Seções Cônicas

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DEFINIÇÃO
Aplicação dos conceitos de seções cônicas na Geometria Analítica.
PROPÓSITO
Definir as seções cônicas e aplicar seus conceitos nos problemas da Geometria Analítica.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Aplicar a equação e elementos da parábola nos problemas da Geometria Analítica
MÓDULO 2
Aplicar a equação da elipse e da circunferência nos problemas da Geometria Analítica
MÓDULO 3
Aplicar a equação da hipérbole nos problemas da Geometria Analítica
MÓDULO 4
Aplicar a equação geral das cônicas
MÓDULO 1
 Aplicar a equação e elementos da parábola nos problemas da Geometria Analítica.
INTRODUÇÃO
Um conjunto particular de figuras que são analisadas na Geometria Analítica são chamadas de seções cônicas ou simplesmente cônicas.
Estas seções são definidas através de uma interseção entre um plano e um cone, formando a parábola, elipse, hipérbole e suas
degenerações.
Neste módulo, vamos definir as seções cônicas e aplicar as equações da parábola na solução de problemas de Geometria Analítica.
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SEÇÕES CÔNICAS - DEFINIÇÃO
A interseção entre um cone de duas folhas e um plano cria um conjunto de lugares geométricos que são denominados de cônicas ou seções
cônicas. Dependendo da posição relativa entre o plano e o cone, a curva plana formada terá uma equação e, consequentemente, um gráfico,
diferente, sendo chamada de: parábola, elipse ou hipérbole. A circunferência será um caso particular da elipse.
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ELIPSE

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PARÁBOLA

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HIPÉRBOLE
Além destas, existem outras interseções denominadas de cônicas degeneradas, que serão formadas pela interseção do cone com planos
particulares, podendo se formar: um ponto, uma reta, duas retas concorrentes ou duas retas paralelas.
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CÔNICAS DEGENERADAS:
Por exemplo, se o plano passar pelo vértice do cone, podem se formar um ponto, uma reta ou até mesmo duas retas concorrentes.
 DICA
As cônicas apresentam propriedades geométricas que atualmente possuem várias aplicações práticas em construção de antenas, radares,
telescópios, entre outros. Cada cônica e suas degenerações serão analisadas em seus módulos específicos
PARÁBOLA - EQUAÇÃO REDUZIDA
O cone reto é uma figura espacial que apresenta uma abertura angular que parte de seu vértice. Ao cortarmos o cone reto por um plano
perpendicular à sua base e passando bem pelo seu eixo central, forma-se um triângulo. As laterais deste triângulo são as retas denominadas
de geratriz do cone e formam um ângulo α com seu eixo, que é denominado abertura do cone.
Elaborado pelo o autor
CONE RETO

Elaborado pelo autor
TRIÂNGULO
Ao realizar a interseção de um plano com o cone, com o plano tendo um ângulo com o eixo do cone igual a sua abertura, isto é, igual a
α(alpha), a figura que se formará será a de uma parábola. Isto é, o plano secante será paralelo às geratrizes do cone de duas folhas.
Elaborado pelo o autor
 COMENTÁRIO
O caso degenerativo será aquele em que este plano passa pelo vértice, assim, a figura formada será de apenas uma reta (duas retas
coincidentes), que será a reta geratriz do cone.
A parábola é uma curva plana com propriedades geométricas que ajudaram a definir a sua equação.
DEFINIÇÃO DA PARÁBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO
Seja um ponto F e uma reta r dados. A Parábola será o lugar geométrico (conjunto) de todos os pontos do plano, tais que a distância do ponto
ao ponto dado, chamado de foco, será igual à distância do ponto à reta dada, denominada de diretriz.
A distância entre P e a reta diretriz é a metade do parâmetro da parábola e, pela definição, será igual à distância de P ao foco. A figura
apresenta todos os elementos de uma parábola. Observe que o seu eixo será perpendicular à reta diretriz.
Elaborado pelo o autor
O parâmetro da parábola, simbolizado por 2p, será a distância entre o foco (F) e a reta diretriz (r). Observe que o vértice, que é o ponto no
qual a parábola corta seu eixo, também pertence à parábola, assim, a distância entre o vértice e o foco (F) será igual a distância entre o
vértice e a reta diretriz r, que valerá metade do parâmetro, isto é, p.
Para definirmos a equação de uma parábola, iniciaremos com o caso mais simples, colocando os dois eixos cartesianos, um paralelo ao eixo
da parábola e outro paralelo à reta diretriz. Assim, teremos dois casos: a parábola horizontal, com eixo x paralelo ao eixo da parábola e a
parábola vertical com eixo y paralelo ao eixo da parábola. As equações desta forma são denominadas de Equações Reduzidas ou Canônicas
da Parábola.
EQUAÇÃO REDUZIDA DA PARÁBOLA
Vamos começar pelo caso mais simples, uma parábola horizontal, com o vértice da parábola na origem do sistema cartesiano. Considerando
o parâmetro da parábola como 2p, então, a distância de qualquer ponto da parábola ao foco é igual à distância do ponto à reta diretriz e vale
p.
Elaborado pelo o autor
 ATENÇÃO
Assim, os elementos da parábola terão as seguintes coordenadas:
 Vértice V(0,0)
 Foco F(p, 0)
 Eixo da parábola: y = 0
 Diretriz da parábola: x = −p ou x + p = 0
Seja P(x, y) um ponto genérico da parábola, assim dPF = drP, aplicando as equações de distância de ponto a ponto e distância de ponto à
reta já conhecidas:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Elevando ao quadrado:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a equação da parábola horizontal com abertura para o sentido positivo do eixo x e vértice na origem será y² = 4px.
Vamos agora deslocar os eixos, porém mantendo-os paralelos ao eixo de simetria da parábola. Em outras palavras, tirando o vértice da
parábola do centro do sistema cartesiano e colocando o vértice da parábola no ponto V(x0, y0).
Elaborado pelo o autor
 ATENÇÃO
Assim, as coordenadas dos elementos serão:
 Vértice V(x0, y0)
 Foco F(x0+p, y0)
 Eixo da parábola: y = y0
 Diretriz da parábola: x = (x0−p) ou x − (x0−p) = 0
Seja P(x, y) um ponto genérico da parábola, então dPF = drP, igualmente ao caso anterior:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a equação da parábola horizontal com abertura para o sentido positivo do eixo x e vértice no ponto (x0, y0) será (y−y0)² =
4p×(x−x0)
Observe que, se fizer x0 = y0 = 0, cai-se na equação anteriormente definida.
Fazendo o raciocínio análogo para os outros três casos:
 A) PARÁBOLA HORIZONTAL COM ABERTURA NO SENTIDO NEGATIVO DO
EIXO X
 Vértice V(x0, y0)
 Foco f(x0−p, y0)
 Eixo da parábola: y = y0
 Diretriz da parábola: x − (x0+p) = 0
Equação: (y − y0)² = −4p(x−x0)
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎪⎪⎪⎪
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 B) PARÁBOLA VERTICAL COM ABERTURA NO SENTIDO POSITIVO DO EIXO Y:
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
 Vértice V(x0, y0)
 Foco f(x0, y0+p)
 Eixo da parábola: x = x0
 Diretriz da parábola: y − (y0−p) = 0
Equação: (x − x0)² = 4p(y−y0)
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎪⎪⎪⎪
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 C) PARÁBOLA VERTICAL COM ABERTURA NO SENTIDO NEGATIVO DO EIXO Y:
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
 Vértice V(x0, y0)
 Foco f(x0, y0−p)
 Eixo da parábola: x = x0
 Diretriz da parábola: y − (y0+p) = 0
Equação: (x − x0)² = −4p(y−y0)
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎪⎪⎪⎪
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
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⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Uma forma de olhar para a equação reduzida e reconhecer que tipo de parábola está se trabalhando é verificar qual a variável está elevada
ao quadrado. O eixo relacionado à variável que está elevada ao quadrado é paralelo à diretriz da parábola e o eixo relacionado à variável que
não está elevado ao quadrado é paralelo ao eixo de simetria da parábola. Por exemplo, na parábola horizontal, a variável x não está ao
quadrado, e na vertical, a variável y não está ao quadrado.
O sentido daabertura da parábola será dado pelo sinal positivo ou negativo antes do fator 4p (duas vezes o parâmetro da parábola). Se o
sinal for positivo, a abertura coincide com o sentido positivo do eixo, se o sinal for negativo, a abertura tem sentido negativo do eixo.
EXEMPLO 1
Obter a equação da parábola com foco no ponto F(2, 1) e reta diretriz x = 4.
RESOLUÇÃO
Como a reta diretriz é paralela ao eixo y, então a parábola será horizontal.
2p = drF = |
xF−4
√(1²+0²)
| = |
2−4
√(1²+0²)
| = |−2| = 2 → p = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a diretriz está à direita do foco, a parábola terá concavidade à esquerda.
Neste caso, o vértice terá coordenadas
V(x0, y0) = (xF+p, yF) = (2+1, 1) = (3, 1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a equação será dada por
(y − y0)² = −4p(x − x0) → (y−1)² = −4(x−3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2
Seja a parábola de equação (x + 1)² = −4(y−1). Determine os principais elementos da parábola.
RESOLUÇÃO
Observe a equação: trata-se de uma parábola vertical com concavidade virada para baixo.
(x−x0)² = −4p(y−y0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela equação, as coordenadas do vértice serão V(−1 , 1)
O parâmetro 2p =
4
2
= 2 → p = 1
.
As coordenadas do Foco F
(xf, yf) = (x0, y0−p) = (−1, 1−1) = (−1, 0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A reta diretriz terá equação
y = y0 + p = 1 + 1 = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Eixo será
x = x0 = −1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PARÁBOLA - EQUAÇÃO GERAL
Ao se expandir os termos quadráticos da equação reduzida, ter-se-á a equação geral da parábola.
Por exemplo, para o caso da parábola vertical:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma equação do tipo y = ax² + bx + c, com a ≠ 0, b e c reais. Este tipo de equação já foi trabalhado na Álgebra, no tema de funções,
como função quadrática ou do segundo grau.
Se o valor de a for positivo, a parábola será vertical no sentido positivo do eixo y, isto é, parábola com concavidade para cima. Se o valor do a
for negativo, será vertical no sentido negativo do eixo y, ou seja, parábola com concavidade para baixo.
Para as parábolas horizontais, a equação geral será x = ay² + by + c, com a ≠ 0, b e c reais. E o sinal de a informará se a concavidade está
para a direita, sentido positivo do eixo x (a > 0), ou se a concavidade está para a esquerda, sentido negativo do eixo x (a < 0).
 DICA
Para sair da equação reduzida para a geral, basta expandirmos os termos do segundo grau, como feito anteriormente. Para sair da equação
geral para a reduzida, teremos que usar o método de completar quadrados, vide o exemplo.
EXEMPLO 3
Determine a equação reduzida para a parábola de equação x = −y² + 4y + 1
Solução:
ETAPA 01
ETAPA 02
ETAPA 03
Já sabemos que (y±k)² = y² ± 2ky + k², com k real.
Observe o termo (−y² + 4y + 1), o que falta para se ter um quadrado perfeito?
−y² + 4y + 1 = −(y² − 4y + ...) + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare: olhando para a fórmula do quadrado perfeito, o termo entre parênteses pode ser transformado em
(y² − 4y + ...) = (y² − 2×2y + ...) = (y−2)²,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
mas, para isso, está faltando o termo 22.
Para não se modificar a equação, deve ser somado e subtraído:
−2 + 2y + 1 = −(y² − 2y + 2² − 2²) + 1 = −(y² − 4y + 4) − (−4) + 1
= −(y² − 4y + 4) + 5 = −(y − 2)² + 5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
x = −(y − 2)² + 5 → x − 5 = −(y − 2)²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de parábola horizontal, concavidade para a esquerda, vértice V(5, 2) e parâmetro 2p = ½.
O caso degenerativo da reta ser obtido quando o valor do parâmetro tende a zero. Em outras palavras, quando p tende a zero, a parábola vai
se aproximando de uma reta. E no caso de o foco pertencer à diretriz, a reta diretriz será o caso degenerativo da parábola.
