raiz -q

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**Explicação:** Usando separação de variáveis: \(\int \frac{1}{y} \, dy = \int \cos(x) \, dx\), 
resulta em \(y = C e^{\sin(x)}\). 
 
**61.** Calcule a integral definida \(\int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} \, dx\). 
**Resposta:** \(\ln(2)\) 
**Explicação:** Usando a integral padrão \(\int \frac{1}{x + 1} \, dx = \ln|x + 1|\), obtemos 
\(\ln(2)\). 
 
**62.** Encontre a derivada de \(f(x) = \ln(\sin(x))\). 
**Resposta:** \(f'(x) = \cot(x)\) 
**Explicação:** Usando a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{\sin(x)} \cdot \cos(x) = \cot(x)\). 
 
**63.** Resolva a equação \(e^x + 2e^{-x} = 3\). 
**Resposta:** \(x = \ln(1 + \sqrt{2})\) 
**Explicação:** Multiplicando por \(e^x\) e resolvendo a equação quadrática \(e^{2x} + 2 = 
3e^x\), obtemos \(x = \ln(1 + \sqrt{2})\). 
 
**64.** Calcule a integral indefinida \(\int \frac{\cos(x)}{1 + \sin(x)} \, dx\). 
**Resposta:** \(\ln|1 + \sin(x)| + C\) 
**Explicação:** Usando a substituição \(u = 1 + \sin(x)\), a integral é \(\ln|1 + \sin(x)| + C\). 
 
**65.** Determine a solução da equação diferencial \(\frac{d^2y}{dx^2} - 2 \frac{dy}{dx} + y = 
0\). 
**Resposta:** \(y = C_1 e^x + C_2 x e^x\) 
**Explicação:** A equação diferencial característica é \(r^2 - 2r + 1 = 0\), com a solução geral 
\(y = C_1 e^x + C_2 x e^x\). 
 
**66.** Calcule a derivada de \(f(x) = \sqrt{\ln(x)}\). 
**Resposta:** \(f'(x) = \frac{1}{2x \sqrt{\ln(x)}}\) 
**Explicação:** Usando a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{2} (\ln(x))^{-1/2} \cdot \frac{1}{x}\). 
 
**67.** Encontre a integral definida \(\int_{0}^{1} e^{-x^2} \, dx\). 
 
 
**Resposta:** Não tem uma antiderivada elementar 
**Explicação:** A integral de \(e^{-x^2}\) é conhecida como a função erro e não pode ser 
expressa em termos de funções elementares. 
 
**68.** Resolva a equação \(x^2 + y^2 = 25\) para \(y\). 
**Resposta:** \(y = \pm \sqrt{25 - x^2}\) 
**Explicação:** Isolando \(y\), obtemos \(y = \pm \sqrt{25 - x^2}\). 
 
**69.** Determine a derivada de \(f(x) = \arccos(x)\). 
**Resposta:** \(f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\) 
**Explicação:** Usando a fórmula padrão para a derivada da função arco-cosseno. 
 
**70.** Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\). 
**Resposta:** \(1\) 
**Explicação:** Usando a série de Taylor para \(e^x\) ou a regra de L'Hôpital, o limite é \(1\). 
 
**71.** Encontre a integral indefinida \(\int \frac{1}{x^2 + 2x + 2} \, dx\). 
**Resposta:** \(\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \left(\frac{x + 1}{\sqrt{2}}\right) + C\) 
**Explicação:** Usando a substituição \(u = \frac{x + 1}{\sqrt{2}}\), a integral se torna 
\(\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \left(\frac{x + 1}{\sqrt{2}}\right) + C\). 
 
**72.** Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = e^x y\). 
**Resposta:** \(y = C e^{e^x}\) 
**Explicação:** Usando separação de variáveis: \(\int \frac{1}{y} \, dy = \int e^x \, dx\), resulta 
em \(y = C e^{e^x}\). 
 
**73.** Calcule a integral definida \(\int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx\). 
**Resposta:** \(2\) 
**Explicação:** \(\int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx = -\cos(x) \Big|_0^\pi = 2\). 
 
**74.** Encontre a derivada de \(f(x) = \arctan(x^2)\).