌ ܵସଵ ൌ 0 
 
Impõe‐se u2 = 1, movimento de corpo rígido e obtêm‐se: S12=S22=S32=S42=0 
 
 
99 
 
Impõe‐se u3 = 1 e obtêm‐se:  
ܵଷଷ ൌ ܧܣ݈  
Σܨ௫ ൌ 0	 ∴ 	 ଵܵଷ ൌ െܵଷଷ ൌ െܧܣ݈ 																																							ܵଶଷ ൌ ܵସସ ൌ 0 
 
Impõe‐se u4 = 1, movimento de corpo rígido e obtêm‐se: S14=S24=S34=S44=0 
A matriz de rigidez do elemento de treliça plana no sistema local pode ser então 
escrita como: 
 
 
 
Elemento de Pórtico Plano: 
 
Seja  o  elemento  de  pórtico  plano  de  3 GL  formado  pelos  nós  J  e  K. O  vetor 
deslocamento nodal é  { uL }6x1 e a matriz de rigidez [ SL ]6x6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
100 
 
A  matriz  de  rigidez  do  elemento  de  pórtico  plano  pode  ser  encontrada 
superpondo‐se  a matriz  de  rigidez  do  elemento  de  viga  com  a  do  de  treliça 
plana, uma vez que não há interação entre esforço axial e de flexão (pequenos 
deslocamentos, estrutura linear). 
GL 1 do elemento de viga  GL 2 do elemento de pórtico plano 
GL 2 do elemento de viga  GL 3 do elemento de pórtico plano 
GL 3 do elemento de viga  GL 5 do elemento de pórtico plano 
GL 4 do elemento de viga  GL 6 do elemento de pórtico plano 
GL 1 do elemento de treliça  GL 1 do elemento de pórtico plano 
GL 3 do elemento de treliça  GL 4 do elemento de pórtico plano 
 
Desta forma resultando: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
101 
 
De forma didática para facilitar o entendimento e aprendizado do método, 
segue abaixo relacionada as matrizes de rigidez elementares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
102 
 
MATRIZ DE ROTAÇÃO – TRANSFORMAÇÃO DO SISTEMA DE COORDENADAS: 
 
Seja por exemplo um elemento de pórtico plano, com eixo local XL formado com 
um ângulo  em relação ao eixo global XG: 
 
 
 
 
 
Decompondo‐se os deslocamentos uG1 e uG2 nos eixos xL e yL temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
De onde, empregando  conhecimentos de geometria analítica e  com base nos 
ângulos de Euler, se tira que:   uL1 = uG1.cos + uG2.sen e 
          uL2 = uG1.sen + uG2.cos 
 
Uma vez que a resultante dos vetores de translação ቄݑ௅ଵݑ௅ଶቅ ൌ 	 ቄ
ݑீଵݑீଶቅ é a mesma. 
 
Observa‐se também que uL3 = uG3 e uL6, pois a rotação do nó J assim como do nó 
K é a mesma no plano (xL, yL ou xG, yG) 
 
Na forma matricial temos: 
 
103 
 
 
 
 
 
 
De forma análoga para o nó K temos: 
 
 
 
 
 
Escrevendo a  relação entre o vetor de deslocamentos nodais do elemento no 
sistema local, { uL }, e o vetor de deslocamentos nodais do elemento no sistema 
global, { uG }, vem: 
 
A matriz  [  R  ]6x6  é  chamada  de matriz  de  transformação  de  coordenadas  do 
sistema  global  para  o  sistema  local  ou matriz  de  rotação  (  positivo  do  eixo 
global para o  local  no  sentido  anti‐horário). Observa‐se que  a  matriz  inversa 
[  R  ]‐1  pode  ser  obtida  substituindo‐se    por  ‐  (rotação  inversa  no  sentido 
horário do local para o global). 
 
 
 
 
 
 
104 
 
Uma vez que cos(‐)=cos e sen(‐)=‐sen, observa‐se que [ R ]‐1 = [ R ]T, ou seja, 
a matriz [ R ] é uma matriz ortogonal. Portanto { uG } = [ R ]‐1 { uL } = [ R ]T{ uL }. 
Para o elemento de treliça plana, tem‐se 2 GL no nó. Não se considera o GL de 
rotação do nó, pois este não resulta em esforço na barra. 
A matriz de transformação é: 
 
 
 
 
MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO NO SISTEMA GLOBAL: 
 
Seja por exemplo um elemento de pórtico plano. Supondo que não haja cargas 
atuando  ao  longo  do  elemento,  os  esforços  nas  extremidades  do  elemento 
dependem  apenas  dos  deslocamentos  nodais.  As  equações  de  equilíbrio  no 
sistema local e global se escrevem como segue: 
 
 
 
105 
 
Sendo { AL } e { AG } os vetores de esforços, [ SL ] e [ SG ] as matrizes de rigidez, { 
uL } e { uG } os vetores de deslocamentos. 
 
Já foi visto anteriormente que: { uL } = [ R ]. { uG }, analogamente: 
 
 
Substituindo‐se temos: 
 
Multiplicando por [ R ]T: 
 
Substituindo em { AG }: 
 
Comparando as equações obtém‐se a matriz de rigidez do elemento no sistema 
global: 
 
Apesar  de  esta  expressão  ter  sido  desenvolvida  para  o  elemento  de  pórtico 
plano,  ela  é  genérica  e,  portanto,  vale  para  todos  os  tipos  de  estrutura 
reticulada. 
VETOR DE ESFORÇOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO NO SISTEMA GLOBAL: 
Para  formar  o  vetor  de  esforços  de  engastamento  perfeito  devem‐se 
transformar os esforços de engastamento perfeito de  todos os elementos do 
sistema local para o global. Desta forma: 
 
 
 
 
 
 
 
106 
 
SISTEMA DE EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO PARA ESTRUTURA NÃO RESTRINGIDA: 
 
Equações de equilíbrio de forças generalizadas em torno dos nós para estrutura 
com apoios podem ser escritas: { A } = { FEP } + [ S ].[ D ], sendo: 
{ A } as ações aplicadas nos nós; 
{ FEP  } os esforços nas extremidades dos elementos devido às  cargas atuando 
para a estrutura fixa (esforços de engastamento perfeito); 
[ S ].[ D ] esforços devido aos deslocamentos nodais. 
 