Na maioria dos problemas, teremos liberdade de definir os eixos cartesianos paralelos aos eixos da parábola. Porém, quando os eixos
cartesianos não forem paralelos aos eixos da parábola, não existirá a equação reduzida e a equação geral apresentará um termo quadrático
xy. Este tipo de análise será feita no último módulo no estudo da equação geral das cônicas.
PONTO DA PARÁBOLA, INTERSEÇÕES E TANGÊNCIAS
Como qualquer equação de um lugar geométrico na Geometria Analítica, para um ponto pertencer à parábola, suas coordenadas devem
satisfazer a equação da parábola, do contrário, este ponto não pertence à parábola analisada.
Uma aplicação importante é que para se definir uma parábola com eixo de simetria definido, necessita-se de apenas 3 pontos. Assim,
sabendo que a parábola é horizontal ou vertical, dados três pontos, substitui-se estas posições na equação geral da parábola e vai se obter
as constantes reais a, b e c que a definem.
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Para se calcular a interseção da parábola com qualquer outra figura geométrica, basta resolver um sistema com a equação da parábola e da
outra figura. O resultado do sistema deve fornecer os valores de x e y que satisfazem as duas equações. Se o resultado do sistema for
impossível, é porque não existe ponto de interseção entre as figuras. Se o resultado fornecer apenas um ponto (x, y), é porque estas figuras
são tangentes e têm apenas um ponto em comum. Se o resultado for dois pontos, é porque as figuras são secantes entre si.
EXEMPLO 4
Seja a parábola de equação x = y² + 2y + 4. Qual abscissa do ponto pertence à parábola cuja ordenada seja igual a 1?
RESOLUÇÃO
Se o ponto pertence à parábola, ele satisfaz a equação da parábola. Como o ponto P(k, 1) pertence à parábola:
k = 1² + 2×1 + 4 = 7.
EXEMPLO 5
Determine a interseção entre a parábola y = −x² + x + 14 e a reta x + y + 1 = 0.
RESOLUÇÃO
Os pontos de interseção satisfazem as duas equações, assim
{ x + y + 1 = 0 e y = −x² + x + 14
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Achando o valor de y, em função de x, na primeira: y = −x − 1, substituindo na segunda
(−x − 1) = −x² + x + 14 → x² − 2x − 15 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que se chegou a uma equação do segundo grau. Se (delta)Δ = b² − 4ac, assim:
 (delta)Δ < 0: não existe solução → não tem interseção;
 (delta)Δ = 0: existe uma solução → parábola tangente à reta;
 (delta)Δ > 0: existem 2 soluções → parábolas e reta secantes.
No nosso caso,
(delta)Δ = b² − 4ac = (−2)² − 4×(1)×(−15) = 4 + 60 = 64 > 0
x =
2±√64
2
=
2±8
2
= { x = 5 → y = −5 − 1 = −6x = −3 → y = −(−3) − 1 = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, as figuras serão secantes nos pontos (5, −6) e (−3, 2).
TEORIA NA PRÁTICA
Uma antena parabólica tem a forma de uma parábola. Como os sinais enviados pelos satélites vêm de pontos muito distantes, considera-se
que eles chegam à antena paralelos ao seu eixo de simetria, por isso, após refletirem na parabólica, encaminham-se para a direção do seu
foco. Considere que a equação que representa a antena seja dada por y = x² + 8x + 26. Determine a coordenada do foco da antena para que
se possa colocar o receptor no local correto.
RESOLUÇÃO
Assista ao vídeo com a solução desta questão
MÃO NA MASSA
1. SABE-SE QUE O PONTO P(K, 22) PERTENCE À PARÁBOLA COM FOCO NO PONTO F(5, 7) E RETA
DIRETRIZ
Y + 3 = 0. O VALOR DE K É:
A) 10
B) 12
C) 15
D) 17
2. SEJA A PARÁBOLA, COM ABERTURA NEGATIVA: Y2 = −16X − 32, ASSINALE A OPÇÃO QUE REPRESENTA
A RETA DIRETRIZ DESTA PARÁBOLA:
A) y +2 = 0
B) x + 2 = 0
C) y − 2 = 0
D) x − 2 = 0
3. DETERMINE AS COORDENADAS DO FOCO DA PARÁBOLA DA EQUAÇÃO X − 4Y² − 32Y + 4 = 0:
A) (68 + 1/16, −4)
B) (68, −4)
C) (68, 1/16)
D) (1/16, −4)
4. SEJA UMA PARÁBOLA COM VÉRTICE V NA ORIGEM, CUJA RETA FOCAL PASSA NO EIXO O − Y E PASSA
NO PONTO
(4, −2). DESEJA-SE SABER A EQUAÇÃO DA RETA DIRETRIZ E DA PARÁBOLA.
A) x² = 4, diretriz y = 2
B) x² = 2, diretriz y = 2
C) x² = 8, diretriz y = 2
D) x² = −8, diretriz y = 2
5. DETERMINE A O VALOR DE K PARA QUE A RETA X + Y + K = 0 SEJA TANGENTE À PARÁBOLA (X − 1)² = Y −
2.
A) −1/4
B) −5/4
C) 11/4
D) −11/4
6. O PONTO P(2, K) PERTENCE À PARÁBOLA VERTICAL DEFINIDA PELOS PONTOS (1, 8), (−1, 0) E (−2, 2).
DETERMINE O VALOR DE K.
A) 16
B) 18
C) 20
D) 22
GABARITO
1. Sabe-se que o ponto P(k, 22) pertence à parábola com foco no ponto F(5, 7) e reta diretriz
y + 3 = 0. O valor de k é:
A alternativa "C " está correta.
Você entendeu o conceito da equação reduzida da parábola.
Como a reta diretriz é paralela ao eixo x, então a parábola será vertical.
2p = dr F = |
yf + 3
√1² + 0²
| = |
7 + 3
√1² + 0²
| = 10 → p = 5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a diretriz está abaixo do foco, a parábola terá concavidade para cima.
Neste caso, o vértice terá coordenadas
(x0, y0) = (xf, yf − p) = (5, 7 − 5) = (5, 2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a equação será dada por
(x − x0)² = 4p×(y − y0) → (y − 2)² = 20×(x − 5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como P(k, 22) pertence à parábola, ele satisfaz a equação, assim:
(22 − 2)² = 20×(k − 5) → k − 5 = 400/20 = 20 → k = 15
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, alternativa correta é a letra C.
2. Seja a parábola, com abertura negativa: y2 = −16x − 32, assinale a opção que representa a reta diretriz desta parábola:
A alternativa "B " está correta.
Você entendeu o conceito da equação reduzida da parábola.
Temos que a equação reduzida da parábola é dada por:
(y − y0)² = −4p × (x − x0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação dada pelo enunciado é:
y² = −16x − 32
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos reescrever essa última equação da seguinte maneira:
(y − 0)² = −16 × (x + 2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, podemos comparar ela com a equação reduzida da parábola, veja abaixo:
(y − y0)² = −4p × (x − x0)
(y − 0)² = −16 × (x + 2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Perceba na comparação que:
y0 = 0 e que x0 = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos também determinar o valor de p, uma vez que:
−4p = −16
p = 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos que:
x = x0 − p
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma:
x = 2 − 4
x = −2
x + 2 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esta última é a reta diretriz desta parábola.
Desta forma, a alternativa correta é a letra B.
3. Determine as coordenadas do foco da parábola da equação x − 4y² − 32y + 4 = 0:
A alternativa "A " está correta.
Você entendeu o conceito da equação geral da parábola.
x − 4y² − 32y + 4 = 0 → x = 4y² + 32y − 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe o termo (4y² + 32y − 4), o que falta nele para se ter um quadrado perfeito?
4y² + 32y − 4 = 4×(y² + 8y + ...) − 4 = 4×(y² + 2×4y + ...) − 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare: olhando para a fórmula do quadrado perfeito, o termo entre parênteses pode ser transformado em
(y² + 2×4y + ...) = (y + 4)², mas para isso está faltando o termo 4².
Para não se modificar a equação, deve ser somado e subtraído
4(y² + 2×4y + 4² − 4²) − 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
x = 4(y + 4)² − 4 − 4 × 4²
x = 4(y + 4)² − 68
x − 68 = 4(y + 4)²
1/4(x − 68) = (y + 4)²
1/4 = 4p
p = 1/16
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de parábola horizontal, concavidade para direita, vértice V(68, −4) e parâmetro 2p = 1/8.
Assim, o foco terá coordenadas
(xF, yF) = (x0 + p, y0) = (68 + 1/16, −4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a alternativa correta é a letra A.
4. Seja uma parábola com vértice V na origem, cuja reta focal passa no eixo O − Y e passa no ponto
(4, −2). Deseja-se saber a equação da reta diretriz e da parábola.
A alternativa "D " está correta.
Passando pela origem
x² = 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podendo ser positivo ou negativo, a depender do direcionamento da concavidade.
Como o vértice está na origem e o foco abaixo dele, a concavidade está para baixo, logo:
x² = −4
Ep = 2
F = (0, −2)
Diretriz y = 2, pois p = 2
x² = −4×(2), y = −8y
5. Determine a o valor de k para que a reta x + y + k = 0 seja tangente à parábola (x − 1)² = y − 2.
A alternativa "D " está correta.
Você entendeu o conceito de interseção e tangência da parábola.
Assista ao vídeo com a solução desta questão
6. O ponto P(2, k) pertence à parábola vertical definida pelos pontos (1, 8), (−1, 0) e (−2, 2). Determine o valor de k.
A alternativa "B " está correta.
Você entendeu o conceito de pontos da parábola.
Assista ao vídeo com a solução desta questão
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA A PARÁBOLA COM FOCO NO PONTO F(5, 7) E VÉRTICE NO PONTO V(1, 7). SABE-SE QUE O PONTO
P(K, 15) PERTENCE À PARÁBOLA. DETERMINE O VALOR DE K REAL.
A) 3
B) 4
C) 5
D) 7
2. DETERMINE A EQUAÇÃO DA RETA DIRETRIZ DA PARÁBOLA DE EQUAÇÃO Y + 12X² − 96X + 184 = 0.
A) y − 4 = 0
B) y − 12,02 = 0
C) y − 9,02 = 0
D) y − 8,02 = 0
GABARITO
1. Seja a parábola com foco no ponto F(5, 7) e vértice no ponto V(1, 7). Sabe-se que o ponto P(k, 15) pertence à parábola. Determine
o valor de k real.
A alternativa "C " está correta.
Você entendeu o conceito da equação reduzida da parábola.
Como o foco e o vértice têm valores de ordenada iguais, obrigatoriamente a parábola é uma parábola horizontal.
O parâmetro da parábola será dado por
dr F = 2dF V = 2 √(5 − 1)² + (7 − 7)² = 8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o foco está à direita do vértice, a parábola terá concavidade para a direita com equação
(y − y0)² = 4p × (x − x0) → (y − 7)² = 16 × (x − 1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como P(k, 15) pertence à parábola
(15 − 7)² = 8² = 64 = 16 × (x − 1) → x − 1 = 4 → x = 5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a alternativa correta é a letra c.
2. Determine a equação da reta diretriz da parábola de equação y + 12x² − 96x + 184 = 0.
A alternativa "D " está correta.
Você entendeu o conceito da equação geral da parábola.
y + 12x² − 96x + 184 = 0 → y = −12x² + 96x − 184
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe o termo (−12x² + 96x − 184), o que falta neste para se ter um quadrado perfeito?
−12x² + 96x − 184 = −12×(x² − 8 + ...) − 184 = −12×(x² − 2×4 + ...) − 184
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare: olhando para a fórmula do quadrado perfeito, o termo entre parênteses pode ser transformado em
(x² − 2×4 + ...),
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
mas, para isso, está faltando o termo 4².
Para não se modificar a equação, deve ser somado e subtraído
−12×(x² − 2×4x − 4² + 4²) − 184
−12×(x² − 2×4 + 4²) − 184 − 12×(4²)−12×(x − 4)² + 8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
y = −12×(x − 4)² + 8
y − 8 = −12×(x − 4)²
−(1/12)×(y − 8) = (x − 4)²
4p = (1/12) → p = 1/48
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de parábola vertical, concavidade para baixo, vértice V(4, 8) e parâmetro 2p = 1/48.
