matematica 1000010

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**Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** O logaritmo cresce mais lentamente do que qualquer função linear, então 
\(\frac{\ln x}{x}\) tende a 0. 
 
21. Qual é a integral de \(\int \frac{1}{x^2} \, dx\)? 
 a) \(-\frac{1}{x} + C\) 
 b) \(\frac{1}{x} + C\) 
 c) \(-\frac{1}{x^2} + C\) 
 d) \(\frac{1}{x^2} + C\) 
 
 **Resposta:** a) \(-\frac{1}{x} + C\) 
 **Explicação:** A integral de \(\frac{1}{x^2} = x^{-2}\) é \(-x^{-1} = -\frac{1}{x} + C\). 
 
22. Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0^+} x \ln x\)? 
 a) 0 
 b) \(-\infty\) 
 c) \(\infty\) 
 d) 1 
 
 **Resposta:** b) \(-\infty\) 
 **Explicação:** O limite é \(-\infty\) porque \(\ln x\) tende a \(-\infty\) mais rapidamente do 
que \(x\) tende a 0. 
 
23. Qual é o valor da integral indefinida \(\int x e^x \, dx\)? 
 a) \(e^x (x - 1) + C\) 
 b) \(e^x (x + 1) + C\) 
 c) \(e^x x + C\) 
 d) \(e^x x - e^x + C\) 
 
 **Resposta:** a) \(e^x (x - 1) + C\) 
 **Explicação:** Usando integração por partes, obtemos \(e^x (x - 1) + C\). 
 
24. Qual é a derivada de \(f(x) = \tan x\)? 
 a) \(\sec^2 x\) 
 b) \(\cos x\) 
 c) \(\sin x\) 
 d) \(\cot x\) 
 
 **Resposta:** a) \(\sec^2 x\) 
 **Explicação:** A derivada de \(\tan x\) é \(\sec^2 x\). 
 
25. Qual é o valor da integral definida \(\int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx\)? 
 a) 1 
 b) 0 
 c) \(\frac{\pi}{2}\) 
 d) \(\sin x \big|_{0}^{\pi/2} = 1\) 
 
 **Resposta:** a) 1 
 **Explicação:** A integral é \(\sin x \big|_{0}^{\pi/2} = 1 - 0 = 1\). 
 
26. Qual é a fórmula para a derivada de uma função composta \(f(g(x))\)? 
 a) \(f'(x) g'(x)\) 
 b) \(f'(g(x)) g'(x)\) 
 c) \(f(x) g'(x)\) 
 d) \(f'(g(x)) \cdot g(x)\) 
 
 **Resposta:** b) \(f'(g(x)) g'(x)\) 
 **Explicação:** A regra da cadeia diz que a derivada de \(f(g(x))\) é \(f'(g(x)) \cdot g'(x)\). 
 
27. Qual é o valor de \(\int_{-1}^{1} x^3 \, dx\)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) -1 
 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** A função \(x^3\) é ímpar, então a integral de \(-1\) a \(1\) é 0. 
 
28. Qual é a derivada de \(f(x) = \arctan x\)? 
 a) \(\frac{1}{1 + x^2}\) 
 b) \(\frac{1}{1 - x^2}\) 
 c) \(\frac{1}{x^2}\) 
 d) \(\frac{1}{x}\) 
 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{1 + x^2}\) 
 **Explicação:** A derivada de \(\arctan x\) é \(\frac{1}{1 + x^2}\). 
 
29. Qual é a fórmula para a regra do retângulo para uma integral definida de \(\int_{a}^{b} f(x) 
\, dx\) usando \(n\) subintervalos com pontos à esquerda? 
 a) \(\frac{b - a}{n} \sum_{i=0}^{n-1} f(a + i \frac{b - a}{n})\) 
 b) \(\frac{b - a}{n} \sum_{i=1}^{n} f(a + i \frac{b - a}{n})\) 
 c) \(\frac{b - a}{n} \sum_{i=1}^{n-1} f(a + i \frac{b - a}{n})\) 
 d) \(\frac{b - a}{2n} \sum_{i=0}^{n-1} (f(a + i \frac{b - a}{n}) + f(a + (i+1) \frac{b - a}{n}))\) 
 
 **Resposta:** a) \(\frac{b - a}{n} \sum_{i=0}^{n-1} f(a + i \frac{b - a}{n})\) 
 **Explicação:** Esta é a fórmula para a regra do retângulo com pontos à esquerda. 
 
30. Qual é a integral de \(\int \sin^2 x \, dx\)? 
 a) \(\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C\) 
 b) \(\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C\) 
 c) \(\frac{x}{2} - \frac{\cos 2x}{4 
 
} + C\) 
 d) \(\frac{x}{2} + \frac{\cos 2x}{4} + C\)