Essas mesmas equações podem ser reescritas para estruturas NÃO restringidas 
(sem apoios): { A }* = { FEP }* + [ S ]*.[ D ]* 
 
Ambos os sistemas de equações acima são considerados no sistema global de 
todos os elementos, formulados em relação ao GL do elemento. A relação entre 
os GLs do elemento e os GLs da estrutura  será efetuada  através da  regra de 
correspondência. 
 
MONTAGEM DA MATRIZ DE RIGIDEZ DA ESTRUTURA: 
 
A matriz de  rigidez da estrutura não  restringida  [  S  ]* é  formada a partir das 
matrizes de rigidez dos elementos no sistema global: 
ሾ	ܵ	ሿ∗ ൌ 	 ෍ ܴሺ௜ሻ೅. ሾ	ܵ௅	ሿሺ௜ሻ. ܴሺ௜ሻ ൌ ෍ ሾ	ܵீሿሺ௜ሻ
௡௘௟௠௦
௜ିଵ
௡௘௟௠௦
௜ୀଵ
		
Onde nelms é o número de elementos da estrutura. 
 
A matriz [ S ]* é formada somando‐se a contribuição de todos os elementos, isto 
é, os coeficientes S*ij, cujo primeiro índice “i” é o GL de um nó da estrutura, são 
encontrados  somando‐se  os  coeficientes  das  matrizes  de  rigidez  [  SG  ]  dos 
elementos que concorrem a este mesmo nó correspondentes ao mesmo GL”i”. 
Deve‐se então identificar qual GL na extremidade do elementoque corresponde 
a um GL de nó na estrutura. 
 
107 
 
Como exemplo, usaremos o pórtico plano abaixo: 
Por exemplo, no nó “5” concorrem  três elementos:  (4),  (5) e  (6), cujos GL nas 
extremidades  (vetor  deslocamento  {  uG  }),  no  sistema  global,  estão 
apresentados a seguir: 
Para o elemento (6) o sistema  local e o global coincidem, já para os elementos 
(4) e (6), deve‐se transformar o vetor de deslocamentos do sistema local para o 
global, como a seguir: 
 
 
 
 
 
{ uL } = [ R ] . { uG } 
{ uG } = [ R ]T . { uL } 
 
108 
 
A direção generalizada, ou GL 14 da estrutura (D14, que é o segundo GL do nó 5), 
correspondem  as  direções:  5  do  elemento  (4)  /  2  do  elemento  (7)  /  2  do 
elemento (6). 
A direção 15 (D15) corresponde às direções: 6 do elemento (4) / 3 do elemento 
(7) e 3 do elemento (6). 
 
O coeficiente S*14‐15 que exprime a  influência de um deslocamento na direção 
15  sobre  o  esforço  na  direção  14  (força  vertical  no  nó  5),  será  a  soma  dos 
coeficientes de influência das matrizes [ SG ] dos elementos (4), (6) e (7). 
 
 
Para  compreender  fisicamente  o  significado  desta  expressão, multiplicam‐se 
ambos os lados da mesma por D15: 
 
 
Sendo que S*14,15 D15 (que é uma parcela de A14) representa a força na direção 
14 devido  a uma  rotação no nó  5  (=D15),  cuja magnitude  é  igual  à  soma das 
forças  nos  elementos  (4),  (6)  e  (7)  na  direção  correspondente  à  14  (5,  2  e  2 
respectivamente), devido a esta rotação do nó 5 nas extremidades dos mesmos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
109 
 
Para  S*14,15  contribuem  três  elementos  que  concorrem  no  nó  5,  já  para  o 
coeficiente S*14,21 contribui apenas o elemento (7), pois S*14,21 exprime a força 
na  direção  14,  causada  por  uma  rotação  unitária  no GL  21  (existe  um  único 
elemento que liga GL 14 ao GL 12). 
 
Verifica‐se  que  S*14,10  é  nulo,  pois  não  há  elemento  ligando  o  nó  5  ao  qual 
pertence à direção 14  ( o que ocorrerá em  vários outros  coeficientes), o que 
explica o fato dos coeficientes da matriz [ S ]* se agruparem em uma faixa em 
torno da diagonal principal, os demais coeficientes fora desta faixa são nulos. 
 
REGRA DE CORRESPONDÊNCIA: 
Relaciona a numeração dos deslocamentos das extremidades dos elementos ({ 
uG }), com a numeração dos deslocamentos nodais da estrutura ({ D }). Em cada 
elemento (i) os deslocamentos são numerados de 1 a 2 x NGL/nó 
 
 
 
 
Na estrutura, os deslocamentos são numerados na ordem dos nós, sendo que, 
em cada nó há NGL/nó, deslocamentos em ordem determinada pelos eixos do 
sistema global. 
 