Assim, a reta diretriz será
y = y0 + p = 8 + 1/48 ≈ 8,02
y − 8,02 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a alternativa correta é a letra D.
MÓDULO 2
 Aplicar a equação da elipse e da circunferência nos problemas da Geometria Analítica
ELIPSE E CIRCUNFERÊNCIA
Quando se intercepta o cone de duas folhas com um plano que forma um ângulo com eixo do cone maior do que seu ângulo de abertura,
forma-se a elipse.
Um caso particular da elipse, quando seus dois eixos forem iguais, é a circunferência.
Neste módulo, iremos aplicar as equações da elipse e da circunferência na solução de problemas de Geometria Analítica.
ELIPSE - EQUAÇÃO REDUZIDA E GERAL
Ao realizar a interseção de um plano com o cone de duas folhas, com o plano tendo um ângulo com o eixo do cone maior do que sua
abertura, a figura que se formará será a de uma elipse.
Quando o plano tiver um ângulo com o eixo do cone menor do que abertura, ele apresentará interseção nas duas folhas do cone. No caso da
elipse, como o ângulo do plano com o eixo do cone é maior do que a abertura do cone, obrigatoriamente ele só consegue cortar uma das
folhas do cone, formando apenas uma figura.
gstraub/Shutterstock
 COMENTÁRIO
Com esta consideração, existem autores que usam outra definição para a criação da elipse: interseção entre um plano e o cone de duas
folhas, com o plano que não é paralelo à geratriz do cone e que o corta em apenas uma das folhas.
O caso degenerativo será aquele em que esse plano passa pelo vértice, assim, a figura formada será de apenas um ponto. Como a parábola,
a elipse é uma curva plana com propriedades geométricas que ajudaram a definir a sua equação.
DEFINIÇÃO DA ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO
Sejam dois pontos fixos F1 e F2 denominados de focos. A elipse será o lugar geométrico (conjunto) de todos os pontos do plano, tais que a
soma da distância do ponto a cada um dos focos é constante. O valor desta soma será igual ao tamanho do eixo maior da elipse. Vide a
figura e os principais elementos da elipse.
Elaborado pelo o autor
Elementos da Elipse
 A1, A2, B1, B2: Vértices da Elipse;
 A1A2: 2a(eixo maior da elipse), a > 0;
 B1B2: 2b(eixo menor da elipse), a > b;
 C: Centro da elipse, encontro dos eixos maior com o menor, ponto médio entre os focos;
 F1 e F2: focos da elipse, sendo F1F2: 2c (eixo focal) com a > c e c > 0;
 Pela definição: sendo F1P+F1P = A1A2 = 2a;
 As retas r1 e r2 são retas diretrizes da elipse.
Repare que os vértices B1 e B2 pertencem à elipse, assim, a distância de B1 aos dois focos segue a definição da elipse que vale 2a. Como
estas distâncias são iguais, B1F1 = B1F2 = a.
Usando o teorema de Pitágoras no triângulo B1OF1 tem-se B1F1
2 = OB1
2 + OF1
2, então se define a relação fundamental ou notável da
elipse, que relaciona os valores dos eixos:
A² = B² + C²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Além disso, define-se a excentricidade (e) como a relação e = c/a. No caso da elipse, a excentricidade vale
0 < e < 1. Existe outra definição para elipse relacionada à distância entre o foco e a diretriz, e que envolve a excentricidade.
Define-se elipse, também, como o lugar geométrico dos pontos cuja distância a um ponto fixo, denominado foco, será igual à distância do
ponto a uma reta fixa, denominada de diretriz, multiplicada por uma constante denominada de excentricidade. Assim, dF P = e dr P. Cada foco
está relacionado a sua reta diretriz. Como visto, no caso da elipse, esta excentricidade é um valor entre zero e um. No caso da excentricidade
igual a 1, não se tem mais uma elipse, e sim uma parábola.
Repare, também, que os vértices A1 e A2 são pontos da elipse, assim dr1 A1 = 1/e dA1 F1. Mas, a distância de A1 até o foco F1 vale
(a−c). Assim, d1/r×(a−c) = a/c×(a−c) = a²/c − a.
Desta forma, a distância da diretriz para o eixo menor da elipse vai ser dada como dr1 A1 + a = a²/c.
As equações das retas diretrizes da elipse serão paralelas ao eixo menor da elipse e estão com uma distância a²/c deste eixo.
Para o caso da elipse com eixos paralelos ao plano cartesiano, se o eixo maior for paralelo ao eixo x, será denominada de elipse horizontal.
Quando o eixo maior for paralelo ao eixo do y, será denominada de elipse vertical.
EQUAÇÃO REDUZIDA OU CANÔNICA DA ELIPSE
Vamos começar pelo caso mais simples, uma elipse horizontal, com o centro da elipse na origem do plano cartesiano.
Elaborado pelo o autor
Seja a Elipse com eixo maior 2a, menor 2b e focal 2c. Assim, os elementos da elipse terão as seguintes coordenadas:
 Centro: C (0,0) e Vértices: A1(−a, 0), A2(a, 0), B1(0, −b) e B2(0, b).
 Focos: F1 (−c, 0) e F2 (c, 0).
 Eixo maior: y = 0 e eixo menor: x = 0
 Retas diretrizes: x = a²/c e x = − a²/c.
Seja P(x, y) um ponto genérico da elipse, assim, a soma das distâncias aos dois focos vale 2a:
dP F1 + dP F2 = 2a → √(x − (−c))² + (y − 0)² + (x − c)² + (y − 0)² = 2a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
√(x + c)² + y² + √(x − c)² + y² = 2a → √(x + c)² + y² + −2a = √(x − c)² + y²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ETAPA 01
ETAPA 02
ETAPA 03
Elevando ao quadrado:
(x + c)² + y² − 4a √(x + c)² +y²+ 4a² = (x − c)² + y²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4a √(x + c)² +y² = (x + c)² + y² − (x − c)² − y² + 4a²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4a √(x + c)² +y² = 4cx + 4a² → √(x + c)² + y² = c/a x + a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Elevando novamente ao quadrado:
(x + c)² + y² = (c/ax + a)²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x² + 2cx + c² + y² = c²/a²x² + 2cx + a² → (1 − c²/a²)x² + y² = a² − c²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(a²−c²/a²)x² + y² = b² → b²/a²x² + y² = b² → b²x² + a²y² = a²b²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, obtém-se a equação reduzida: x²/a² + y²/b² = 1.
Se agora deslocarmos o centro do sistema cartesiano mantendo os eixos paralelos aos eixos da elipse horizontal, de forma que o novo centro
da elipse esteja agora no ponto C(x0, y0):
Elaborado pelo o autor
Seja a mesma elipse com eixo maior 2a, menor 2b e focal 2c. Assim, os elementos da elipse horizontal, de centro C(x0, y0), terão as
seguintes coordenadas:
 ATENÇÃO
 Centro: C(x0, y0) e Vértices: A1(x0−a, y0), A2(x0 +a, y0), B1(x0, y0−b) e
B2(x0, y0+b).
 Focos: F1(x0 − c, y0 ) e F2 (x0+c, y0 ).
 Eixo maior: y = y0 e eixo menor: x = x0
 Retas diretrizes: x = x0 + a²/c e x = x0 − a²/c.
Seja P(x, y) um ponto genérico da elipse, então, a soma das distâncias aos dois focos vale 2a:
Elaborado pelo o autor
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Manipulando matematicamente de forma similar à feita no raciocínio anterior, obtém-se a equação reduzida da elipse horizontal como:
Elaborado pelo o autor
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo o raciocínio análogo para o caso da elipse vertical: seja a elipse com eixo maior 2a, menor 2b e focal 2c. Reforça-se que a diferença
é que o eixo maior está paralelo agora ao eixo y e não mais ao eixo x. Assim, os elementos da elipse vertical de centro
C(x0, y0) terão as seguintes coordenadas:
 ATENÇÃO
 Centro: C(x0, y0) e Vértices: B1(x0−b, y0) e B2( x0+ b, y0).
 Focos: F1(x0, y0−c) e F2(x0, y0+c).
 Eixo maior:x = x0 e eixo menor: y = y0
 Retas diretrizes: y = y0 + a²/c e y = y0 − a²/c.
Manipulando matematicamente de forma similar à feita no raciocínio anterior, obtém-se a equação reduzida da elipse horizontal como:
Elaborado pelo o autor
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É uma forma de olhar para a equação reduzida e conhecer com que tipo de elipse está se trabalhando e verificar qual variável está dividida
pelo maior fator. Lembre-se de que a > b, assim, o maior denominador da equação reduzida representa a variável que está paralela ao eixo
maior. Por exemplo, na elipse horizontal, o denominador da fração relacionada à variável x é maior do que o denominador da fração
relacionada à variável y.
Um ponto a ressaltar: chama-se elipse equilátera a elipse em que b = c.
Neste caso, pela relação notável, a = √2b = √2c e a excentricidade (e) será √2/2.
EXEMPLO 6
Determine a equação reduzida da elipse de focos nos pontos (2, 3) e (2, 11) e eixo maior igual a 10.
RESOLUÇÃO
Ao analisar os dois focos, verifica-se que eles têm a mesma abscissa, logo, a elipse é horizontal, isto é, eixo maior paralelo ao eixo x.
dF1 F2 = 2c = 11 − 3 = 8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como uma das coordenadas é igual, basta fazer a diferença entre as outras coordenadas. Assim, c = 4.
O enunciado informou que 2a = 10 → a = 5
Usando a relação:
b² = a² − c² = 25 − 16 = 9 → b = 3,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
pois b > 0.
O centro é o ponto médio entre os focos. Terá a mesma abscissa, x0 = 2, e a ordenada será y0 =
11 + 3
2
= 7.
Desta forma, a equação reduzida será:
(x−2)²
25
+
(y − 7)²
9
= 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 7
Determine a equação da elipse e de suas retas diretrizes, sabendo que tem o centro no ponto (1 , −1), eixo maior igual a 26, paralelo ao eixo
y, e excentricidade 12/13.
RESOLUÇÃO
Como o eixo maior é paralelo ao eixo y, a elipse é vertical.
2a = 26 → a = 13. Pela excentricidade,
e = c/a = 12/13 → c = 13 × 12/13 = 12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a relação:
b² = a² − a² = 169 − 144 = 25 → b = 5, pois b > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a equação reduzida será:
(x−1)²
25
+
(y+1)²
169
= 169
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As retas diretrizes serão
y = y0 ±a²/c = −1 ± 169/12 → y = 157/12 e y = −181/12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retas diretrizes:
12y − 157 = 0 e 12y + 181 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De forma similar à parábola, ao se expandir os termos do segundo grau das equações reduzidas, transforma-se a equação para sua forma
geral, com tipo ax² + by² + cx + dy + e = 0, com a, b, c, d, e reais e atendendo a algumas particularidades. Para se transformar a equação
geral para equação reduzida, usaremos o método de completar quadrados já visto anteriormente, com a diferença que aplicaremos para as
duas variáveis (x e y), pois, na parábola, fazíamos apenas para a variável que estava ao quadrado, sendo limitada apenas a uma.
EXEMPLO 8
Determine as coordenadas do foco da elipse de equação
x² + 4y² − 4x + 24y + 36 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Solução:
ETAPA 01
ETAPA 02
ETAPA 03
x² − 4x + 4y² + 24y + 36 = 0 → (x² − 4x) + 4(y² + 6y) + 36 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² − 2 × 2x + ...) + 4(y² + 2×3y + ...) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O primeiro termo pode ser completado para formar
(x − 2)² = x² − 4x + 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O segundo termo pode ser completado para formar
(y + 3)² = y² + 6y + 9
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
(x² − 4x + 4 − 4) + 4(y² + 6y + 9 − 9) + 36 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² − 4x + 4) + 4(y² + 6y + 9) + 36 − 4 − 36 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x − 2)² + 4(y + 3)² = 4 →
(x − 2)²
4
+
(y + 3)²
1
= 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma elipse horizontal de centro (2, −3), eixo maior a = √4 = 2 e b = √1 = 1.
