fazendo matematica BP

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- c) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \) 
 - d) \( y = C_1 \cosh(2x) + C_2 \sinh(2x) \) 
 - **Resposta:** a) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 - **Explicação:** A equação diferencial característica é \( r^2 - 4 = 0 \), então as raízes são \( r 
= \pm 2 \). 
 
3. **Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} + y = 0 \)?** 
 - a) \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \) 
 - b) \( y = C_1 e^x + C_2 e^{-x} \) 
 - c) \( y = C_1 \cosh(x) + C_2 \sinh(x) \) 
 - d) \( y = C_1 x^2 + C_2 x \) 
 - **Resposta:** a) \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \) 
 - **Explicação:** A equação característica é \( r^2 + 1 = 0 \), com raízes \( \pm i \), resultando 
em funções seno e cosseno. 
 
4. **Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 2xy \)?** 
 - a) \( y = Ce^{x^2} \) 
 - b) \( y = Ce^{-x^2} \) 
 - c) \( y = C \sin(x^2) \) 
 - d) \( y = C \cos(x^2) \) 
 - **Resposta:** a) \( y = Ce^{x^2} \) 
 - **Explicação:** Usando separação de variáveis, integramos \( \frac{dy}{y} = 2x \, dx \), 
resultando em \( y = Ce^{x^2} \). 
 
5. **Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} - 9y = 0 \)?** 
 - a) \( y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x} \) 
 - b) \( y = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x) \) 
 - c) \( y = C_1 e^{x/3} + C_2 e^{-x/3} \) 
 - d) \( y = C_1 \cosh(3x) + C_2 \sinh(3x) \) 
 - **Resposta:** a) \( y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x} \) 
 - **Explicação:** A equação característica é \( r^2 - 9 = 0 \), com raízes \( \pm 3 \). 
 
6. **Qual é a solução geral da equação diferencial \( y'' + 4y' + 4y = 0 \)?** 
 - a) \( y = (C_1 + C_2 x)e^{-2x} \) 
 - b) \( y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{2x} \) 
 - c) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \) 
 - d) \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^x \) 
 - **Resposta:** a) \( y = (C_1 + C_2 x)e^{-2x} \) 
 - **Explicação:** A equação característica é \( (r + 2)^2 = 0 \), indicando uma raiz dupla \( r = 
-2 \). 
 
7. **Qual é a solução da equação diferencial \( y'' + y = \sin(x) \)?** 
 - a) \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) - \frac{1}{2} x \cos(x) \) 
 - b) \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) + \frac{1}{2} x \sin(x) \) 
 - c) \( y = C_1 e^x + C_2 e^{-x} - \frac{1}{2} \cos(x) \) 
 - d) \( y = C_1 e^x + C_2 e^{-x} - \frac{1}{2} \sin(x) \) 
 - **Resposta:** a) \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) - \frac{1}{2} x \cos(x) \) 
 - **Explicação:** A solução geral é a soma da solução homogênea e da solução particular. A 
solução homogênea é \( C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \) e a solução particular é \( -\frac{1}{2} x 
\cos(x) \) usando o método dos coeficientes indeterminados. 
 
8. **Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x} \)?** 
 - a) \( y = C x^2 \) 
 - b) \( y = C x^{-2} \) 
 - c) \( y = C \ln(x) \) 
 - d) \( y = C x \) 
 - **Resposta:** a) \( y = C x^2 \) 
 - **Explicação:** Separando variáveis, integramos \( \frac{dy}{y} = \frac{2 \, dx}{x} \), 
resultando em \( y = C x^2 \). 
 
9. **Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} + 6 \frac{dy}{dx} + 9y = 0 
\)?** 
 - a) \( y = (C_1 + C_2 x) e^{-3x} \) 
 - b) \( y = C_1 e^{-3x} + C_2 e^{3x} \) 
 - c) \( y = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x) \) 
 - d) \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^x \) 
 - **Resposta:** a) \( y = (C_1 + C_2 x) e^{-3x} \) 
 - **Explicação:** A equação característica é \( (r + 3)^2 = 0 \), indicando uma raiz dupla \( r = 
-3 \). 
 
10. **Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} - 2 \frac{dy}{dx} + y = 0 \)?** 
 - a) \( y = C_1 e^x + C_2 e^{-x} \) 
 - b) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 - c) \( y = C_1 \cosh(x) + C_2 \sinh(x) \) 
 - d) \( y = C_1 e^{x/2} + C_2 e^{-x/2} \) 
 - **Resposta:** a) \( y = C_1 e^x + C_2 e^{-x} \) 
 - **Explicação:** A equação característica é \( (r - 1)^2 = 0 \), indicando uma raiz dupla \( r = 
1 \). 
 
11. **Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} + y = 0 \ 
 
)?** 
 - a) \( y = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x} \) 
 - b) \( y = C_1 e^{x} + C_2 x e^{x} \) 
 - c) \( y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{2x} \) 
 - d) \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \) 
 - **Resposta:** a) \( y = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x} \) 
 - **Explicação:** A equação característica é \( (r + 1)^2 = 0 \), indicando uma raiz dupla \( r = 
-1 \). 
 
12. **Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = y^2 \)?** 
 - a) \( y = \frac{1}{C - x} \) 
 - b) \( y = \frac{1}{C + x} \) 
 - c) \( y = C e^x \) 
 - d) \( y = C \ln(x) \) 
 - **Resposta:** a) \( y = \frac{1}{C - x} \)