Exemplo Teórico 1: 
 
110 
 
Tomando como exemplo o elemento 7 que liga o nó 5 ao 7 (J=5 / K=77), temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo Teórico 2: Elemento de Viga 
Seja a viga abaixo cujo número de GL por nó é igual a dois (vigas). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
111 
 
 
 
Os coeficientes da matriz de rigidez da estrutura não restringida são formados a 
partir  dos  coeficientes  das  matrizes  de  rgidez  no  sistema  global  de  cada 
elemento, usando‐se a regra da correspondência e somando‐se os coeficientes 
que  correspondem  ao mesmo  GL  da  estrutura  nos  nós  onde  concorrem  os 
elementos. 
 
 
 
 
 
 
112 
 
EXERCÍCIOS E APLICAÇÕES 
 
1. Calcule a viga abaixo de rigidez EI = 72x10³ kN.m² pelo método dos 
deslocamentos, levando em consideração a não restrição da mesma.  
 
 
 
 
 
 
 
 
Primeiramente divide‐se a estrutura: 
 
 
 
 
Fazendo a regra da correspondência: 
 
  Elemento 
J  K 
(1)
1  2 
(2)
2  3 
 
  2J – 1  1 3 1 
  2J  2 4 2 
  2K – 1  3 5 3 
  2K  4 6 4 
 
 
 
 
113 
 
Matrizes de rigidez de cada elemento (sistema global coincide com local): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
114 
 
Vetores de esforços de engastamento perfeito: 
 
115 
 
 
 
SISTEMA DE EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO PARA ESTRUTURA RESTRINGIDA: 
 
Para  considerar  a  estrutura  como  sendo  restringida,  devem‐se  impor  as 
condições  de  contorno  (deslocamentos  nulos  nas  direções  restringidas  por 
apoios) 
 
O  que  equivale  a  eliminar  as  colunas  de  [  S*  ]  correspondentes  aos  GL 
restringidos por apoios, e, consequentemente, como [ S* ] é simétrica, eliminar 
também as  linhas que correspondem aos CL restringidos. Ficando o sistema de 
equações como segue: 
 
Desta forma, seja a viga abaixo: 
 
116 
 
A mesmo possui 4 GL. As direções ou GL 1 e 2 são restringidas. Neste caso, os 
esforços de engastamento perfeito do elemento são: 
 
 
 
Para a estrutura não restringida tem‐se: 
 
 
 
 
 
Fazendo‐se D1 = 0 e D2 = 0 no sistema, obtém‐se: 
 
 
 
 
 
Observa‐se que os coeficientes da coluna 1 e 2 de [ S ]* são multiplicados por 
zero, portanto as colunas podem ser eliminadas. 
Eliminando‐se também as linhas i e ii de [ S ]*, obtém‐se o sistema de equações 
de equilíbrio para a estrutura restringida, em relação apenas às direções ou GL 
livres (iii e iv) 
 
 
 
 
 
117 
 
Resolvendo  o  sistema:  ሼ	ܦ	ሽ ൌ ൜ܦଷܦସൠ.  Inserindo D3  e D4  nas  equações  (i)  e  (ii) 
obtém‐se as reações R1 e R2. 
 
O  sistema  de  equações  pode  ser  escrito  na  forma  (  D   deslocável;  R  
restringida). 
 
 
Da segunda linha  { FEP }D + [ SDD ].{ D } = { A }, onde: 
[ SDD ] é a matriz de rigidez da estrutura restringida [ S ]; 
{ FEP }D é o vetor de esforços de engastamento perfeito da estrutura restringida { 
FEP }; 
 
Resolvendo o subsistema obtém‐se { D }. 
 
Inserindo  { D  } na primeira  linha do sistema   { R  } =  { FEP  }R +  [ SRD  ]  .  { D  }, 
obtém‐se as reações de apoio. 
 
Nem sempre o sistema está assim arrumado, com direções restringidas no inicio 
ou no final. Seja a viga bi‐apoiada abaixo: 
 
 
 
 
{ FEP }* e [ S ]* não mudam em relação ao exemplo anterior, mudam as direções 
restringidas: 
 
 
 
 
 
118 
 
Impõe as condições de contorno da estrutura, eliminando‐se as colunas 1 e 3 de 
[ S ]* e por simetria as  linhas 1 e 3 também (i e  iii) no sistema de equações, o 
que sobra é o sistema de equações da estrutura restringida: 
 
 
 
 
 
Cuja solução fornece o vetor de deslocamentos nodais da estrutura: 
 
 
 
Inserindo  D2  e  D4  nas  linhas  (i)  e  (iii)  do  sistema  de  equações,  obtêm‐se  as 
reações de apoio R1 e R3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
119 
 
APLICAÇÕES 
 
Para  fixar  melhor  o  método  segue  uma  série  de  exercícios  resolvidos  e 
propostos. 
 
Estruturas SEM deslocabilidades Externas: 
 
Aplicação  01: Obter  o  diagrama  de momento  fletores  e  as  reações  de  apoio 
para a estrutura abaixo. 
Dados: E = 2x106 t/m² / I = 0,024 m4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema Principal: 
 
Podemos  verificar  que  a  estrutura  abaixo  apresenta  apenas  deslocabilidades 
internas  (2),  a  saber:  rotação  em  B  e  C.  Desta  forma,  para  representá‐las 
colocaremos chapas rígidas nos nós citados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
120 
 
Efeitos no sistema principal: 
a. Carregamento Externo: 
FEP1=+6    FEP2=+12 
 
 
 
 
Para Barra 2:  
 
 
Para Barra 3: 
 
Desta forma obtemos as rotações indicadas no esquema acima:  
FEP1=+6  
FEP2= +18 ‐ 6 = +12 
 
b. Rotação em S1: 
Neste  método  não  somos  obrigados  a  impor  rotações  unitárias,  podemos 
trabalhar  com  a  rigidez  relativa da barras. De  forma  a  simplificar os  cálculos, 
multiplicaremos a rigidez real por 4E/10³. 
Assim, girando o nó 1, teremos:   
 