Usando a relação:
c² = a² − b² = 4 − 1 = 3 → c = √3, pois c > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Coordenadas dos focos (2 + c, −3) e (2 − c, −3), desta forma, os focos serão
F1(2 + √3, −3) e F2(2 − √3, −3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando os eixos cartesianos não forem paralelos aos eixos da elipse, ela será inclinada em relação aos eixos e não será mais possível
definir-se sua equação reduzida. Para este caso, só teremos a equação geral que apresentará obrigatoriamente um tempo do tipo xy. Este
tipo de análise será feita no último módulo no estudo da equação geral das cônicas.
O caso degenerativo do ponto será obtido analiticamente quando o valor do a e b tenderem para zero, assim, a elipse tende a ser apenas o
ponto designado pelo centro.
CIRCUNFERÊNCIA
A circunferência é um caso particular de elipse. Ela aparece quando o eixo focal é zero. Neste caso, a = b, isto é, o eixo maior é igual ao eixo
menor e será denominado de raio. Se partirmos da equação reduzida da elipse, fazendo a = b = r, obtém-se a equação reduzida da
circunferência que será dada por:
Elaborado pelo o autor
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esta circunferência terá centro C(x0, y0) e raio r, com r > 0.
A circunferência é a elipse de excentricidade zero.
A circunferência será definida como o lugar geométrico de todos os pontos do plano em que a distância a um ponto fixo, denominado de
centro, é constante. Esta constante é denominada de raio. Assim, dC P = r, r > 0. Se for usada a fórmula da distância entre pontos, obtém-se
a mesma equação reduzida já apresentada.
EXEMPLO 9
Determine a equação da circunferência de centro (3, −2) e raio 3.
RESOLUÇÃO
Sabe-se que a equação da circunferência é (x − x0)² + (y − y0)² = r²
Assim, a equação fica
(x − 3)² + (y + 2)² = 3² = 9
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao se expandir os termos de segundo grau da equação reduzida, será apresentada a equação geral ou normal da circunferência. Assim,
teremos uma equação do tipo ax² + ay² + bx + cy + d = 0, com a, b, c e d reais e atendendo a algumas particularidades. Esta equação será
estudada no último módulo deste tema. No entanto já pode ser observado que obrigatoriamente o coeficiente do termo x² e y² deve ser igual e
não existirá termo do tipo xy.
Sendo dada a equação geral para se obter a equação reduzida, usa-se o método de se completar o quadrado, já estudado anteriormente
neste tema.
EXEMPLO 10
Determine o centro e raio da circunferência de equação
x² + y² + 2x − 8y + 8 = 0.
RESOLUÇÃO
x² + y² + 2x − 8y + 8 = 0 → (x² + 2x) + (y² − 8y) + 8 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² + 2×1x + ...) + (y² − 2×4y + ...) + 8 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O primeiro termo pode ser completado para formar (x + 1)² = x² + 2x + 1
O segundo termo pode ser completado para formar (y − 4)² = y² − 8y + 16
Assim,
(x² + 2x + 1 − 1) + (y² −8y + 16 − 16) + 8 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² + 2x + 1) + (y² −8y + 16) + 8 − 1 − 16 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x + 1)² + (y − 4)² = 9→ Centro em (−1, 4) e raio √9 = 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PONTO DA ELIPSE, INTERSEÇÕES E TANGÊNCIAS
Um ponto pertencer ou não à elipse ou circunferência, bem como a obtenção de interseções ou tangências destas com outras curvas segue a
mesma metodologia já analisada para parábola e qualquer outro lugar geométrico.
Assim, para um ponto pertencer à elipse ou à circunferência, as suas coordenadas devem satisfazer a sua equação.
Para se obter interseções, deve-se realizar um sistema entre as equações dessa elipse ou circunferência com a outra curva e se observar o
resultado desse sistema. Podem ocorrer casos de não interseção, de tangência ou de secância.
EXEMPLO 11
Determine a posição relativa entre a reta x − √6y + 3 = 0 e a elipse
(x − 1)²
4
+
y²
2
= 1
.
RESOLUÇÃO
Determinando a equação geral da elipse (x − 1)² + 2y² = 4
Para verificar os pontos de interseção, é preciso resolver o sistema
{
(x − 1)² + 2y² = 4
x − √6y + 3 = 0
→ x = √6y − 3,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
substituindo na primeira equação.
(√6y − 3 − 1)² + 2y² = 4 → (√6y − 4)² + 2y² = 4 → 6y² + 8√6y + 16 + 2y² = 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
8y² + 8√6y + 12 = 0 → 2y² + 2√6y + 3 = 0 → y =
2√6 ± √(2√6)² − 4×3×2
4
=
√6
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x = √6y − 3 → x = √6√6/2 − 3 = 0,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
assim, existe um ponto de interseção P(0, √6/2).
A reta e a elipse são tangentes.
Um caso particular, com uma metodologia alternativa para se verificar a posição relativa entre duas circunferências, pode ser comparando a
distância entre os centros com os valores dos raios, assim:
 ATENÇÃO
dC1 C2 > r1 + r2: circunferências são externas sem interseção;
dC1 C2 = r1 + r2: circunferências são tangentes exteriores;
dC1 C2 = |r1 − r2|: circunferências são tangentes interiores;
|r1 − r2| < dC1 C2 < r1 + r2: circunferências secantes;
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
0 < dC1 C2 < |r1 − r2|: circunferências são internas sem interseção;
dC1 C2 = 0: circunferências concêntricas.
De formas semelhante, temos uma alternativa para circunferência e reta. Comparando a distância entre o centro da circunferência e a reta
com o raio da circunferência. Assim:
 ATENÇÃO
dC reta > r: circunferência e reta sem interseção;
dC reta = r: circunferência e reta tangentes;
dC reta < r: circunferência e reta secantes.
EXEMPLO 12
Determine a posição relativa entre as circunferências (x + 1)² + (y + 1)² = 4 e a circunferência (x − 4)² + (y − 1)² = 16.
RESOLUÇÃO
Pelas equações, a primeira circunferência tem centro C1(−1, −1) e o raio √4 = 2. A segunda circunferência tem centro C2(4, 1) e o raio √16 =
4.
Determinando a distância entre os centros C1 e C2:
dC1 C2 = √(4 − (−1))² + (1 − (−1))² = √29
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como 6 > √29 > 5, r1 + r2 = 7e|r1 − r2| = 2, então|r1 − r2| < dC1 C2 < r1 + r2 e as circunferências são secantes.
Para determinar os dois pontos comuns, deve ser resolvido o sistema entre as duas circunferências.
EXEMPLO 13
Determine a posição relativa entre a circunferência x² + (y − 1)² = 4 e a reta 3x + 4y + 8 = 0.
RESOLUÇÃO
Pela equação, a circunferência tem centro C(0, 1) e raio √4 = 2.
Determinando a distância entre os centros C e a reta: |
3×0 + 2×1 + 8
√3² + 4²
| =
10
5
= 2
Como dC reta = r: circunferência e reta são tangentes.
Para achar o ponto de tangência, resolve-se o sistema entre as duas equações.
TEORIA NA PRÁTICA
Um sistema de localização é composto por duas estações fixas que se encontram a uma mesma altura e a uma distância de 2 km entre si.
Para se calibrar o sistema, um veículo segue uma trajetória plana, de forma a manter a soma de suas distâncias a cada uma das estações
fixas e igual a 6 km. Determine a figura formada pelo deslocamento deste veículo e calcule a sua excentricidade.
RESOLUÇÃO
Considere um ponto da trajetória do veículo. Como no enunciado, a soma das distâncias deste ponto para cada uma das estações fixas é
constante.
Como a elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é constante, a figura formada pela
trajetória do veículo será uma elipse cujo foco se encontra em cada uma das estações e o eixo de maior valor tem 6 km, que é a soma
constante das distâncias.
Assim, 2c = 2km → c = 1km e 2a = 6km → a = 3km.
A excentricidade e = c/a = 1/3
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE A EQUAÇÃO REDUZIDA DA ELIPSE QUE TEM RETA DIRETRIZ PARALELA AO EIXO DAS
ABSCISSAS, CENTRO NO PONTO (3, 4), EIXO FOCAL DE 4 E EXCENTRICIDADE DE 0,5.
A)
(x + 3)²
12
A) +
(y + 4)²
16
A) = 1
B)
(x + 3)²
16
B) +
(y + 4)²
12
B) = 1
C)
(x − 3)²
12
C) +
(y − 4)²
16
C) = 1
D)
(x − 3)²
16
D) +
(y − 4)²
12
D) = 1
2. DETERMINE A EQUAÇÃO DO LUGAR GEOMÉTRICO DOS PONTOS DE UM PLANO CUJA DISTÂNCIA AO
PONTO (−1, 2) É FIXA E IGUAL A 5.
� ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DAS EQUAÇÕES ABAIXO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) (x + 1)² + (y − 2)² = 25
B) (x + 1)² + (y − 2)² = 5
C) (x − 2)² + (y + 1)² = 5
D) (x + 1)² + 5×(y − 2)² = 25
3. DETERMINE A EXCENTRICIDADE DA ELIPSE DADA PELA EQUAÇÃO 2X² + Y² − 12X + 2Y + 11 = 0
� ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DAS EQUAÇÕES ABAIXO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) √2/2
B) √3/2
C) √3
D) √2
4. SEJA C O CENTRO DA CIRCUNFERÊNCIA (X − 2)² + (Y + 4)² = 8. SEJA F O FOCO, DE ABSCISSA POSITIVA
DA ELIPSE
X²
36
+
(Y − 2)²
35
= 1. DETERMINE A DISTÂNCIA ENTRE
C E F.
A) √37
B) √36
C) √40
D) √32
5. DETERMINE A(S) INTERSEÇÃO(ÕES) DA CIRCUNFERÊNCIA (X + 3)² + (Y + 4)² = 20 COM A RETA
X − Y + 1 = 0.
A) Apenas (−1, 0)
B) Apenas (−7, −6)
C) (3, 4) e (7, 6)
D) (−1, 0) e (−7, −6)
6. OS PONTOS P(A, B) E Q(C, D) SÃO OS PONTOS DE INTERSEÇÃO ENTRE AS RETAS DIRETRIZES DA
ELIPSE EQUILÁTERA HORIZONTAL DE CENTRO NO PONTO (2, 2) COM EIXO MENOR IGUAL A 4√2 E A RETA
X + Y − 2 = 0. DETERMINE O VALOR DE A + B + C + D:
A) 4√2
B) 4
C) −4
D) −4√2
GABARITO
1. Determine a equação reduzida da elipse que tem reta diretriz paralela ao eixo das abscissas, centro no ponto (3, 4), eixo focal de 4
e excentricidade de 0,5.
A alternativa "C " está correta.
Você entendeu o conceito da equação reduzida da elipse.
Se a reta diretriz é paralela ao eixo das abscissas (x), então a elipse é vertical.
Como 2c = 4 → c = 2. Mas e = c/a = 1/2, então a = 2c = 4
Usando a relação notável:
b² = a² − c² = 16 − 4 = 12 → b = 2√3, pois b > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a equação será
(x − 3)²
(2√3)²
+
(y − 4)²
4²
= 1 →
(x − 3)²
12
+
(y − 4)²
16
= 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma a alternativa correta é a letra C.
2. Determine a equação do lugar geométrico dos pontos de um plano cuja distância ao ponto (−1, 2) é fixa e igual a 5.
� Atenção! Para visualização completa das equações abaixo utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
Você entendeu o conceito da circunferência. O lugar geométrico pedido no enunciado é a circunferência, com centro em (−1, 2) e raio 5.
Assim, a equação
(x − x0)² + (y − y0)² = r²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
será
(x − (−1))² + (y − 2)² = 5²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a alternativa correta é a letra A,
(x + 1)² + (y − 2)² = 25.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Determine a excentricidade da elipse dada pela equação 2x² + y² − 12x + 2y + 11 = 0
� Atenção! Para visualização completa das equações abaixo utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
Você entendeu o conceito daequação geral da elipse. Achando a equação reduzida, completando os quadrados.
