matematica avançada XII

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**14. Análise Numérica:** 
 
Qual é o objetivo do método de Gauss-Seidel na solução de sistemas lineares? 
 
a) Encontrar autovalores de uma matriz 
b) Resolver equações não lineares 
c) Encontrar uma solução aproximada iterativamente 
d) Melhorar a precisão das integrações numéricas 
 
**Resposta:** c) Encontrar uma solução aproximada iterativamente 
**Explicação:** O método de Gauss-Seidel é usado para resolver sistemas lineares de forma 
iterativa, atualizando as soluções à medida que avança. 
 
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**15. Cálculo:** 
 
Qual é a derivada da função \( f(x) = \ln(x) \)? 
 
a) \( \frac{1}{x} \) 
b) \( \ln(x) \) 
c) \( x \ln(x) \) 
d) \( e^x \) 
 
**Resposta:** a) \( \frac{1}{x} \) 
**Explicação:** A derivada de \( \ln(x) \) é \( \frac{1}{x} \). 
 
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**16. Análise Numérica:** 
 
Qual método é frequentemente usado para resolver equações diferenciais parciais? 
 
a) Método de Eliminação de Gauss 
b) Método de Diferenças Finitas 
c) Método de Newton-Raphson 
d) Método de Eliminação de Gauss-Jordan 
 
**Resposta:** b) Método de Diferenças Finitas 
**Explicação:** O método de diferenças finitas é amplamente utilizado para resolver equações 
diferenciais parciais por aproximações numéricas. 
 
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**17. Cálculo:** 
 
Qual é a integral de \( \int x e^x \, dx \)? 
 
a) \( (x - 1)e^x + C \) 
b) \( (x + 1)e^x + C \) 
c) \( x e^x - e^x + C \) 
d) \( x e^x + e^x + C \) 
 
**Resposta:** c) \( x e^x - e^x + C \) 
**Explicação:** Usando integração por partes, onde \( u = x \) e \( dv = e^x dx \), a integral 
resulta em \( x e^x - e^x + C \). 
 
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**18. Análise Numérica:** 
 
Qual é a característica principal do método de Eliminação de Gauss? 
 
a) Utiliza multiplicação direta de matrizes 
b) Reduz um sistema linear a uma forma triangular 
c) Resolve equações diferenciais ordinárias 
d) Aproxima a solução de sistemas não lineares 
 
**Resposta:** b) Reduz um sistema linear a uma forma triangular 
**Explicação:** O método de eliminação de Gauss transforma um sistema de equações 
lineares em uma forma triangular superior para facilitar a solução. 
 
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**19. Cálculo:** 
 
Qual é a derivada de \( f(x) = \tan(x) \)? 
 
a) \( \sec^2(x) \) 
b) \( \sec(x) \) 
c) \( \cos(x) \) 
d) \( \cot(x) \) 
 
**Resposta:** a) \( \sec^2(x) \) 
**Explicação:** A derivada de \( \tan(x) \) é \( \sec^2(x) \). 
 
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**20. Análise Numérica:** 
 
Qual é a vantagem do método de Runge-Kutta de quarta ordem sobre métodos de ordem 
inferior?