numeros XXVI

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69. O que é a integral \(\int (6x^5 - 3x^3 + 2) \, dx\)? 
 A) \(\frac{6}{6} x^6 - \frac{3}{4} x^4 + 2x + C\) 
 B) \(\frac{6}{5} x^5 - \frac{3}{4} x^4 + 2x + C\) 
 C) \(\frac{6}{6} x^6 - \frac{3}{4} x^4 + 2x + C\) 
 D) \(\frac{6}{6} x^6 - \frac{3}{3} x^3 + 2x + C\) 
 **Resposta: C) \(\frac{6}{6} x^6 - \frac{3}{4} x^4 + 2x + C\).** 
 Explicação: A integral de \(6x^5\) é \(x^6\), a integral de \(-3x^3\) é \(-\frac{3}{4} x^4\) e a 
integral de \(2\) é \(2x\). Portanto, 
 \[ \int (6x^5 - 3x^3 + 2) \, dx = x^6 - \frac{3}{4} x^4 + 2x + C. \] 
 
70. O que é a derivada de \(h(x) = e^{x^2 + 1}\)? 
 A) \(2x e^{x^2 + 1}\) 
 B) \(e^{x^2 + 1}\) 
 C) \(2 \cdot e^{x^2}\) 
 D) \(2x e^{x^2}\) 
 **Resposta: A) \(2x e^{x^2 + 1}\).** 
 Explicação: Usamos a regra da cadeia: 
 \[ h'(x) = e^{x^2 + 1} \cdot 2x = 2x e^{x^2 + 1}. \] 
 
71. O que é a integral \(\int (x^2 + 4x + 4) \, dx\)? 
 A) \(\frac{1}{3} x^3 + 2x^2 + 4 + C\) 
 B) \(\frac{1}{3} x^3 + 2x^2 + 4x + C\) 
 C) \(\frac{1}{3} x^3 + 2x^2 + 4x + C\) 
 D) \(\frac{1}{3} x^3 + 2x^2 + C\) 
 **Resposta: C) \(\frac{1}{3} x^3 + 2x^2 + 4x + C\).** 
 Explicação: A integral de \(x^2\) é \(\frac{1}{3} x^3\), a integral de \(4x\) é \(2x^2\) e a 
integral de \(4\) é \(4x\). Portanto, 
 \[ \int (x^2 + 4x + 4) \, dx = \frac{1}{3} x^3 + 2x^2 + 4x + C. \] 
 
72. O que é a integral de \(\int (3x^2 + 2x) e^{x^3} \, dx\)? 
 A) \(e^{x^3} + C\) 
 B) \(\frac{3}{4} e^{x^3} + C\) 
 C) \(\frac{1}{3} e^{x^3} + C\) 
 D) \(\frac{1}{3} e^{x^3} + 2 + C\) 
 **Resposta: A) \(e^{x^3} + C\).** 
 Explicação: Usamos a substituição \(u = x^3\), então \(du = 3x^2 \, dx\). Portanto, 
 \[ \int e^{u} \, du = e^{u} + C = e^{x^3} + C. \] 
 
73. O que é a derivada de \(f(x) = 4x^3 + 3x^2 - x + 2\)? 
 A) \(12x^2 + 6x - 1\) 
 B) \(12x^2 + 6x\) 
 C) \(12x^2 - 6x - 1\) 
 D) \(4x^2 + 6x - 1\) 
 **Resposta: A) \(12x^2 + 6x - 1\).** 
 Explicação: Para derivar \(f(x)\), usamos a regra do poder: 
 \(\frac{d}{dx}(4x^3) = 12x^2\), \(\frac{d}{dx}(3x^2) = 6x\), \(\frac{d}{dx}(-x) = -1\). Portanto, 
 \(f'(x) = 12x^2 + 6x - 1\). 
 
