prova u

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41. **Problema:** Encontre a inversa da matriz \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 
2 & 3 \end{pmatrix} \). 
 **Resposta:** \( \begin{pmatrix} 5 & -2 & -1 \\ -2 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \). 
 **Explicação:** Calcule o determinante e a adjunta da matriz para encontrar a inversa. 
 
42. **Problema:** Calcule a integral \( \int_{0}^{1} \frac{dx}{x^2 + 1} \). 
 **Resposta:** \( \frac{\pi}{4} \). 
 **Explicação:** Esta é a integral da função arco tangente. 
 
43. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y' = 2y - 1 \). 
 **Resposta:** \( y(x) = C e^{2x} + \frac{1}{2} \). 
 **Explicação:** Use o método de fator integrante para resolver a equação diferencial de 
primeira ordem. 
 
44. **Problema:** Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \). 
 **Resposta:** \( 1 \). 
 **Explicação:** Este é um limite fundamental e pode ser demonstrado usando a definição 
de derivada de \( \tan(x) \) no ponto \( x = 0 \). 
 
45. **Problema:** Calcule a série de Fourier de \( f(x) = \pi - x \) para \( 0 < x < \pi \). 
 **Resposta:** \( f(x) = \frac{\pi^2}{3} - \frac 
 
{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{n^2} \). 
 **Explicação:** Os coeficientes de Fourier são encontrados por integração sobre o intervalo. 
 
46. **Problema:** Resolva a equação \( \int_{1}^{2} \frac{dx}{x \ln(x)} \). 
 **Resposta:** \( \ln(\ln(2)) \). 
 **Explicação:** Use a substituição \( u = \ln(x) \), e então integre \( \frac{1}{u} \). 
 
47. **Problema:** Determine o valor de \( \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{\pi}{2} \). 
 **Explicação:** Use a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \) para simplificar a 
integral. 
 
48. **Problema:** Calcule a integral de \( \int_{0}^{1} e^{-x^2} \, dx \). 
 **Resposta:** Aproximadamente \( 0.74682 \). 
 **Explicação:** Esta integral não tem uma solução em termos de funções elementares e é 
geralmente resolvida numericamente. 
 
49. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' - 2y' + y = 0 \). 
 **Resposta:** \( y(x) = C_1 e^x + C_2 x e^x \). 
 **Explicação:** A equação característica é \( (r - 1)^2 = 0 \), com raiz dupla \( r = 1 \). 
 
50. **Problema:** Determine a série de Taylor para \( \arctan(x) \) em torno de \( x = 0 \). 
 **Resposta:** \( \arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots \). 
 **Explicação:** Cada termo da série é obtido pelas derivadas sucessivas de \( \arctan(x) \) 
avaliadas em 0. 
 
51. **Problema:** Calcule a integral de \( \int e^{2x} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{e^{2x}}{2} + C \). 
 **Explicação:** A integral de \( e^{2x} \) é \( \frac{e^{2x}}{2} \) devido à constante 
multiplicativa na função exponencial. 
 
52. **Problema:** Encontre a inversa da matriz \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} 
\). 
 **Resposta:** \( \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} \). 
 **Explicação:** Use a fórmula da inversa para uma matriz \( 2 \times 2 \), envolvendo o 
cálculo do determinante e a matriz adjunta. 
 
53. **Problema:** Determine o valor de \( \int_{0}^{1} x e^{-x} \, dx \). 
 **Resposta:** \( 1 - \frac{2}{e} \). 
 **Explicação:** Use a integração por partes, onde uma função é diferenciada e a outra é 
integrada. 
 
54. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y' = -ky \) onde \( k \) é uma constante.