Assista ao vídeo com a solução desta questão
4. Seja C o centro da circunferência (x − 2)² + (y + 4)² = 8. Seja F o foco, de abscissa positiva da elipse
x²
36
+
(y − 2)²
35
= 1. Determine a distância entre
C e F.
A alternativa "A " está correta.
Você entendeu o conceito da equação da elipse.
Assista ao vídeo com a solução desta questão
5. Determine a(s) interseção(ões) da circunferência (x + 3)² + (y + 4)² = 20 com a reta
x − y + 1 = 0.
A alternativa "D " está correta.
Você entendeu o conceito da interseção da circunferência com a reta.
Assista ao vídeo com a solução desta questão
6. Os pontos P(a, b) e Q(c, d) são os pontos de interseção entre as retas diretrizes da elipse equilátera horizontal de centro no ponto
(2, 2) com eixo menor igual a 4√2 e a reta x + y − 2 = 0. Determine o valor de a + b + c + d:
A alternativa "B " está correta.
Você entendeu o conceito da interseção da elipse.
Foi dado 2b = 4√2 → b = 2√2. Se a elipse é equilátera, b = c e consequentemente a = √2b = 4.
Como a elipse é horizontal e centro em (2,2), sua equação será:
(x − 2)²
16
+
(y − 2)²
8
= 1
A reta diretriz é paralela ao eixo das ordenadas (y):
x = x0 ± a²/c = 2 ±
16
2√2
= 2 ±4√2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As retas serão
x = 2 + 4√2 e x = 2 − 4√2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo a interseção com a reta dada y = 2 − x
Assim, os pontos serão:
x = 2 + 4√2 → y = −4√2 e x = 2 −4√2 → y = 4√2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
a + b + c + d = 2 + 4√2 + 2 − 4√2 − 4√2 + −4√2 = 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a alternativa correta é a letra B.
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA A ELIPSE COM UM DOS FOCOS EM (2, 1), CENTRO EM (2,0) E UM DOS VÉRTICES EM (2, 6).
DETERMINE A EQUAÇÃO REDUZIDA DA ELIPSE.
A)
(x − 2)²
36
A) +
(y)²
35
A) = 1
B)
(x − 2)²
35
B) +
(y)²
36
B) = 1
C)
(x − 2)²
36
C) +
(y)²
1
C) = 1
D)
(x − 2)²
1
D) +
(y)²
36
D) = 1
2. O PONTO (3, 4) PERTENCE À CIRCUNFERÊNCIA DE CENTRO EM (1, 2). DETERMINE A EQUAÇÃO DA
CIRCUNFERÊNCIA.
� ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DAS EQUAÇÕES ABAIXO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) (x − 3)² + (y − 4)² = 2√2
B) (x + 3)² + (y + 4)² = 2√2
C) (x − 3)² + (y − 4)² = 8
D) (x + 3)² + (y + 4)² = 8
GABARITO
1. Seja a elipse com um dos focos em (2, 1), centro em (2,0) e um dos vértices em (2, 6). Determine a equação reduzida da elipse.
A alternativa "B " está correta.
Você entendeu o conceito da equação reduzida da elipse. Se o Centro está em (2, 0) e o foco em (2, 1), a elipse obrigatoriamente é vertical e
o valor do c = 1 − 0 = 1 (diferença entre o foco e o centro).
Igualmente, o valor do semieixo maior a = 6 − 0 = 6 (diferença entre o vértice e o centro).
Usando a relação notável:
b² = a² − c² = 36 − 1 - 35 → b = √35, pois b > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a equação será
(x − 2)²
35
+
(y)²
36
= 1
Desta forma, a alternativa correta é a letra B.
2. O ponto (3, 4) pertence à circunferência de centro em (1, 2). Determine a equação da circunferência.
� Atenção! Para visualização completa das equações abaixo utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
Você entendeu o conceito de circunferência.
Se o ponto pertence à circunferência, a distância dele ao centro será o raio da circunferência:
dP C = r = √ = √(3 − 1)² + (4 − 2)²4 + 4 = 2√2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a equação
(x − x0)² + (y − y0)² = r²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
será
(x − 3)² + (y − 4)² = (2√2)²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a alternativa correta é a letra C,
(x − 3)² + (y − 4)² = 8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
 Aplicar a equação da hipérbole nos problemas da Geometria Analítica
HIPÉRBOLE
Quando se intercepta o cone de duas folhas com um plano que forma um ângulo com eixo do cone menor do que seu ângulo de abertura,
este corta cada uma das duas folhas do cone, formando a hipérbole.
A partir de agora iremos aplicar as equações da hipérbole na solução de problemas de Geometria Analítica.
HIPÉRBOLE – EQUAÇÃO REDUZIDA E GERAL
A interseção de um plano com o cone de duas folhas com o plano tendo um ângulo com o eixo do cone menor do que sua abertura, forma
nas duas folhas do cone a figura que será denominada hipérbole. 
Existem autores que usam outra definição para a criação da hipérbole: interseção entre um plano e o cone de duas folhas com o plano que
não é paralelo à geratriz do cone e que o corta em suas duas folhas.
gstraub/Shutterstock
O caso degenerativo relacionado à hipérbole será o conjunto de duas retas concorrentes, obtido quando o plano passa pelo vértice. Como as
duas cônicas anteriores, a hipérbole é uma curva plana com propriedades geométricas que ajudaram a definir a sua equação.
DEFINIÇÃO DA HIPÉRBOLE COMO LUGAR GEOMÉTRICO
Sejam dois pontos fixos F1 e F2 denominados de focos. A hipérbole será o lugar geométrico (conjunto) de todos os pontos do plano tais que
o módulo da diferença da distância do ponto a cada um dos focos é constante. O valor do módulo desta diferença será igual ao tamanho do
eixo real da hipérbole. Vide a figura e os principais elementos da hipérbole.
Elaborado pelo o autor
 ATENÇÃO
Elementos da Hipérbole
A1, A2: Vértices da hipérbole;
A1A2: 2a(eixo real ou transverso da hipérbole), a > 0;
B1B2: 2b(eixo imaginário da hipérbole), b > 0;
C: Centro da hipérbole, Encontro dos eixos real e imaginário, Ponto médio entre os focos;
F1 e F2: focos da hipérbole, sendo F1F2: 2c(eixo focal), com c > a;
Pela definição: sendo |F1P − F2P| = A1A2 = 2a;
As retas r1 e r2 são retas diretrizes da hipérbole.
O eixo imaginário é um eixo abstrato que será explicado posteriormente à sua criação. Como na elipse, a hipérbole tem uma relação notável
ou fundamental: c² = b² + a².
Da mesma forma com as cônicas anteriores, define-se a excentricidade (e) como a relação e = c/a. No caso da hipérbole, a excentricidade
vale e > 1. Existe outra definição para hipérbole relacionada à distância entre o foco e a diretriz e que envolve a excentricidade.
Define-se hipérbole, também, como o lugar geométrico dos pontos cuja distância a um ponto fixo, denominado foco, será igual à distância do
ponto a uma reta fixa, denominada de diretriz, multiplicada por uma constante denominada de excentricidade. Assim, dF P = e×dr P. No caso
da hipérbole, similar à elipse, cada foco está relacionado a sua reta diretriz.
Repare, também, que os vértices A1 e A2 são pontos da hipérbole, assim, dr A1 = 1/edA1 F1. Mas a distância de A1 até o foco F1 vale (c − a).
Logo,
dr A1 = 1/e(c − a) = a/c(c − a) = a − a²/c
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a distância da diretriz para o eixo imaginário da hipérbole será dado como a − dr1 A1 = a²/c. A equação das retas diretrizes da
hipérbole serão paralelos ao eixo imaginário da hipérbole e estão com uma distância a²/c deste eixo.
Assim, a distância da diretriz para o eixo menor da elipse será dada como dr1 A1 + a = a²/c.
ruzanna/Shutterstock
Iniciaremos com o caso dos eixos real e imaginário serem paralelos ao eixos cartesianos. Neste caso, teremos a hipérbole horizontal quando
o eixo real for paralelo ao eixo x, e a hipérbole vertical quando o eixo real for paralelo ao eixo y.
EQUAÇÃO REDUZIDA OU CANÔNICA DA HIPÉRBOLE
Vamos começar pelo caso mais simples, uma hipérbole horizontal, com o centro da hipérbole na origem do plano cartesiano. Seria o desenho
anterior, com o eixo x sobre o eixo real,o eixo y sobre o eixo imaginário e o centro no ponto (0, 0).
 ATENÇÃO
Seja a hipérbole com tamanho do eixo real 2a, imaginário 2b e focal 2c. Assim, os elementos da hipérbole terão as seguintes coordenadas:
 Centro: C (0,0) e vértices: A1(−a, 0) e A2(a, 0).
 Focos: F1 (−c, 0 ) e F2(c, 0 ).
 Eixo real: y = 0 e eixo imaginário: x = 0
 Retas diretrizes: x = a²/c e x = −a²/c.
Seja P(x, y) um ponto genérico da hipérbole, assim, a diferença das distâncias aos dois focos vale 2a:
|dP F1 − dP F2| = 2a → | √(x − (−c))² + (y − 0)² − √(x − c)² + (y − 0)²| = 2a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
| √(x + c)² + y² − √(x − c)² + y²| = 2a → √(x + c)² + y² = √(x − c)² + y² ± 2a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ETAPA 01
ETAPA 02
ETAPA 03
Elevando ao quadrado:
(x + c)² + y² = (x − c)² + y² ± 4a √(x − c)² + y² + 4a²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
± 4a √(x − c)² + y² = (x + c)² + y² − (x − c)² − y² − 4a²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
± 4a √(x − c)² + y² = 4cx − 4a² → ± √(x − c)² + y² = c/ax − a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Elevando novamente ao quadrado:
(x − c)² + y² = (c/ax − a)²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x² − 2cx + c² + y² = c²/a²x² − 2cx + a² → (c²/a² − 1)x² − y² = c² − a²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como c > a → c² − a² > 0, então, existe um número real b tal que c² − a² = b². Aqui é o ponto da criação do eixo imaginário.
(
c² − a²
a²
)x² − y² = b² → b²/a²x² − y² = b² → b²x² − a²y² = a²b²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, obtém-se a equação reduzida:
x²
a²
−
y²
b²
= 1
Se agora deslocarmos o centro do sistema cartesiano mantendo os eixos paralelos aos eixos da hipérbole horizontal, de forma que o novo
centro da hipérbole está agora no ponto C(x0, y0).
Seja a mesma hipérbole com eixo real 2a, imaginário 2b e focal 2c. Assim, os elementos da hipérbole horizontal, de centro
C(x0, y0), terão as seguintes coordenadas:
Elaborado pelo o autor
 ATENÇÃO
 Centro: C(x0, y0) e vértices: A1(x0−a, y0) e A2(x0+a, y0).
 Focos: F1(x0−c, y0) e F2( x0+c, y0).
 Eixo real: y = y0 e eixo imaginário: x = x0
 Retas diretrizes: x = x0 + a²/c e x = x0 − a²/c.
Seja P(x, y) um ponto genérico da hipérbole, logo, a diferença das distâncias aos dois focos vale 2a:
Elaborado pelo o autor
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Manipulando matematicamente de forma similar à feita no raciocínio anterior, obtém-se a equação reduzida da hipérbole horizontal como:
Elaborado pelo o autor
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo o raciocínio semelhante ao caso da hipérbole vertical. Seja a Hipérbole com eixo real 2a, imaginário 2b e focal 2c. Reforça-se que a
diferença é que o eixo real está paralelo, agora, ao eixo y, e não mais ao eixo x. Assim, os elementos da hipérbole vertical de centro C(x0, y0)
terão as seguintes coordenadas:
 ATENÇÃO
 Centro: C(x0, y0) e vértices: A1(x0, y0 − a ) e A2(x0, y0 + a).
 Focos: F1(x0, y0−c) e F2(x0, y0 + c).
 Eixo real: x = x0 e eixo imaginário: y = y0
 Retas diretrizes: y = y0 + a²/c e y = y0 − a²/c.
