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25. **Problema:** Resolva a equação diferencial \(y' = y \ln(y)\). 
 **Resposta:** \(y = e^{x+C}\). 
 **Explicação:** Separando variáveis e integrando, obtemos \(\int \frac{1}{y \ln(y)} \, dy = 
\int dx\), resultando na solução dada. 
 
26. **Problema:** Determine a integral \(\int_{0}^{\pi/2} \sin^2(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{4}\). 
 **Explicação:** Usando a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\), a integral se 
simplifica para \(\frac{\pi}{4}\). 
 
27. **Problema:** Calcule o valor de \(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\). 
 **Resposta:** \(e\). 
 **Explicação:** Este limite é a definição da constante \(e\). 
 
28. **Problema:** Resolva a equação \(y'' - 6y' + 9y = 0\). 
 **Resposta:** \(y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{3x}\). 
 **Explicação:** A equação característica é \((r - 3)^2 = 0\), então as raízes são \(r = 3\) com 
multiplicidade 2. 
 
29. **Problema:** Encontre a transformada de Laplace de \(f(t) = \sin(at)\). 
 **Resposta:** \(\frac{a}{s^2 + a^2}\). 
 **Explicação:** Esta é a fórmula padrão para a transformada de Laplace de funções seno. 
 
30. **Problema:** Calcule o valor de \(\int_{0}^{1} x^2 \ln(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\frac{1}{9}\). 
 **Explicação:** Usando integração por partes, obtemos \(\left[ \frac{x^3}{3} \ln(x) - 
\frac{x^3}{9} \right]_0^1 = -\frac{1}{9}\). 
 
31. **Problema:** Determine a integral definida \(\int_{0}^{2} (x^3 - 4x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\frac{16}{5}\). 
 **Explicação:** Calculando a integral, obtemos \(\left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_0^2 = -
\frac{16}{5}\). 
 
32. **Problema:** Resolva a equação \(y'' - y = 0\). 
 **Resposta:** \(y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x}\). 
 **Explicação:** A equação característica é \(r^2 - 1 = 0\), cujas raízes são \(r = \pm 1\). 
 
33. **Problema:** Encontre o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 5x + 7}{2x^2 + 3}\). 
 **Resposta:** \(\frac{3}{2}\). 
 **Explicação:** Divida numerador e denominador por \(x^2\), e o limite é o coeficiente da 
maior potência de \(x\) no numerador dividido pelo coeficiente da maior potência de \(x\) no 
denominador. 
 
34. **Problema:** Calcule a integral \(\int e^{-2x} \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\frac{1}{2} e^{-2x} + C\). 
 **Explicação:** A integral de \(e^{-2x}\) é \(-\frac{1}{2} e^{-2x} + C\). 
 
35. **Problema:** Resolva o sistema de equações diferenciais \(\begin{cases} x' = x - y \\ y' = x 
+ y \end{cases}\). 
 **Resposta:** \(x(t) = C_1 e^t + C_2 e^{-t}\), \(y(t) = C_1 e^t - C_2 e^{-t}\). 
 **Explicação:** Usando técnicas de sistemas lineares, obtemos essas soluções exponenciais. 
 
36. **Problema:** Determine a integral \(\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\). 
 **Explicação:** Usando a fórmula de Gauss, a integral de \(e^{-x^2}\) sobre todo o eixo real 
é \(\sqrt{\pi}\). A integral de \(0\) a \(\infty\) é metade disso. 
 
37. **Problema:** Encontre a série de Taylor de \(\ln(1 + x)\) em torno de \(x = 0\). 
 **Resposta:** \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}\). 
 **Explicação:** A série é obtida pela expansão de Taylor da função logarítmica. 
 
38. **Problema:** Resolva a equação \(x'' + 4x = 0\). 
 **Resposta:** \(x(t) = C_1 \cos(2t) + C_2 \sin(2t)\). 
 **Explicação:** A equação característica é \(r^2 + 4 = 0\), cujas raízes são \(r = \pm 2i\).