      S11=+7     S21=+1,5     
 
 
 
 
 
 
121 
 
Como sabemos, o coeficiente de transmissão neste caso vale +0,50c. Rotação em S2: 
Adotando o mesmo critério acima e girando o nó 2, teremos: 
Para a barra 2:  ݇ ൌ 	 ܬ ݈ൗ ൌ 24 8ൗ ൌ 3 
Para a barra 3:  ݇ ൌ 	 ܬ ݈ൗ ൌ 24 6ൗ ൌ 4 
Para a barra 4:  ݇ ൌ 	3. ܬ 4. ݈ൗ ൌ 3.24 4.6ൗ ൌ 3 
Desta forma resulta em: 
    S21 = +1,5    S22 = +10 
 
 
 
 
Cálculo das Incógnitas: 
൜ܨா௉ଵܨா௉ଶൠ ൅ ൤
ଵܵଵ ଵܵଶܵଶଵ ܵଶଶ൨ . ൜
ܦଵܦଶൠ ൌ ൜
ܣଵܣଶൠ	൜
ܦଵܦଶൠ ൌ െ ൤
ଵܵଵ ଵܵଶܵଶଵ ܵଶଶ൨
ିଵ
. ൜ܨா௉ଵܨா௉ଶൠ 
൜ܦଵܦଶൠ ൌ െ ൤
7 1,5
1,5 10൨
ିଵ
. ቄ 612ቅ ൌ
െ1
67,75 . ൤
10 െ1,5
െ1,5 7 ൨ . ቄ
6
12ቅ ൌ ቄ
െ0,62
െ1,11ቅ	 
Efeitos Finais: 
Serão dados por E = E0 – 0,62.E1 – 1,11.E2, obtendo‐se os momentos finais nas 
extremidades das barras indicadas, a partir dos quais, obteremos as reações de 
apoio e o diagrama de momentos fletores pedidos. 
Notar que a soma dos momentos em torno de cada nó deve ser zero, pois não 
existe  carga‐momento  aplicada  à  estrutura  (geralmente  há  apenas  um  valor 
residual) 
 
122 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Lembre que as rotações verdadeiras serão dadas por: 
 
 
 
 
123 
 
Aplicação  02: Obter  o  diagrama  de momento  fletores  e  as  reações  de  apoio 
para a estrutura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicação  03: Obter  o  diagrama  de momento  fletores  para  a  viga  de  inércia 
constante abaixo. 
 
 
 
 
 
 
Estruturas COM deslocabilidades Externas: 
 
Aplicação 04: Obter o diagrama de momento  fletores para a estrutura abaixo 
devido ao  carregamento e ao  recalque de apoio em D de 1  cm de  cima para 
baixo, associado a um recalque horizontal de mesmo valor da esquerda para a 
direita ( EJ = 2x104t.m² ) 
 
 
 
 
124 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema Principal: 
 
Note  que  a  estrutura  apresenta  uma  deslocabilidade  interna  (rotação  em  B), 
porém, também apresenta uma externa  (deslocamento horizontal em B ou C). 
Desta forma, para se tornar indeslocável o sistema, devemos: 
 
 
 
 
 
 
Efeitos no sistema principal: 
a. Carregamento Externo: 
Aplicando o carregamento externo  temos o  funcionamento da barra BC 
como  engastada  e  apoiada  e  desta  forma,  da  tabela  de  engastamento 
perfeito:  
ܯ஻ ൌ	൅2	.6²8 ൌ 	൅9	݉ 
 
 
 
 
 
125 
 
Devido  a  este  funcionamento,  aparecerão  reações  verticais  em B  e  C  que  se 
transmitirão  aos  apoios  A  e  D,  conforme  a  figura  abaixo.  Nenhuma  reação 
horizontal é despertada nesta fase. 
 
 
 
b. Rotação em S1: 
Aplicando  uma  rotação  em  S1  à  chapa  1,  tal  que  EJ.S1  =  6  t.m²  temos  o 
aparecimento dos seguintes momentos nas barras. 
 
             
 
 
 
As  reações  de  apoio,  que  serão  despertadas  foram  obtidas  da  seguinte 
forma: 
  S11 = +7  
  S21 = +1 
 
 
 
 
 
c. Rotação em S2: 
Aplicando o deslocamento S2 ao apoio 2,  tal que EJ.S2 = 6  t.m²,  teremos o 
aparecimento de deslocamentos ortogonais recíprocos de igual valor para as 
barras 1 e 3, permanecendo horizontal a barra 2, conforme esquema.  
Teremos os seguintes momentos de engastamento perfeito devido a estes 
deslocamentos ortogonais recíprocos: 
 
 
126 
 
 
          Para barra 1: ܯ஺ ൌ	ܯ஻ ൌ 	 ଺	ா௃.ௌమ௟² ൌ
଺.଺
଺² ൌ 1	݉ 
 
Para barra 3: ܯ஼ ൌ	ܯ஽ ൌ 0 pois a barra é bi‐
rotulada. 
Temos desta forma: S12 = +1 
       S22 = +1/3 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo das Incógnitas: 
൜ܨா௉ଵܨா௉ଶൠ ൅ ൤
ଵܵଵ ଵܵଶܵଶଵ ܵଶଶ൨ . ൜
ܦଵܦଶൠ ൌ ൜
ܣଵܣଶൠ	൜
ܦଵܦଶൠ ൌ െ ൤
ଵܵଵ ଵܵଶܵଶଵ ܵଶଶ൨
ିଵ
. ൜ܨா௉ଵܨா௉ଶൠ 
൜ܦଵܦଶൠ ൌ െ ൤
7 1
1 1/3൨
ିଵ
. ቄ൅90 ቅ ൌ ൜
െ2,25
൅6,75ൠ	 
Efeitos Finais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
127 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
128 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicação 05: Obter o diagrama de momento fletores para a estrutura abaixo. 
 