Manipulando matematicamente de forma semelhante à feita no raciocínio anterior, obtém-se a equação reduzida da hipérbole vertical como:
Elaborado pelo o autor
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma forma de olhar para equação reduzida e reconhecer o tipo de hipérbole com que está se trabalhando é verificar qual variável está com o
sinal negativo, tendo o número 1 do lado direito. Ressalta-se que, diferentemente da elipse, b pode ser maior do que a na hipérbole. Por
exemplo, na hipérbole horizontal, o sinal negativo está antes da fração relacionada à variável y e, na hipérbole vertical, antes da fração
relacionada à variável x.
marekuliasz/Shutterstock
 COMENTÁRIO
Um ponto a ressaltar: chama-se de hipérbole equilátera a hipérbole com a = b. Neste caso, pela relação notável c = √2b = √2a e a
excentricidade (e) será √2.
EXEMPLO 14
Determine a equação reduzida da hipérbole de focos nos pontos (2, 3) e (2, 13) e eixo real igual a 6.
RESOLUÇÃO
Ao analisar os dois focos, verifica-se que eles têm a mesma abscissa, dessa forma, a hipérbole é vertical, isto é, o eixo real é paralelo ao eixo
y.
2a = 6, logo a = 3.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo:
dF1 F2 = 2c = √(2 − 2)² + (13 − 2)² = 10.
c = 5.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela relação:
b² = c² − a² = 4
y0 =
13 + 3
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Equação reduzida −
x − 2
16
+
y − 8
9
= 1
EXEMPLO 15
Determine a equação da hipérbole vertical e de suas diretrizes, sabendo que tem o centro no ponto (1, −1), eixo real igual a 16 e
excentricidade 2.
RESOLUÇÃO
Como a hipérbole é vertical, o eixo real é paralelo ao eixo y.
2a = 16 → a = 8.
Pela excentricidade
e = c/a = 2 → c = 2a = 16
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a relação:
b² = c² − a² = 256 − 64 = 192 → b = 8√3, pois b = > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim sendo, a equação reduzida será: −
(x − 1)²
192
+
(y + 1)²
64
= 1.
As retas diretrizes serão
y = y0 ± a²/c = −1 ± 64/16 → y = 3 e y = −4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retas diretrizes: y − 3 = 0 e y + 4 = 0.
De forma similar à parábola e à elipse, ao se expandir os termos do segundo grau das equações reduzidas, transforma-se a equação para
sua forma geral, com tipo ax² + by² + cx + dy + e = 0, com a, b, c, d, e reais e atendendo a algumas particularidades. Para se transformar a
equação geral para equação reduzida, usaremos o método de “completar quadrados” já visto anteriormente.
EXEMPLO 16
Determine as coordenadas do foco da elipse de equação:
y² − 2x² + 4x + 2y − 9 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
y² − 2x² + 4x + 2y − 1 = 0 → (−2)×(x² − 2x) + (y² + 2y) − 9 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(−2)×(x² − 2×1x + ...) + (y² + 2×1y + ...) − 9 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O primeiro termo pode ser completado para formar
(x − 1)² = x² − 2x + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O segundo termo pode ser completado para formar
(y + 1)² = y² + 2y + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
(−2)×(x² − 2x + 1 − 1) + (y² + 2y + 1 − 1) − 9 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(−2)×(x² − 2x + 1) + (y² + 2y + 1) − 1 + 2 − 9 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(−2)×(x² − 1) + (y + 1)² = 8 → −
(x − 1)²
4
+
(y + 1)²
8
= 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma hipérbole vertical de centro (1, −1), eixo real a = √8 = 2√2 = 2 e b = √4 = 2
Usando a relação:
c² = a² + b² = 4 + 8 = 12 → c = 2√3, pois c > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Coordenadas dos focos (1, −1 − c) e (1, −1 + c), desta forma os focos serão
F1(1, −1 − 2√3) e F2(1, −1 + 2√3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Rawpixel.com
Quando os eixos cartesianos não forem paralelos aos eixos da hipérbole, ela será inclinada em relação aos eixos e não será mais possível
 definir sua equação reduzida.Para este caso, só teremos a equação geral que apresentará obrigatoriamente um tempo do tipo xy.
Um ponto pode pertencer ou não à hipérbole ou os problemas de interseção ou tangência se resolvem da mesma forma que foram
solucionadas para outras cônicas. Assim, para um ponto pertencer, as coordenadas do ponto devem satisfazer a sua equação e, para se
obter interseções, deve-se realizar um sistema entre as equações da hipérbole com a outra curva e se observar o resultado deste sistema,
podendo ocorrer casos de não interseção, de tangência ou de secância.
A hipérbole tem duas retas assíntotas para as quais ela se aproxima quando varia para o mais ou menos infinito.
As equações das assíntotas serão dadas por:
HIPÉRBOLE HORIZONTAL:
(y − y0) = ±b/a(x − x0)
HIPÉRBOLE VERTICAL:
(y − y0) = ±a/b(x − x0)
TEORIA NA PRÁTICA
Um telescópio é montado baseado na propriedade refletora da hipérbole. Um raio quando incide por um dos focos, segue uma reta cuja
extensão passa no outro foco. Seja a equação que regula a lente do telescópio hiperbólica:
(x + 2)²
16
−
(y − 3)²
9
= 1
Determine as coordenadas do foco desta lente.
RESOLUÇÃO
Verifica-se pelo sinal negativo antes da fração com variável y que a hipérbole é horizontal com centro em C(−2 , 3). A metade do eixo real, a,
vale e a metade do eixo imaginário, b, vale √16 = 4 e a metade do eixo imaginário, b, vale √9 = 3.
Pela relação notável:
c² = a² + b² = 16 + 9 = 25 → c = 5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na hipérbole horizontal, as coordenadas do foco serão (x0 − c, y0) e (x0 + c, y0).
No caso da lente hiperbólica, ter-se-á foco nos pontos (−2 − 5, 3) e (−2 + 5, 3).
Assim, os focos serão (−7, 3) e (3, 3).
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE A EQUAÇÃO REDUZIDA DA HIPÉRBOLE QUE TEM RETA DIRETRIZ PARALELA AO EIXO DAS
ORDENADAS, CENTRO NO PONTO (3, 4), EIXO FOCAL DE 4 E EXCENTRICIDADE DE 2.
A)
(x + 3)²
√16 = 4
3
A) −
(y + 4)²
1
A) = 1
B)
(x + 3)²
3
B) +
(y + 4)²
1
B) = 1
C)
(x − 3)²
1
C) −
(y − 4)²
3
C) = 1
D)
(x − 3)²
1
D) +
(y − 4)²
3
D) = 1
2. OBTER O FOCO DA CÔNICA CUJA EQUAÇÃO VALE
(Y + 2)²
7
−
(X + 2)²
2
= 1
A) (−2, 0) e (−2, 2)
B) (−2, −5) e (−2, 1)
C) (−5, −2) e (1, −2)
D) (2, −1) e (2, 5)
3. UM PONTO PERTENCE A UMA HIPÉRBOLE VERTICAL DE EXCENTRICIDADE 2 E QUE TEM EIXO
IMAGINÁRIO IGUAL A 6. ESTE PONTO ESTÁ MAIS PERTO DE F1 DO QUE F2, QUE SÃO OS DOIS FOCOS
DESTA HIPÉRBOLE. SABENDO QUE A DISTÂNCIA ENTRE O PONTO E O FOCO F1 VALE √3, DETERMINE A
DISTÂNCIA ENTRE O PONTO E FOCO F2
A) √3
B) 2√3
C) 3√3
D) 3
4. DETERMINE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A EQUAÇÃO DE UMA DAS ASSÍNTOTAS DA HIPÉRBOLE
COM EQUAÇÃO
(X − 1)²
16
−
(Y + 2)²
9
= 1.
A) 4x + 3y + 5 = 0
B) 3x + 4y + 5 = 0
C) 4x + 3y + 12 = 0
D) 3x − 4y + 11 = 0
5. UMA HIPÉRBOLE TEM CENTRO NA ORIGEM E PASSA NO PONTO (−4 ,1). SABE-SE QUE ESTA HIPÉRBOLE
TEM FOCO EM F(3, 0). DETERMINE A EXCENTRICIDADE DA HIPÉRBOLE.
A) 3√2 ÷ 4
B) 3√3 ÷ 4
C) √2 ÷ 4
D) 3 ÷ 4
6. UMA HIPÉRBOLE COM EXCENTRICIDADE 2 TEM AS RETAS DIRETRIZES COM EQUAÇÃO X − 8 = 0 E X + 2
= 0. SEU CENTRO TEM ORDENADA IGUAL A 1. DETERMINE A EQUAÇÃO CANÔNICA DESTA HIPÉRBOLE.
A)
(x + 8)²
300
A) −
(y − 1)²
100
A) = 1
B) −
(x − 2)²
400
B) +
(y − 1)²
300
B) = 1= 1
C)
(x − 3)²
300
C) −
(y − 1)²
100
C) = 1
D)
(x − 3)²
100
D) −
(y − 1)²
300
D) = 1
GABARITO
1. Determine a equação reduzida da hipérbole que tem reta diretriz paralela ao eixo das ordenadas, centro no ponto (3, 4), eixo focal
de 4 e excentricidade de 2.
A alternativa "C " está correta.
Você entendeu o conceito da equação reduzida da hipérbole.
Se a reta diretriz é paralela ao eixo das ordenadas (y), então a hipérbole é horizontal.
Como 2c = 4 → c = 2. Mas e = c/a = 2, então a = c/2 = 1
Usando a relação notável:
b² = c² − a² = 4 − 1 = 3 → b = √3, pois b > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a equação será
(x − 3)²
1²
−
(y − 4)²
(√3)²
= 1 →
(x − 3)²
1
−
(y − 4)²
3
= 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma a alternativa correta é a letra C.
2. Obter o foco da cônica cuja equação vale
(y + 2)²
7
−
(x + 2)²
2
= 1
A alternativa "B " está correta.
Você entendeu o conceito de hipérbole.
Assista ao vídeo com a solução desta questão
3. Um ponto pertence a uma hipérbole vertical de excentricidade 2 e que tem eixo imaginário igual a 6. Este ponto está mais perto
de F1 do que F2, que são os dois focos desta hipérbole. Sabendo que a distância entre o ponto e o foco F1 vale √3, determine a
distância entre o ponto e foco F2
A alternativa "C " está correta.
Você entendeu o conceito de hipérbole.
Se a reta diretriz é paralela ao eixo das ordenadas (y), então a hipérbole é horizontal.
Se 2b = 6 → b = 3. Como e = 2 = c/a → c = 2a
Usando a relação notável
c² = a² + b² = a² + 3² → (2a)² = a² + 9 → 3a² = 9 → a = √3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas pela definição da hipérbole:
|dP F1 − dP F2| = 2a = 2√3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o ponto está mas perto de F1, a distância é menor para este ponto, assim
|dP F1 − dP F2| = dP F1 − dP F2 = 2√3 → dP F2 = 2√3 + √3 = 3√3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma a alternativa correta é a letra C.
4. Determine a alternativa que apresenta a equação de uma das assíntotas da hipérbole com equação
(x − 1)²
16
−
(y + 2)²
9
= 1.
A alternativa "B " está correta.
Você entendeu o conceito de hipérbole. 
Assista ao vídeo com a solução desta questão
5. Uma hipérbole tem centro na origem e passa no ponto (−4 ,1). Sabe-se que esta hipérbole tem foco em F(3, 0). Determine a
excentricidade da hipérbole.
A alternativa "A " está correta.
Assista ao vídeo com a solução desta questão
6. Uma hipérbole com excentricidade 2 tem as retas diretrizes com equação x − 8 = 0 e x + 2 = 0. Seu centro tem ordenada igual a 1.
Determine a equação canônica desta hipérbole.
A alternativa "D " está correta.
Você entendeu o conceito da equação reduzida da hipérbole. 
Se a reta diretriz é paralela ao eixo das ordenadas (y), então a hipérbole é horizontal.
As retas das diretrizes são x = 8 e x = −2.