74. O que é a integral \(\int (x^2 - 4) \, dx\)? 
 A) \(\frac{1}{3} x^3 - 4 + C\) 
 B) \(\frac{1}{3} x^3 - 4x + C\) 
 C) \(\frac{1}{3} x^3 - 4 + C\) 
 D) \(\frac{1}{3} x^3 - 2x + C\) 
 **Resposta: D) \(\frac{1}{3} x^3 - 2x + C\).** 
 Explicação: A integral de \(x^2\) é \(\frac{1}{3} x^3\) e a integral de \(-4\) é \(-4x\). Portanto, 
 \[ \int (x^2 - 4) \, dx = \frac{1}{3} x^3 - 2x + C. \] 
 
75. O que é a integral \(\int (x^2 + 1) \sin(x) \, dx\)? 
 A) \((x^2 + 1) \cos(x) + 2\sin(x) + C\) 
 B) \((x^2 + 1) \cos(x) - 2\sin(x) + C\) 
 C) \((x^2 + 1) \cos(x) + 2\sin(x) + C\) 
 D) \((x^2 + 1) \cos(x) - 2\sin(x) + C\) 
 **Resposta: B) \((x^2 + 1) \cos(x) - 2\sin(x) + C\).** 
 Explicação: Usamos a integração por partes. 
 
76. O que é a derivada de \(g(x 
Claro! Aqui estão 150 questões de Cálculo 1, cada uma com a sua resposta e uma explicação 
detalhada. 
 
1. Qual é o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\)? 
A) 0 
B) 1 
C) ∞ 
D) Não existe 
**Resposta: B) 1** 
Explicação: Este é um limite fundamental em cálculo. Podemos usar a regra de L'Hôpital ou a 
série de Taylor para encontrar que, à medida que \(x\) se aproxima de 0, \(\frac{\sin(x)}{x}\) se 
aproxima de 1. Assim, o limite é igual a 1. 
 
2. Qual é a derivada da função \(f(x) = e^{2x}\)? 
A) \(2e^{2x}\) 
B) \(e^{2x}\) 
C) \(e^{2x} + 2\) 
D) \(2x e^{2x}\) 
**Resposta: A) \(2e^{2x}\)** 
Explicação: Para derivar a função exponencial, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de 
\(e^{u}\) é \(e^{u} \cdot u'\), onde \(u = 2x\) e \(u' = 2\). Portanto, a derivada de \(f(x) = 
e^{2x}\) se torna \(2e^{2x}\). 
 
3. Qual é a integral indefinida de \(f(x) = 3x^2\)? 
A) \(x^3 + C\) 
B) \(x^3\) 
C) \(\frac{3}{4}x^4 + C\) 
D) \(\frac{1}{3}x^3 + C\) 
**Resposta: D) \(\frac{1}{3}x^3 + C\)** 
Explicação: A integral indefinida de um polinômio \(ax^n\) é dada por \(\frac{a}{n+1}x^{n+1} + 
C\). No caso de \(3x^2\), \(a = 3\) e \(n = 2\), então a integral se torna \(\frac{3}{3}x^{3} + C = 
x^3 + C\). 
 
4. Para qual valor de \(c\) a função \(f(x) = x^2 - 4x + c\) tem um mínimo em \(x = 2\)? 
A) 0 
B) 4 
C) 8 
D) 2 
**Resposta: B) 4** 
Explicação: Para encontrar o mínimo em \(x = 2\), substituímos \(x\) na função: \(f(2) = 2^2 - 
4(2) + c\). Para \(x = 2\) ser o vértice, a parte quadrática precisa assumir o valor mínimo, que é 
0. Portanto, \(4 - 8 + c = 0\) implica \(c = 4\). 
 
5. Qual é o valor da derivada de \(g(x) = \ln(x^2 + 1)\) em \(x = 1\)? 
A) 0 
B) 1 
C) \(\frac{1}{2}\) 
D) 2 
**Resposta: C) \(\frac{1}{2}\)** 
Explicação: Usamos a regra da cadeia. A derivada de \(\ln(u)\) é \(\frac{1}{u} \cdot u'\). Aqui 
\(u = x^2 + 1\), então \(u' = 2x\). Portanto, \(g'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\). Ao substituir \(x = 1\), 
obtemos \(g'(1) = \frac{2 \cdot 1}{1^2 + 1} = \frac{2}{2} = 1\). 
 
6. O que resulta na integral definida \(\int_{0}^{1} (3x^2 + 2) \, dx\)? 
A) 2 
B) 3 
C) 1 
D) \(\frac{5}{3}\) 
**Resposta: B) 3** 
Explicação: A integral definida é calculada da seguinte forma: integramos \(3x^2 + 2\), obtendo 
\(x^3 + 2x\). Avaliamos de 0 a 1: \((1^3 + 2 \cdot 1) - (0^3 + 2 \cdot 0) = 1 + 2 = 3\). 
 
7. Qual é o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 - 2x + 1}{3x^3 + 4}\)?