 
 
 
Aplicação 05: Obter o diagrama de momento fletores para a estrutura abaixo. 
 
 
 
 
Esta apostila foi elaborada a partir de outras bibliografias  indicadas, em vários 
casos sendo fielmente transcritos os textos e as figuras das mesmas. 
Reservem‐se  então  os  direitos  autorais  bem  como  os  créditos  a  quem  é  de 
direito. 
 
129 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
BEER, F.P. e JOHNSTON JR, E. R. (1989). Resistência dos materiais. 2a ed. São 
Paulo: McGraw-Hill. 
 
CAMPANARI, Flávio Antônio.(1985). Teoria das estruturas. v.1, 2, 3 e 4. Ed. 
Guanabara Dois. 
 
POPOV, Egor P. (1978). Introdução à mecânica dos sólidos. São Paulo: Edgard 
Blücher. 
 
SUSSEKIND, José Carlos. (1994a). Curso de análise estrutural. v.3. 11a ed.São 
Paulo: Ed.Globo. 
 
TIMOSHENKO, Stephen P. (1967). Resistência dos materiais. v.1. 3a ed. Rio de 
Janeiro: Ao Livro Técnico. 
 
LA ROVER, H.L. e DE MORAES, POLIANA DIAS. R. (2005). Apostila ECV 5220 
–Análise Estrutural II. Santa Catarina: ECV/UFSC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
130 
 
Capítulo IV – Processo de Cross 
 
 
INTRODUÇÃO 
O método desenvolvido por Hardy Cross em 1932 baseia‐se no método 
dos  deslocamentos  e  assim  como  os  outros  dois  métodos  estudados 
(Capítulos II e III), permite a resolução de estruturas hiperestáticas. 
Também  chamado  de DISTRIBUIÇÃO DE MOMENTOS  consiste  em  obter 
esforços nas barras pelo equilíbrio do nó, distribuindo o momento total no 
nó (momento aplicado mais os momentos de engastamento perfeito das 
barras que concorrem no nó) de acordo com a rigidez das barras. 
A grande vantagem do processo reside no  fato de que o mesmo, devido 
seu simplificado processo de resolução, dispensa e/ou reduz em muito a 
necessidade  de  ferramentas  computacionais,  o  que  não  ocorre  com  os 
demais métodos e em especial o dos deslocamentos.  
 
PRINCÍPIOS DO PROCESSO 
1. Pode ser considerado como um processo matemático de resolução 
por  aproximações  sucessivas  dos  sistemas  lineares  (método 
interativo); 
2. Inicialmente supõe‐se que os nós estão rígidos e não podem sofrem 
rotação;  após  aplicação  das  cargas  os  nós  são  liberados 
sucessivamente e passam a sofrer rotação; 
3. Bloquear o nó liberado antes de passar para o próximo; 
4. Essa sequência é repetida até que a liberação dos nós não provoque 
mais rotação, ou seja, o estado de equilíbrio foi alcançado. 
Como  se  pode  ver,  o  processo  de  Cross  transforma  a  resolução  de 
estruturas hiperestáticas em uma simples solução aritmética, o que não é 
em todo verdade. 
 
131 
 
Para vigas com seção constante, o processo de Cross depende de solução 
de três problemas específicos: 
a. Determinação  dos  momentos  de  engastamento  perfeito 
(tabelados); 
b. Da rigidez de cada viga; 
c. Do fator de distribuição de carga de cada membro da estrutura. 
 
RIGIDEZ DE UMA LIGAÇÃO 
A  rigidez  de  uma  barra  em  um  nó  qualquer,  será  igual  ao  valor  do 
momento  fletor  que,  aplicado  neste  nó,  supostamente  livre  para  girar, 
provoca uma rotação UNITÁRIA da barra no nó. 
Desta forma, a extremidade apoiada de uma viga simples esta associada a 
um coeficiente de  rigidez  (k)  (rigidez à  rotação que a viga apresenta aos 
momentos  aplicados nos  nós).  Este  coeficiente  por  sua  vez  apresenta  a 
mesma dimensão do momento  fletor aplicado, uma vez que a  rotação é 
unitária. A isso damos o nome de MOLA ROTACIONAL. 
 
 
 
 
Neste contexto, quanto maior for a mola, maior terá que ser o momento 
fletor aplicado no nó para produzir o giro: 
ܯ ൌ ݇௜. ߮ 
Se  = 1, então M = ki 
Nos  casos  usuais  da  engenharia  é  possível  mostrar  que  o  valor  do 
coeficiente de rigidez é dado por: 
݇஺஻ ൌ ݇஻஺ ൌ 4ܧܫ ݈ൗ 	ሺݒ݅݃ܽݏ	ܾ݅݁݊݃ܽݏݐܽ݀ܽݏሻ		 
 
132 
 
݇஻஺ ൌ 3ܧܫ ݈ൗ 	ሺݒ݅݃ܽݏ	ܽ݌݋݅ܽ݀ܽ	݁	݁݊݃ܽݏݐܽ݀ܽݏሻ 
* levar em consideração a extremidade de aplicação da rotação. 
 