Como as equação das retas diretrizes serão x = x0 ± a/e, então:
{
2x0 = 8 − 2 → x0 = 3
2a/e = 8 − (−2) = 10 → a = 5e = 10
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C = a×e = 20 → b² = c² − a² = 400 − 100 = 300 → b = 10√3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a equação da hipérbole será:
(x − 3)²
100
−
(y − 1)²
300
= 1
Desta forma, a alternativa correta é a letra D.
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA A HIPÉRBOLE VERTICAL COM TAMANHO DE EIXO REAL 24 E EIXO FOCAL 26. SABE-SE QUE SEU
CENTRO ESTÁ NO PONTO (0, 3). DETERMINE A EQUAÇÃO REDUZIDA DA HIPÉRBOLE
A)
(x − 2)²
36
A) +
(y)²
35
A) = 1
B)
(y − 3)²
144
B) −
(x)²
25
B) = 1
C)
(x)²
25
C) −
(y − 3)²
144
C) = 1
D)
(x)²
144
D) −
(y − 3)²
25
D) = 1
2. CONSIDERE A SEGUINTE EQUAÇÃO 25Y² − 9X² = 225. QUAIS SÃO AS ASSÍNTOTAS DESSA HIPÉRBOLE?
A) y = ± 3/5x
B) y = ± 5/3x
C) y = ± 25/3x
D) y = ± 9/2x
GABARITO
1. Seja a hipérbole vertical com tamanho de eixo real 24 e eixo focal 26. Sabe-se que seu centro está no ponto (0, 3). Determine a
equação reduzida da hipérbole
A alternativa "B " está correta.
Você entendeu o conceito da equação reduzida da hipérbole.
Se 2a = 24 → a = 12 e 2c = 26 → c = 13. Pela relação notável b2 = c2 − a2 = 169 − 144 = 25.
Assim, b = 5. O enunciado diz que o centro está no ponto (0, 3).
Como a hipérbole é vertical, o sinal de menos e o eixo imaginário ficam abaixo da variável y.
Então, a equação será
(y − 3)²
144
−
(x)²
25
= 1.
Desta forma, a alternativa correta é a letra B.
2. Considere a seguinte equação 25y²− 9x² = 225. Quais são as assíntotas dessa hipérbole?
A alternativa "B " está correta.
A equação pode ser reescrita por:
y²/9 − x²/25 = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde os focos estão no eixo y, 9 = a², 25 = b², V(0, −3).
As assíntotas são dadas por
y = b/a x
y = − b/a x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, para essa equação:
y = ± 5/3 x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resposta correta é a letra C.
MÓDULO 4
 Aplicar a equação geral das cônicas.
EQUAÇÃO GERAL DAS CÔNICAS
Como estudado nos módulos anteriores, todas as cônicas e suas degenerações podem ser representadas por uma equação geral do tipo: ax²
+ bxy + cy² + dx + ey + g = 0, em que a, b, c, d, e, f e g são constantes reais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
jaboo2foto/Shutterstock
Existe uma forma de se analisar esta equação do segundo grau com duas variáveis e se classificar a cônica que está sendo representada
pela equação.
Se b = 0, na equação, isto é, se não existir o termo xy, as cônicas têm seus eixos de simetria paralelos aos eixos cartesianos. Se b ≠ 0, as
cônicas serão inclinadas em relação aos eixos cartesianos. Neste caso, para se obter as equações reduzidas ou canônicas é preciso fazer
uma rotação de eixos cartesianos (só assim é possível obtê-las).
1) SE B = 0 E A = C (COEFICIENTE DE X² IGUAL AO DO Y²):
Nesta hipótese, obrigatoriamente o caso geral é a equação representando uma circunferência, porém pode ser também a sua degeneração, a
qual é um ponto somente, ou até mesmo uma equação que não representa nenhum ponto. Isto é conjunto vazio.
ETAPA 01
ETAPA 02
Deve-se completar quadrados e obter qual valor representará o raio da circunferência:
ax² + ay² + dx + ey + g = 0 → a(x² + d/ax) + a(y² + e/a) = −g
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² + d/ax) + (y² + e/ay) = −g/a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² + d/ax) + (d/2a)² − (d/2a)²) + (y² + e/ay + (e/2a)² − (e/2a)²) = −g/a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² + d/2a)² + (y + e/2a)² = d²/4a² + d²/4a² − g/a = r²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
d²/4a² + d²/4a² − g/a > 0 → r = √(d²/4a² + d²/4a² − g/a)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Circunferência de raio r e centro (− d/2a, −e/2a)
d²/4a² + d²/4a² − g/a = 0 → r = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Um ponto (− d/2a, −e/2a)
d²/4a² + d²/4a² − g/a < 0 → r, não existe: Conjunto vazio.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que a fórmula não precisa ser decorada, basta completar o quadrado.
EXEMPLO 17
Qual o lugar geométrico formado pela equação
x² + y² − 12x + 12y + 72 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Solução:
ETAPA 01
ETAPA 02
ETAPA 03
Verifica-se que não tem o termo xy e o coeficiente que multiplica x² e y² são idênticos, assim, trata-se de uma circunferência, um ponto ou de
um conjunto vazio.
Completando os quadrados
x² − 12x + y² + 12y + 72 = 0 → (x² − 12x) + (y² + 12y) + 72 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² − 2×6x + ...) + (y² + 2×6y + ...) + 72 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O primeiro termo pode ser completado para formar
(x − 6)² = x² − 12x + 36
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O segundo termo pode ser completado para formar
(y + 6)² = y² + 12y + 36
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
(x² − 12x + 36 − 36) + (y² + 12y + 36 − 36) + 72 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² − 12x + 36) + (y² + 12y + 36) + 72 − 36 − 36 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x − 6)² + (y + 6)² = 36 + 36 − 72 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que o valor do r² foi zero, assim, trata-se do ponto (6, −6).
Se r² fosse negativo, a equação representaria um conjunto vazio e se fosse positivo, seria uma circunferência de centro em
(6, −6).
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2) SE A ≠ C (COEFICIENTE DE X² DIFERENTE DO Y²):
Necessita-se determinar uma variável auxiliar (delta)Δ = b² − 4ac
Tendo-se as seguintes possibilidades:
 ATENÇÃO
(delta)Δ = 0: Parábola ou suas degenerações (duas retas paralelas ou duas retas coincidentes);
(delta)Δ < 0: Elipse ou suas degenerações (um ponto ou um conjunto vazio);
(delta)Δ > 0: Hipérbole ou suas degenerações (2 retas concorrentes).
PARÁBOLA E SUAS DEGENERAÇÕES
Se b = 0, obrigatoriamente será uma parábola, não podendo ser uma de suas degenerações. Mas se b ≠ 0, deve-se transformar a equação
em uma do 2o grau em x ou em y. Assim, deve-se calcular o discriminante desta equação do segundo grau ((delta)Δ0).
 ATENÇÃO
(delta)Δ0 for um número real diferente de zero: tem-se duas retas paralelas;
(delta)Δ0 for zero: tem-se duas retas coincidentes;
(delta)Δ0 for diferente de um número real: parábola.
EXEMPLO 18
Identifique o lugar geométrico representado por
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Repare que a equação tem termo xy, isto é, b ≠ 0, e que (delta)Δ = (−4)² − 4×1×4 = 0.
Portanto, será uma parábola ou suas degenerações.
Transformando a equação em uma equação do segundo grau em x:
4x² + y² − 4xy − 22x − 4y + 49 = 0 → 4x² − (22 + 4y)x + (y² − 4y + 49) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O discriminante desta equação vale
(delta)Δ0 = (−22 − 4y)² − 4×4×(y² − 4y + 49)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(delta)Δ0 = 16y² + 176y + 484 − 16y² + 64y − 784 = 240y − 300
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como (delta)Δ0 é diferente de um número real, a equação representa uma parábola inclinada em relação aos eixos cartesianos.
4x2 + y2 − 4xy− 22x− 4y+ 49 = 0
EXEMPLO 19
Identifique o lugar geométrico representado por
x² + 9y² + 6xy + 3x + 9y + 2 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Repare que a equação tem termo xy, isto é, b ≠ 0 e que (delta)Δ = 6² − 4×1×9 = 0.
Portanto, será uma parábola ou suas degenerações.
Transformando a equação em uma equação do segundo grau em x:
x² + 9y² + 6xy + 3x + 9y + 2 = → x² + (3 + 6y)x + (9y² + 9y + 2) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O discriminante desta equação vale
(delta)Δ0 = (3 + 6y)² − 4×1×(9y² + 9y + 2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(delta)Δ0 = 9 + 36y + 36y² − 36y² − 36y − 8 = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como (delta)Δ0 é um número real diferente de zero, a equação representa duas retas paralelas de equações dadas pela solução da equação
do segundo grau
x =
−(3 + 6y) ±√1
2
= {
x = −3y − 2
x = −3y − 1
→ {
x + 3y + 2 = 0
x + 3y + 1 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que, se você multiplicasse as duas retas, obteria a equação do segundo grau dada no enunciado.
ELIPSE E SUAS DEGENERAÇÕES
Se b = 0, deve-se completar os termos retângulos para x e y de forma similar à feita nos casos da circunferência a
(x − x0)² + c (y − y0)² = k.
Assim:
 ATENÇÃO
k > 0: Elipse de centro (x0, y0);
k = 0: um ponto de coordenada (x0, y0);
k < 0: conjunto vazio.
Mas se b ≠ 0, deve-se transformar a equação em uma equação do 2o grau em x ou em y.
Logo, deve se calcular odiscriminante desta equação do segundo grau ((delta)Δ0).
 ATENÇÃO
(delta)Δ0 < 0 para todos pontos (x, y): a equação representará um conjunto vazio;
(delta)Δ0 = 0 apenas para um ponto (x0, y0): a equação representará este ponto;
(delta)Δ0 ≥ 0 para um conjunto de pontos (x, y): a equação representará uma elipse.
EXEMPLO 20
Identifique a cônica representada pela equação
5x² + 2y² + 4xy + 20x + 20y + 44 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Repare que a equação tem termo xy, isto é, b ≠ 0, e que (delta)Δ = 4² − 4×2×5 < 0.
Portanto, será uma elipse ou suas degenerações.
Transformando a equação em uma equação do segundo grau em x:
5x² + 2y² + 4xy + 20x + 20y + 44 = 0 → 5x² + (20 + 4y)x + (2y² + 20y + 44) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O discriminante desta equação vale
(delta)Δ0 = (20 + 4y²) − 4×5×(2y² + 20y + 44)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(delta)Δ0 = 400 + 160y + 16y² − 40y² − 400y − 880 = −24y² − 240y − 480
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(delta)Δ0 = −24y²) − 240y − 480 = −24×(y² + 10y + 20)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que y² + 10y + 20 é uma equação do segundo grau com concavidade para cima, assim,
(delta)Δ0 = −24(y² + 10y + 20) é um equação do segundo grau com concavidade para baixo, logo,
(delta)Δ0 = −24(y² + 10y + 20) assume valores positivos e assumirá valores positivos para y entre as raízes de
(y² + 10y + 20).
Portanto, a equação do enunciado representa uma elipse.
HIPÉRBOLE E SUAS DEGENERAÇÕES
Tanto para b igual ou diferente de zero, deve-se transformar a equação em uma do 2o grau em x ou em y. Então, deve-se calcular o
discriminante desta equação do segundo grau ((delta)Δ0).
 ATENÇÃO
(delta)Δ0 for um quadrado perfeito: a equação representará duas retas concorrentes;
(delta)Δ0 não for um quadrado perfeito: a equação representará uma hipérbole.
EXEMPLO 21
Identifique a figura plana representada pela equação
x² + 2y² + 4x − 5y − xy + 3 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Repare que a equação tem termo xy, isto é, b ≠ 0, e que
(delta)Δ = (−1)² − 4×1×(−2) = 9 > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, será uma hipérbole ou suas degenerações.
