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**Explicação:** Usando a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{x^3 + 2x + 1} \cdot (3x^2 + 2)\). 
 
**47.** Encontre o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x}\). 
**Resposta:** \(0\) 
**Explicação:** O limite é \(0\) porque \(\ln(x)\) cresce mais lentamente que \(x\). 
 
**48.** Resolva a equação diferencial \(\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0\). 
**Resposta:** \(y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)\) 
**Explicação:** A equação diferencial característica é \(r^2 + 1 = 0\), com as raízes \(r = \pm 
i\). 
 
**49.** Calcule a integral definida \(\int_{0}^{1} (3x^3 - 2x) \, dx\). 
**Resposta:** \(\frac{1}{4}\) 
**Explicação:** \(\int_{0}^{1} (3x^3 - 2x) \, dx = \left[ \frac{3x^4}{4} - x^2 \right]_{0}^{1} = 
\frac{3}{4} - 1 = -\frac{1}{4}\). 
 
**50.** Encontre a integral indefinida \(\int x \cos(x) \, dx\). 
**Resposta:** \(x \sin(x) + \cos(x) + C\) 
**Explicação:** Usando integração por partes, \(u = x\) e \(dv = \cos(x) \, dx\), resulta em \(x 
\sin(x) + \cos(x) + C\). 
 
**51.** Resolva a equação \(x^2 + 2xy + y^2 - 4 = 0\). 
**Resposta:** \((x + y)^2 = 4\) 
**Explicação:** A equação pode ser fatorada como \((x + y)^2 = 4\), então \(x + y = \pm 2\). 
 
**52.** Calcule a integral definida \(\int_{0}^{\pi} \cos^2(x) \, dx\). 
**Resposta:** \(\frac{\pi}{2}\) 
**Explicação:** Usando a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\), a integral é 
\(\frac{\pi}{2}\). 
 
**53.** Determine a solução da equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = \frac{x - y}{x + y}\). 
**Resposta:** \(y = C \frac{x - 1}{x + 1}\) 
**Explicação:** Usando a substituição \(v = \frac{y}{x}\), obtemos a solução geral \(y = C 
\frac{x - 1}{x + 1}\). 
 
**54.** Calcule a derivada de \(f(x) = e^{x^2 + 1}\). 
**Resposta:** \(f'(x) = 2x e^{x^2 + 1}\) 
**Explicação:** Usando a regra da cadeia: \(f'(x) = e^{x^2 + 1} \cdot 2x\). 
 
**55.** Encontre a integral indefinida \(\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}} \, dx\). 
**Resposta:** \(\sec^{-1}(x) + C\) 
**Explicação:** Usando a substituição \(x = \sec(\theta)\), a integral é \(\sec^{-1}(x) + C\). 
 
**56.** Resolva a equação \(x^3 + x = 0\). 
**Resposta:** \(x = 0\), \(x = \pm i\) 
**Explicação:** Fatorando: \(x(x^2 + 1) = 0\), então as raízes são \(x = 0\) e \(x = \pm i\). 
 
**57.** Calcule a integral definida \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\). 
**Resposta:** \(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}\) 
**Explicação:** Usando a integral padrão \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \arctan(x)\), obtemos 
\(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}\). 
 
**58.** Determine a derivada de \(f(x) = \sqrt{e^x}\). 
**Resposta:** \(f'(x) = \frac{1}{2} e^{x/2}\) 
**Explicação:** Usando a regra da cadeia, \(f'(x) = \frac{1}{2} e^{x/2}\). 
 
**59.** Encontre a integral indefinida \(\int \frac{e^{-x}}{x} \, dx\). 
**Resposta:** Não tem uma antiderivada elementar 
**Explicação:** A integral de \(\frac{e^{-x}}{x}\) não pode ser expressa em termos de funções 
elementares. 
 
**60.** Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = \cos(x) y\). 
**Resposta:** \(y = C e^{\sin(x)}\)