 
 
(vide tabelas de momentos 
de engastamento perfeito 30) 
 
 
COEFICIENTE DE TRANSMISSÃOComo  resultado  do  momento  aplicado  na  extremidade  da  viga 
biengastada,  surge  um momento  na  extremidade  oposta  de metade  de 
seu valor, por este motivo dizemos que, o coeficiente de transmissão da 
barra biengastada é de 0,50, ou de outra forma: 
 
 
Já no caso de vigas engastada e apoiada esse coeficiente é igual a ZERO: 
 
 
CONVENÇÃO DE GRINTER 
Pela convenção de Grinter os momentos exercidos pelas barras sobre os 
nós serão considerados POSITIVOS no sentido HORÁRIO.  Isto equivale a 
dizer que devem  ser  considerados positivos os momentos anti‐horários 
exercidos pelos nós sobre as extremidades das barras. 
 
 
133 
 
COEFICIENTE DE DISTRIBUIÇÃO 
Seja a estrutura fundamental do processo de Cross: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A mesma  possui  aplicado  sobre  o  nó  0  um momento  denominado M, 
momento este que  gera uma deformação nas barras 1, 2 e 3  conforme 
representada na figura (b) 
Pelos  conceitos  já  aplicados  sabemos  que  o  momento  em  cada  barra 
estará assim definido: 
ܯଵ ൌ ݇ଵ. ߮	 
ܯଶ ൌ ݇ଶ. ߮	 
ܯଷ ൌ ݇ଷ. ߮	 
 
Tendo, desta  forma, o  equilíbrio  da  figura  (a)  com  a  (b)  é obtido  como 
segue: 
ܯ ൌ ܯଵ ൅ܯଶ ൅ܯଷ 
 
 
134 
 
E, por compatibilidade de deslocamentos: 
ܯ ൌ ߮. ሺ݇ଵ ൅ ݇ଶ ൅ ݇ଷሻ 	 ∴ 	߮ ൌ ܯ Σ݇௜ൗ  
Sabe‐se ainda que: 
ܯଵ ൌ ݇ଵ. ߮ ൌ 	݇ଵ.ܯ Σ݇௜ൗ ∴ ܯ.
݇ଵ Σ݇௜ൗ  
ܯଶ ൌ ݇ଶ. ߮ ൌ 	݇ଶ.ܯ Σ݇௜ൗ ∴ ܯ.
݇ଶ Σ݇௜ൗ  
ܯଷ ൌ ݇ଷ. ߮	 ∴ 	 ݇ଷ.ܯ Σ݇௜ൗ ∴ ܯ.
݇ଷ Σ݇௜ൗ  
Da expressão acima se pode dizer que: um momento aplicado num nó de 
uma estrutura totalmente  indeslocável  irá se distribuir, entre as diversas 
barras  concorrentes neste nó,  segundo parcelas proporcionais  à  rigidez, 
neste nó, de cada uma das barras. 
Assim, denominamos coeficiente de distribuição de momentos para barra 
i:  
ߚ௜ ൌ ݇௜ Σk௜ൗ ∴ ܯ௜ ൌ ߚ௜.ܯ 
Que representa a parcela do momento atuante no nó que propagará para 
a barra  i.  Isto  implica em dizer que i = 1 para que o momento M seja 
recomposto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
135 
 
Aplicação  01: Determine  a  parcela  de momento  aplicado  no  nó  “0”  da 
estrutura abaixo que será distribuído para a barra 1: 
 
 
 
 
 
 
Coeficientes de rigidez: 
݇ଵ ൌ 4ܧܫ ܮଵൗ ൌ 4ܧܫ 2ൗ ൌ 2ܧܫ 
݇ଵ ൌ 4ܧܫ ܮଶൗ ൌ
4ሺ3ܧܫሻ 3ൗ ൌ 4ܧܫ 
݇ଵ ൌ 3ܧܫ ܮଷൗ ൌ
3ሺ2ܧܫሻ 4ൗ ൌ 1,5ܧܫ 
Atentar ao fato de que as rigidezes das barras são diferentes. 
 
Coeficientes de distribuição: 
ߚଵ ൌ ݇ଵ Σ݇ൗ ൌ
2ܧܫ
2ܧܫ ൅ 4ܧܫ ൅ 1,5ܧܫ ൌ 0,27 
ߚଶ ൌ ݇ଶ Σ݇ൗ ൌ
4ܧܫ
2ܧܫ ൅ 4ܧܫ ൅ 1,5ܧܫ ൌ 0,53 
ߚଷ ൌ ݇ଷ Σ݇ൗ ൌ
1,5ܧܫ
2ܧܫ ൅ 4ܧܫ ൅ 1,5ܧܫ ൌ 0,20 
Σߚଵ ൌ 1 ൌ 0,27 ൅ 0,53 ൅ 0,20 ൌ 1,0	ሺ݋݇ሻ 
 
 
136 
 
A parcela do momento que irá para a barra 1 será então: 
ܯଵ ൌ ߚଵ.ܯ ൌ 	0,27.35	݇ܰ.݉ ൌ 	െ9,45	݇ܰ.݉ 
 
O sinal negativo decorre do  fato do momento de  reequilíbrio ser  igual e 
contrário ao momento aplicado no nó.  
A parcela que chegará ao apoia A será dada por: 
ߙ଴஺ ൌ 0,5	 ∴ 	ܯ஺ ൌ ିଽ,ସହଶ ൌ െ4,72	݇ܰ.݉ 
 
 
 
 
 
 
 
PROCESSO DE CROSS – ESTRUTURAS INDESLOCÁVEIS 
 
Para um nó apenas (um grau de liberdade – Rotação): 
Como  apresentado  anteriormente,  o  processo  consiste  em  fixar  os  nós, 
calcular  os momentos  de  engastamento  perfeitos  devido  às  cargas  nos 
elementos (transferidos para os nós adotando a convenção de Grinter) e 
somam‐se aos momentos aplicados nos nós. Posteriormente calculam‐se 
a  rigidez  das  barras  (ki),  os  coeficientes  de  distribuição  (i)  e  de 
transmissão  (ti).  Em  seguida  distribui‐se  o momento  total  no  nó  pelas 
barras usando os coeficientes de distribuição para obter o equilíbrio no nó 
(M=0).  Os  momentos  obtidos  nas  barras  ligadas  ao  nó  devem  ser 
transmitidos para a outra extremidade de acordo com seu coeficiente de 
transmissão. Finalmente geram‐se os diagramas de momento fletor. 
 
