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**Explicação:** Use a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\). 
 
34. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\sqrt{1 - x^2} + \arcsin(x) + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(x = \sin(t)\). 
 
35. **Problema:** Calcule a integral definida \(\int_{0}^{1} x^2 \ln(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\frac{1}{9}\). 
 **Explicação:** Use a técnica de integração por partes. 
 
36. **Problema:** Determine a integral de \(\int \frac{\ln(x)}{x + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\ln(x + 1) \ln(x) - \int \frac{\ln(x + 1)}{x} \, dx\). 
 **Explicação:** Use a técnica de integração por partes. 
 
37. **Problema:** Calcule a integral definida \(\int_{0}^{\pi} \cos^2(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{2}\). 
 **Explicação:** Use a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\). 
 
38. **Problema:** Determine a integral de \(\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\text{arcsec}(x) + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(x = \sec(t)\). 
 
39. **Problema:** Calcule a integral de \(\int x e^{-x} \, dx\). 
 **Resposta:** \(-(x + 1) e^{-x} + C\). 
 **Explicação:** Use a técnica de integração por partes. 
 
40. **Problema:** Determine a integral definida \(\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \, dx\). 
 **Resposta:** Não tem uma solução expressa em termos de funções elementares. 
 **Explicação:** Esta integral pode ser abordada com métodos avançados ou numéricos. 
 
41. **Problema:** Calcule a integral \(\int e^{-x^2} \, dx\) usando o método de substituição. 
 **Resposta:** Não tem solução em termos de funções elementares. 
 **Explicação:** Esta integral é representada pela função erro \(\text{erf}(x)\). 
 
42. **Problema:** Determine a integral de \(\int x \sqrt{4 - x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\frac{(4 - x^2)^{3/2}}{3} + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = 4 - x^2\). 
 
43. **Problema:** Calcule a integral definida \(\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x}}{x} \, dx\). 
 **Resposta:** Não tem uma solução expressa em termos de funções elementares, 
conhecida como Integral Exponencial. 
 **Explicação:** Esta integral é representada por \(\text{Ei}(-x)\), uma função especial. 
 
44. **Problema:** Determine a integral de \(\int \frac{1}{x^2 + 2x + 2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \left( \frac{x + 1}{\sqrt{2}} \right) + C\). 
 **Explicação:** Complete o quadrado e use a fórmula para integrais envolvendo \(\arctan\). 
 
45. **Problema:** Calcule a integral de \(\int e^{x} \sin(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{e^x}{2} (\sin(x) - \cos(x)) + C\). 
 **Explicação:** Use integração por partes duas vezes. 
 
46. **Problema:** Determine a integral definida \(\int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{4}\). 
 **Explicação:** Esta integral representa a área de um quarto do círculo unitário. 
 
47. **Problema:** Calcule a integral de \(\int x \cos(x^2) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\sin(x^2)}{2} + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = x^2\). 
 
48. **Problema:** Determine a integral de \(\int \frac{x^3}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{(x^2 + 1)^{3/2}}{3} + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = x^2 + 1\).