prova ai

Prévia do material em texto

**Resposta**: \(\frac{2}{3}\). 
 **Explicação**: Us 
 
ando a identidade \(\sin^3(x) = \sin(x) (1 - \cos^2(x))\), a integral é reduzida a \(\frac{2}{3}\). 
 
36. **Problema**: Resolva a equação \(x^4 - 8x^2 + 16 = 0\). 
 **Resposta**: \(x = \pm 2\). 
 **Explicação**: Substitua \(u = x^2\), então a equação se torna \(u^2 - 8u + 16 = 0\), que 
pode ser fatorada para \((u-4)^2 = 0\). Portanto, \(u = 4\), e as raízes são \(x = \pm 2\). 
 
37. **Problema**: Calcule a integral \(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{\pi}{4}\). 
 **Explicação**: A integral é a função arc-seno, então \(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, 
dx = \arcsin(x) \bigg|_{0}^{1} = \frac{\pi}{4}\). 
 
38. **Problema**: Determine a soma dos cubos dos primeiros \(n\) inteiros positivos. 
 **Resposta**: \(\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2\). 
 **Explicação**: A fórmula para a soma dos cubos dos primeiros \(n\) inteiros é o quadrado 
da soma dos primeiros \(n\) inteiros. 
 
39. **Problema**: Encontre o valor de \(\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^4} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{\pi}{4\sqrt{2}}\). 
 **Explicação**: Esta integral é mais complexa e envolve técnicas avançadas, mas seu valor é 
conhecido como \(\frac{\pi}{4\sqrt{2}}\). 
 
40. **Problema**: Resolva a equação \(x^2 - 6x + 9 = 0\). 
 **Resposta**: \(x = 3\) (raiz dupla). 
 **Explicação**: A equação pode ser fatorada como \((x - 3)^2 = 0\), então a raiz é \(x = 3\). 
 
41. **Problema**: Determine o valor de \(\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 2x + 2} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln(2)\). 
 **Explicação**: Usando a substituição e técnicas de integração, o valor da integral é 
\(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln(2)\). 
 
42. **Problema**: Qual é o valor de \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^2}{2^k}\)? 
 **Resposta**: 6. 
 **Explicação**: Esta série pode ser resolvida usando técnicas de séries e é conhecida que a 
soma é 6. 
 
43. **Problema**: Encontre a matriz inversa de \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 
\end{pmatrix}\). 
 **Resposta**: \(\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\). 
 **Explicação**: A matriz inversa é dada por \(\frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & 
a \end{pmatrix}\). Para a matriz dada, o determinante é 1. 
 
44. **Problema**: Qual é a solução da equação \(x^3 - 3x - 2 = 0\)? 
 **Resposta**: \(x = 2\), \(x = -1\) e uma raiz complexa. 
 **Explicação**: A equação pode ser fatorada como \((x - 2)(x + 1)(x - \alpha) = 0\), onde 
\(\alpha\) é uma raiz complexa. 
 
45. **Problema**: Calcule o valor de \(\int_{0}^{\pi} \cos^3(x) \, dx\). 
 **Resposta**: 0. 
 **Explicação**: A função \(\cos^3(x)\) é ímpar com relação ao intervalo \([0, \pi]\), então 
sua integral é 0. 
 
46. **Problema**: Determine a integral de \(\int \frac{1}{x^2 + 2x + 5} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{x + 1}{\sqrt{3}} \right) + C\). 
 **Explicação**: A integral pode ser resolvida usando substituição e o método da integral de 
funções racionais com quadrados. 
 
47. **Problema**: Qual é a soma dos ângulos internos de um decágono? 
 **Resposta**: \(1440^\circ\). 
 **Explicação**: Usando a fórmula para a soma dos ângulos internos, \((n-2) \cdot 
180^\circ\), para um decágono, \(n = 10\), então a soma é \((10-2) \cdot 180^\circ = 
1440^\circ\). 
 
48. **Problema**: Resolva a integral \(\int e^{x^2} \, dx\) no intervalo \([0,1]\).