137 
 
Exemplo 01: Seja o pórtico plano  indeslocável com rigidez EI constante e 
igual a 30 kN.m²: Resolva a estrutura pelo Processo de Cross. 
 
 
 
 
 
 
Para  resolver  a  estrutura  primeiramente  fixa‐se  o  nó  e  calculam‐se  os 
momentos de engastamento perfeito: 
 
 
 
Após determinam‐se as rigidezes das barras: 
 
 
 
 
Calculam‐se os coeficientes de distribuição i: 
 
 
 
 
 
 
138 
 
Efetua‐se o equilíbrio do nó, obtendo o momento nas barras: 
 
 
 
 
 
Com os momentos nas barras determinados, efetua‐se a transmissão dos 
momentos para as extremidades opostas, obtendo‐se os momentos finais. 
Nas barras, os momentos finais M>0 (anti‐horário +) e M<0 (horário ‐) 
 
 
 
 
 
Resultando no seguinte diagrama de momento fletor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
139 
 
Exemplo  02:  Seja  a  viga  contínua  com  rigidez  EI  constante  e  igual  a  9 
kN.m². Resolva a estrutura pelo Processo de Cross. 
 
Para resolver a viga primeiramente fixa‐se o giro do nó B e calculam‐se os 
momentos de engastamento perfeito devido às cargas nas barras. 
 
 
 
 
Verifica‐se  que  o  nó  B  está  desequilibrado  de  uma  parcela  MB  como 
ilustrado  abaixo.  Esta  parcela  do momento  deve  ser  repartida  entre  as 
barras  que  concorrem  neste  nó  na  proporção  dos  coeficientes  de 
distribuição. 
 
 
 
 
 
 
140 
 
Então se calculam os coeficientes de distribuição a partir das rigidezes das 
barras a fim de efetuar o equilíbrio do nó. 
 
 
 
 
 
 
Calculados  os  coeficientes  de  distribuição  determina‐se  a  parcela 
desequilibrante  do momento  no  nó  e  distribui‐se  esta  parcela  entre  as 
barras concorrentes a este nó, na proporção dos coeficientes. 
 
 
 
Efetua‐se o equilíbrio dos momentos, encontra‐se o momento no apoio 
interno igual a 14,40 kN.m 
 
 
 
 
 
 
 
141 
 
As  reações  podem  ser  obtidas  a  partir  das  equações  de  equilíbrio  da 
estática,  como  mostrado.  A  partir  dos  valores  das  reações  é  possível 
determinar o ponto de momento máximo e traçar o diagrama de esforço 
cortante da viga. 
O diagrama de momentos fletores é ilustrado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
142 
 
Exemplo  03:  Seja  a  viga  contínua  com  engaste  e  rigidez  EI  constante  e 
igual a 8 kN.m². Calcule a mesma pelo Processo de Cross. 
 
Devemos  fixar  os  nós  deslocáveis.  Fixamos  o  nó  B  e  determinamos  os 
momentos de engastamento perfeito. 
Posteriormente determinamos  as  rigidezes das barras para,  a partir dos 
coeficientes de distribuição, calcular os de transmissão. 
 
 
 
 
 
Fazemos então o equilíbrio do nó B e a transmissão dos momentos para as 
outras extremidades da barra. 
 
 
 
 
 
 
143 
 
A  diferença  dos momentos  aplicados  no  nó  é  MB  =  +60,  portanto  a 
parcela que cabe a cada barra é M1 = ‐0,27.60= ‐43,62 e M2 = ‐0,273.60 = ‐
16,58. 
 
Com o nó B equilibrado obtêm‐se os momentos no engaste A e no apoio 
B. Desta forma, as reações nos apoios podem ser determinadas utilizando 
as equações de equilíbrio da estática e o diagrama de momentos pode ser 
traçado pendurando‐se na linha de fechamento o diagrama de momentos 
das  cargas  atuantes  nos  tramos  considerando  estes  tramos  vigas 
isostáticas. 
 
 
 
 
 
 
 
De forma a complementar o exercício, de posse dos momentos, calcular e 
desenhar o diagrama dos esforços cortantes. 
 
 
 
144 
 
Exercício Proposto 01: Calcule a estrutura abaixo pelo Processo de Cross. 
Considerar EI constante. 
 
Para dois nós ou mais: 
O  processo  deverá  ser  iniciado  pelo  nó  mais  desequilibrado  e  os 
momentos  que  surgem  devido  à  rotação  do  nó  são  somados  para 
equilibrá‐lo.  Estes momentos  são  transmitidos  aos nós  adjacentes pelos 
coeficientes de transmissão. Passa‐se para o próximo nó em desequilíbrio 
e assim sucessivamente até chegar a um valor  ínfimo e desprezível a ser 
transmitido. 
 
Exemplo  04:  Seja  a  viga  contínua  abaixo  com  engaste  e  rigidezEI 
constante e igual a 12 kN.m². Calcule a mesma pelo Processo de Cross. 
 