Transformando a equação em uma equação do segundo grau em x:
x² − 2y² − xy + 4x − 5y + 3 = 0 → x² + (4 − y)x + (−2y² − 5y + 3) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O discriminante desta equação vale
(delta)Δ0 = (4 − y)² − 4×1×(−2y² − 5y + 3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(delta)Δ0 = 16 − 8y + y² + 8y⊃2 + 20y − 12 = 9y² + 12y + 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(delta)Δ0 = 9y² + 12y + 4 = (3y + 2)²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que (delta)Δ0 é um quadrado perfeito, assim, a equação representará duas retas concorrentes de equações dadas pela solução da
equação do segundo grau:
x =
−(4 − y) ± √(3y + 2)²
2
= {
2x = −4 + y + 3y + 2 → 2x = 4y − 2 → x − 2y + 1 = 0
2x = −4 + y −(3y + 2) → 2x = −6 − 2y → x + y + 3 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
Ao projetar um campo na forma de uma elipse, um projetista gostaria de plotar a elipse no computador através de uma equação que
representa os pontos externos do campo em relação a um sistema cartesiano referenciado. A equação é
2x² + 3y² + 4x − 6y + 6 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Verifique se a equação obtida pelo projetista representa ou não uma elipse.
RESOLUÇÃO
MÃO NA MASSA
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE REPRESENTA A EQUAÇÃO DE UMA PARÁBOLA, DUAS RETAS
PARALELAS OU DUAS RETAS COINCIDENTES:
� ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DAS EQUAÇÕES ABAIXO, UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) 2x² + 2y² + 3x − 4y + 10 = 0
B) 2x² + 2y² − 4xy + 2x − 4y + 10 = 0
C) 2x² + 2y² − xy − 4y + 10 = 0
D) 2x² + 2y² − 4xy − 4y + 10 = 0
2. IDENTIFIQUE O LUGAR GEOMÉTRICO FORMADO PELA EQUAÇÃO
X² + Y² − 12X + 12Y + 12 = 0
� ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) Uma circunferência de centro (6, −6)
B) O ponto (6, −6)
C) Conjunto vazio
D) Uma elipse de centro (6, −6)
3. IDENTIFIQUE O LUGAR GEOMÉTRICO FORMADO PELA EQUAÇÃO
X² + Y² + 2X − 2Y − 2 = 0
� ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) Uma circunferência de centro (−1 , 1)
B) O ponto (−1, 1)
C) Conjunto vazio
D) Uma elipse de centro (−1, 1)
4. MARQUE A ALTERNATIVA DA FIGURA PLANA REPRESENTADA PELA EQUAÇÃO
X² + 4Y² − 4XY − 4X + 12Y + 9 = 0
� ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) Duas retas paralelas
B) Duas retas coincidentes
C) Uma elipse
D) Uma parábola
5. MARQUE A ALTERNATIVA DA FIGURA PLANA REPRESENTADA PELA EQUAÇÃO
X² + 4Y² + 4XY + 6X + 12Y + 9 = 0
� ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) Duas retas paralelas
B) Duas retas coincidentes
C) Uma elipse
D) Uma parábola
6. IDENTIFIQUE O LUGAR GEOMÉTRICO FORMADO PELA EQUAÇÃO
2X² − Y² − XY − 5X + 4Y + 10 = 0
� ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) Duas retas concorrentes
B) Hipérbole
C) Elipse
D) Circunferência
GABARITO
1. Marque a alternativa que representa a equação de uma parábola, duas retas paralelas ou duas retas coincidentes:
� Atenção! Para visualização completa das equações abaixo, utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
Você entendeu o conceito da equação geral das cônicas.
A alternativa a não tem termo retângulo xy, mas os coeficientes de x2 e y2 são iguais, assim, pode ser uma circunferência ou duas
degenerações.
As alternativas B, C e D têm termos retângulos xy, deve-se verificar qual delas tem (delta)&Delta < 0.
b) (delta)Δ = (−4)² − 4×2×2 = 0
c) (delta)Δ = (−1)² − 4×2×2 < 0
d) (delta)Δ = (−4)² − 4×1×(−4) > 0
Portanto, apenas a alternativa B pode ser uma parábola ou suas degenerações.
Desta forma, a alternativa correta é a letra B.
2. Identifique o lugar geométrico formado pela equação
x² + y² − 12x + 12y + 12 = 0
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
Você entendeu o conceito da equação geral das cônicas.
Verifica-se que não tem o termo xy e os coeficientes que multiplicam x2 e y2 são idênticos, assim, trata-se de uma circunferência, um ponto
ou um conjunto vazio.
Completando os quadrados
x² − 12x + y² + 12y + 12 = 0 → (x² − 12x) + (y² + 12y) + 12 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² − 2×6x + ...) + (y² + 2×6y + ...) + 12 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O primeiro termo pode ser completado para formar
(x − 6)² = x² − 12x + 36
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O segundo termo pode ser completado para formar
(y + 6)² = y² + 12y + 36
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
(x² − 12x + 36 − 36) + (y² + 12y + 36 − 36) + 12 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² − 12x + 36) + (y² + 12y + 36) + 12 − 36 − 36 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x − 6)² + (y + 6)² = 36 + 36 − 12 < 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, a equação representa um conjunto vazio.
Desta forma, a alternativa correta é a letra C.
3. Identifique o lugar geométrico formado pela equação
x² + y² + 2x − 2y − 2 = 0
� Atenção! Para visualizaçãocompleta da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
Você entendeu o conceito da equação geral das cônicas.
Verifica-se que não tem o termo xy e os coeficientes que multiplicam x2 e y2 são idênticos, assim, trata-se de uma circunferência, um ponto
ou um conjunto vazio.
Completando os quadrados
x² + 2x + y² − 2y − 2 = 0 → (x² − 2x) + (y² − 2y) −2 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² + 2×1x + ...) + (y² − 2×1y + ...) −2 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O primeiro termo pode ser completado para formar
(x + 1)² = x² + 2x + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O segundo termo pode ser completado para formar
(y − 1)² = y² − 2y + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim.
(x² + 2x + 1 − 1) + (y² − 2y + 1 − 1) − 2 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² + 2x + 1) + (y² − 2y + 1) = 2 + 1 + 1 = 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x + 1)² + (y − 1)² = 4, que é a equação de uma circunferência de centro (−1, 1) e raio 2.
Desta forma, a alternativa correta é a letra A.
4. Marque a alternativa da figura plana representada pela equação
x² + 4y² − 4xy − 4x + 12y + 9 = 0
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
Assista ao vídeo com a solução desta questão
5. Marque a alternativa da figura plana representada pela equação
x² + 4y² + 4xy + 6x + 12y + 9 = 0
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
Você entendeu o conceito da equação geral das cônicas.
Repare que a equação tem termo xy, isto é, b ≠ 0, e que (delta)Δ = (4)×2 − 4×1×4 = 0.
Portanto, será uma parábola ou suas degenerações.
Transformando a equação em uma equação do segundo grau em x:
x² + 4y² + 4xy + 6x + 12y + 9 = 0 → x² + (6 + 4y)x + (4y² + 12y + 9) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O discriminante desta equação vale
(delta)Δ0 = (6 + 4y)² − 4×1×(4y² + 12y + 9)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(delta)Δ0 = 36 + 48y + 16y² − 16y² − 48y − 36 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como (delta)Δ0 é zero, a equação representa duas retas coincidentes.
Seria a reta
x =
−6 − 4y
2
→ x = −3 − 2y → x + 2y + 3 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Verifique que a equação do enunciado é
(x + 2y + 3)(x + 2y + 3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a alternativa correta é a letra A.
6. Identifique o lugar geométrico formado pela equação
2x² − y² − xy − 5x + 4y + 10 = 0
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
Você entendeu o conceito da equação geral das cônicas. 
Assista ao vídeo com a solução desta questão
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. QUAL EQUAÇÃO ABAIXO REPRESENTA A EQUAÇÃO DE UMA ELIPSE OU SUAS DEGENERAÇÕES?
� ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DAS EQUAÇÕES ABAIXO, UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) 2x² + 5y² + 4xy + 20x + 20y + 44 = 0
B) 2x² + 2y² + 4xy + 2x + 4y + 10 = 0
C) x² − 5y² + 2xy + 2x − 4y + 12 = 0
D) 3x² + 3y² + 6x + 4y + 10 = 0
2. QUAL EQUAÇÃO ABAIXO REPRESENTA A EQUAÇÃO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA?
� ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) x² + y² + 4x + 2y + 9 = 0
B) x² + y² + 4x + 2y + 10 = 0
C) x² + y² + 4x + 2y + 12 = 0
D) x² + y² + 4x + 2y + 4 = 0
GABARITO
1. Qual equação abaixo representa a equação de uma elipse ou suas degenerações?
� Atenção! Para visualização completa das equações abaixo, utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
Primeiro é necessário Identificar ao cônica representada pela equação
2x² + 5y² + 4xy + 20x + 20y + 44 = 0.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Solução
A alternativa D não tem termo retângulo xy, mas os coeficientes de x² e y² são iguais, assim, pode ser uma circunferência ou duas
degenerações.
As alternativas A, B e C têm termos retângulos xy, deve-se verificar qual delas tem (delta)Δ < 0.
a) (delta)Δ = 4² − 4×2×5 = −24 < 0
b) (delta)Δ = 4² − 4×2×2 = 0
c) (delta)Δ = 2² − 4×1×(−5) > 0
Portanto, apenas a alternativa A pode ser uma elipse ou suas degenerações.
Desta forma, a alternativa correta é a letra A.
2. Qual equação abaixo representa a equação de uma circunferência?
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
Repare que as equações não têm termo xy, e os coeficientes de x² e y² são iguais, podendo representar uma circunferência, um ponto ou
conjunto vazio.
Completando os quadrados, considerando o termo independente igual a k real:
x² + y² + 4x + 2y + 4 = 0 → (x² + 4x) + (y² + 2y) + k = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² + 2×2x + ...) + (y² + 2×1y + ...) + k = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O primeiro termo pode ser completado para formar
(x + 2)² = x² + 4x + 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O segundo termo pode ser completado para formar
(y + 1)² = y² + 2y + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
(x² + 4x + 4 − 4) + (y² + 2y + 1 − 1) + k = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² + 4x + 4) + (y² + 2y + 1) = − k + 4 + 1 = −k + 5 > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, k < 5 para ser uma circunferência.
Desta forma, a alternativa correta é a letra D.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao longo dos quatro módulos, foi possível descrever as seções cônicas, as quais são figuras geométricas obtidas pela interseção de um
plano com um cone de duas folhas.
As definições da parábola, elipse, circunferência e hipérbole como lugar geométrico em um plano, bem como as suas equações reduzidas ou
canônicas e seus principais elementos, foram apresentadas ao longo dos módulos.
Por fim, foi feita uma análise da equação geral de segundo grau das cônicas para se identificar o lugar geométrico representado por ela.
Dessa maneira, esperamos que você tenha entendido os principais conceitos relacionados às cônicas e seja capaz de aplicá-los nos
problemas de Geometria Analítica.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
BOCHI, Juarez. Cônicas. In: UFRGS – Instituto de Matemática. Consultado em meio eletrônico em: 15 jul. 2020.
COSTA, João Noilton da. Cônicas – Equação Geral do Segundo Grau. In: Geogebra. Consultado em meio eletrônico em: 15 jul. 2020
IEZZI, G. Fundamento de Matemática Elementar 7. 4. ed. São Paulo: Atual, 1978. cap. 5, p. 107-121, cap. 7, p.141-168.
NERY, J.; NÁCUL, L. C. et al. Geometria Analítica - Cônicas. Porto Alegre: Universidade Federal do Rio Grande do Sul – Departamento de
Matemática Pura e Aplicada, 2005.
PEREIRA, Paulo. Curso Cônicas: elipse, hipérbole e parábola. In: Youtube. Consultado em meio eletrônico em: 15 jul. 2020.
STEINBRUNCH, A.; WINTERLE, P. Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. cap. 4, p. 99- 132, cap. 7, 204-274.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, assista aos vídeos e às animações:
Curso Cônicas, do Prof. Paulo Pereira, aulas Elipse, hipérbole e parábola, YouTube.
Curso Cônicas, equação geral do 2º grau, de João Noilton da Costa, Geogebra. Você pode alterar os coeficientes da equação do
segundo grau apresentada e obter o gráfico das cônicas ou de suas degenerações.
Construções e variações dos parâmetros nas cônicas, de Juarez Bochi, Institutode Matemática, UFRGS.
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
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