matematica 101110

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1. Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(-1\) 
 d) \(\infty\) 
 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** A função \(\frac{\sin x}{x}\) tende a 1 quando \(x\) se aproxima de 0. Isso é 
um limite fundamental em cálculo. 
 
2. Qual é a derivada de \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)? 
 a) \(3x^2 - 6x + 2\) 
 b) \(3x^2 - 6x + 4\) 
 c) \(2x^2 - 6x + 2\) 
 d) \(3x^2 - 2x\) 
 
 **Resposta:** a) \(3x^2 - 6x + 2\) 
 **Explicação:** A derivada de \(x^3 - 3x^2 + 2x\) é calculada aplicando a regra do poder: 
\(\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}\). 
 
3. Qual é a integral definida de \(\int_{0}^{1} (3x^2 - 2x) \, dx\)? 
 a) \(\frac{1}{2}\) 
 b) \(\frac{1}{3}\) 
 c) \(\frac{2}{3}\) 
 d) \(\frac{5}{6}\) 
 
 **Resposta:** b) \(\frac{1}{3}\) 
 **Explicação:** A integral é \(\int_{0}^{1} (3x^2 - 2x) \, dx = \left[ x^3 - x^2 \right]_{0}^{1} = 
(1 - 1) - (0 - 0) = \frac{1}{3}\). 
 
4. Qual é a derivada de \(f(x) = e^{2x}\)? 
 a) \(2e^{2x}\) 
 b) \(e^{2x}\) 
 c) \(2e^x\) 
 d) \(4e^{2x}\) 
 
 **Resposta:** a) \(2e^{2x}\) 
 **Explicação:** A derivada de \(e^{2x}\) é \(2e^{2x}\) pela regra da cadeia. 
 
5. Qual é o valor da integral indefinida \(\int \frac{1}{x} \, dx\)? 
 a) \(\ln |x| + C\) 
 b) \(\ln x + C\) 
 c) \(\frac{1}{x} + C\) 
 d) \(x \ln x + C\) 
 
 **Resposta:** a) \(\ln |x| + C\) 
 **Explicação:** A integral de \(\frac{1}{x}\) é \(\ln |x| + C\), onde \(C\) é a constante de 
integração. 
 
6. Qual é o valor da série geométrica \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}\)? 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) \(\frac{1}{2}\) 
 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** A série geométrica com razão \(r = \frac{1}{2}\) converge para \(\frac{1}{1 - 
\frac{1}{2}} = 2\). 
 
7. Qual é a segunda derivada de \(f(x) = \cos x\)? 
 a) \(-\cos x\) 
 b) \(\sin x\) 
 c) \(-\sin x\) 
 d) \(\cos x\) 
 
 **Resposta:** a) \(-\cos x\) 
 **Explicação:** A primeira derivada de \(\cos x\) é \(-\sin x\), e a segunda derivada é \(-\cos 
x\). 
 
8. Qual é o valor de \(\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx\)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \(\pi\) 
 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** A integral de \(\sin x\) de \(0\) a \(\pi\) é \(-\cos x \big|_{0}^{\pi} = -(-1 - 1) = 
0\). 
 
9. Qual é o limite de \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 4}\)? 
 a) 3 
 b) 2 
 c) 1 
 d) \(\infty\) 
 
 **Resposta:** a) 3 
 **Explicação:** O limite é \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 4} = \frac{3x^2}{x^2} 
= 3\). 
 
10. Qual é a fórmula de Taylor para \(f(x) = e^x\) centrada em \(a = 0\) até o termo \(x^2\)? 
 a) \(1 + x + \frac{x^2}{2}\) 
 b) \(1 + x + \frac{x^2}{2!}\) 
 c) \(1 + x + \frac{x^2}{2}\) 
 d) \(1 + x + \frac{x^2}{1!}\) 
 
 **Resposta:** b) \(1 + x + \frac{x^2}{2!}\)