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19. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\ln|\sin(x)| + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = \sin(x)\). 
 
20. **Problema:** Determine a integral definida \(\int_{0}^{\pi} \sin^3(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{4}{3}\). 
 **Explicação:** Use a identidade \(\sin^3(x) = \sin(x) (1 - \cos^2(x))\) e simplifique. 
 
21. **Problema:** Calcule a integral de \(\int \frac{e^x}{x} \, dx\). 
 **Resposta:** Não tem uma solução expressa em termos de funções elementares, 
conhecida como Integral Exponencial. 
 **Explicação:** Esta integral é representada por \( \text{Ei}(x) \), uma função especial. 
 
22. **Problema:** Determine a integral de \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\ln|\ln(x)| + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = \ln(x)\). 
 
23. **Problema:** Calcule a integral definida \(\int_{1}^{2} \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{5}{3} \sqrt{5} - \frac{5}{3}\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(x = \sinh(t)\). 
 
24. **Problema:** Determine a integral \(\int x \sqrt{x^2 + 4} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{3} (x^2 + 4)^{3/2} + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = x^2 + 4\). 
 
25. **Problema:** Calcule a integral definida \(\int_{0}^{\infty} x e^{-x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{2}\). 
 
 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = x^2\), então \(du = 2x \, dx\). 
 
26. **Problema:** Determine a integral de \(\int x \ln(x^2 + 1) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{x^2 \ln(x^2 + 1) - 2x^2 + 2 \arctan(x)}{2} + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = x^2 + 1\). 
 
27. **Problema:** Calcule a integral de \(\int e^{-x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** Não tem uma solução expressa em termos de funções elementares, 
conhecida como a função erro. 
 **Explicação:** Esta integral é representada pela função erro \(\text{erf}(x)\). 
 
28. **Problema:** Determine a integral de \(\int \frac{\sin(x)}{x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\frac{\cos(x)}{x} - \int \frac{\cos(x)}{x^2} \, dx\). 
 **Explicação:** Use a técnica de integração por partes. 
 
29. **Problema:** Calcule a integral definida \(\int_{0}^{\pi/2} x \sin(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{2} - 1\). 
 **Explicação:** Use a técnica de integração por partes. 
 
30. **Problema:** Determine a integral de \(\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{a} \arctan \left(\frac{x}{a}\right) + C\). 
 **Explicação:** Esta é uma forma padrão de integral com \(a \neq 0\). 
 
31. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\ln|1 + e^x| + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = 1 + e^x\). 
 
32. **Problema:** Determine a integral definida \(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x(1 - x)}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\pi\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(x = \sin^2(t)\), transformando a integral em uma forma 
conhecida. 
 
33. **Problema:** Calcule a integral de \(\int x \cos^2(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C\).