 
 
 
Calculam‐se os coeficientes de distribuição e transmissão: 
 
   
 
 
145 
 
Calcula‐se a rigidez relativa das barras que concorrem em cada nó a fim de 
determinar o coeficiente de distribuição. No nó B, esses parâmetros são 
dados por: k1 = 9 e k2 = 16. 
 
   
No nó C esses parâmetros são dados por k2 = 16 e k3 = 12. 
 
 
Determinam‐se  as  parcelas  desequilibrantes  nos  nós  B  e  C, 
respectivamente: 
 
Iniciamos  o  processo  pelo  nó  mais  desequilibrado  (B).  Como  agora  o 
equilíbrio do nó B não depende apenas da rotação em B, mas da rotação 
em  C  também,  ao  equilibrarmos  o  nó  B  não  chegaremos  aos  esforços 
finais. No entanto, transmitindo‐se o momento da barra  (2) para o nó C, 
fazendo‐se o equilíbrio deste, transmitindo o momento da barra (2) para B 
e assim sucessivamente, chega‐se aos esforços finais nas barras, converge‐
se para o equilíbrio final dos nós. Cada vez que se procede a um equilíbrio 
de nó passa‐se um traço abaixo dos momentos equilibrantes. 
 
146 
 
A partir dos momentos finais traça‐se a linha de fechamento do gráfico de 
momento  fletor  e  sobre  essa  se  penduram  os  diagramas  de momentos 
devidos aos carregamentos. 
 
Exemplo 05: Seja o pórtico  indeslocável abaixo com rigidez EI e  igual a 1 
kN.m². Calcule o mesmo pelo Processo de Cross. 
 
 
 
 
 
 
Fixam‐se os nós B e C e determinam‐se os momentos de engastamento 
perfeito nas barras e do balanço. 
 
Determinam‐se  as  rigidezes  das  barras  e  os  coeficientes  de  distribuição 
nos nós. 
 
 
 
147 
 
No nó B temos:  
 
No nó C temos:  
 
Como  se  pode  ver  o  nó  C  é  o mais  desequilibrado,  é  nosso  ponto  de 
partida do Processo de Cross. 
A figura abaixo ilustra os momentos que atuam nos nós em equilíbrio B e 
C. O somatório dos momentos e cada nó são iguais a zero. 
 
 
 
148 
 
Atingindo‐se o equilíbrio dos nós do pórtico, determinam‐se os momentos 
das  extremidades  das  barras.  Estes  momentos  formam  a  linha  de 
fechamento do diagrama de momentos. Sobre estas  linhas penduram‐se 
os diagramas de momentos originários do carregamento externo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagramar os esforços normais e cortantes, localizando, com as distâncias, 
os pontos de esforços nulos e conseqüentemente os pontos de momentos 
fletores máximos, bem como os momentos máximos. 
 
Para  estruturas  com mais  de  2  nós,  aplica‐se  o mesmo  procedimento. 
Inicia‐se pelo nó mais desequilibrado e passa‐se para os demais, sempre 
na mesma seqüencia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
149 
 
ESTRUTURAS SIMÉTRICAS 
 
Eixo de Simetria passando pelo CARREGAMENTO SIMÉTRICO: 
Seja a viga contínua com carregamento simétrico abaixo: 
 
 
 
Como o esforço  axial não está  sendo  considerada,  a estrutura pode  ser 
considerada  simétrica.  Lembrando  que M  e  N  são  simétricos  e  V  anti‐
simétrico,  para  carregamento  simétrico,  pode‐se  considerar metade  da 
estrutura e substituir o apoio C por um engaste. 
Resolve‐se então a metade, fazendo o equilíbrio do nó B. 
 
 
 
É bom lembrar que sobre o eixo de simetria de uma viga a rotação é nula. 
 
 
Eixo de Simetria passando pelo APOIO: 
Seja o exemplo abaixo: 
 
 
 
150 
 
 
Pode‐se considerar metade da estrutura deixando C como apoio simples. 
É como se rotulássemos o apoio C uma vez que em C o momento  fletor 
deve  ser  nulo.  Resolve‐se  apenas  esta metade,  lembrando  que,  para  a 
estrutura toda, o DMF será anti‐simétrico e o DEC, simétrico. 
Lembrando que, em uma viga simétrica com carregamento anti‐simétrico, 
o deslocamento vertical sobre o eixo de simetria é nulo. 
  
 
 
Se houver um momento  (M0) aplicado em C,  resultará em um momento 
M0/2 com o mesmo sentido na metade da estrutura. Devido à simetria da 
estrutura,  cada metade  resiste  à metade  do momento  aplicado.  Como 
ilustrado abaixo: 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
151 
 
Exercício Proposto 02: Calcule a estrutura abaixo pelo Processo de Cross. 
Considerar EI constante. 
 
 
 
Exercício Proposto 03: Calcule a estrutura abaixo pelo Processo de Cross. 
Considerar EI constante. 
 
Exercício Proposto 04: Calcule a estrutura abaixo pelo Processo de Cross. 
Considerar EI constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
152 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
BEER, F.P. e JOHNSTON JR, E. R. (1989). Resistência dos materiais. 2a ed. São 
Paulo: McGraw-Hill. 
 
CAMPANARI, Flávio Antônio.(1985). Teoria das estruturas. v.1, 2, 3 e 4. Ed. 
Guanabara Dois. 
 
POPOV, Egor P. (1978). Introdução à mecânica dos sólidos. São Paulo: Edgard 
Blücher. 
 
SUSSEKIND, José Carlos. (1994a). Curso de análise estrutural. v.3. 11a ed.São 
Paulo: Ed.Globo. 
 
LA ROVER, H.L. e DE MORAES, POLIANA DIAS. R. (2005). Apostila ECV 5220 
–Análise Estrutural II. Santa Catarina: ECV/UFSC.