matematica avançada XIV

Prévia do material em texto

Qual é a derivada da função \( f(x) = \ln(x^2) \)? 
 
a) \( \frac{2}{x} \) 
b) \( \frac{1}{x} \) 
c) \( \frac{2x}{x^2} \) 
d) \( \frac{2x}{x^2} \) 
 
**Resposta:** a) \( \frac{2}{x} \) 
**Explicação:** Usando a regra da cadeia e a propriedade dos logaritmos, a derivada de \( 
\ln(x^2) \) é \( \frac{2}{x} \). 
 
--- 
 
**40. Análise Numérica:** 
 
Qual é o método mais adequado para resolver um sistema de equações lineares que tem uma 
matriz diagonal dominante? 
 
a) Método de Eliminação de Gauss 
b) Método de Jacobi 
c) Método de Runge-Kutta 
d) Método de Newton-Raphson 
 
**Resposta:** b) Método de Jacobi 
**Explicação:** O método de Jacobi é eficaz para sistemas com matriz diagonal dominante, 
pois garante a convergência sob essas condições. 
 
--- 
 
**41. Cálculo:** 
 
Qual é a integral indefinida de \( \int (3x^4 - 2x^2 + 5) \, dx \)? 
 
a) \( \frac{3x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + 5x + C \) 
b) \( \frac{3x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + 5x + C \) 
c) \( \frac{3x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + 5x + C \) 
d) \( \frac{3x^5}{5} - \frac{2x^2}{2} + 5x + C \) 
 
**Resposta:** a) \( \frac{3x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + 5x + C \) 
**Explicação:** Integrando termo a termo, temos \( \frac{3x^5}{5} \) para \( 3x^4 \), \( -
\frac{2x^3}{3} \) para \( -2x^2 \), e \( 5x \) para 5. 
 
--- 
 
**42. Análise Numérica:** 
 
Qual é a principal vantagem do método de Conjugado Gradiente? 
 
a) Simplicidade 
b) Alta precisão 
c) Eficiência para sistemas grandes e esparsos 
d) Aplicação direta a sistemas não lineares 
 
**Resposta:** c) Eficiência para sistemas grandes e esparsos 
**Explicação:** O método de Conjugado Gradiente é eficiente para resolver sistemas grandes 
e esparsos, oferecendo boa performance para esses casos. 
 
--- 
 
**43. Cálculo:** 
 
Qual é a integral definida \( \int_{0}^{2} (x^3 - x) \, dx \)? 
 
a) \( \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3} \) 
b) \( \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3} \) 
c) \( \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3} \) 
d) \( \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3} \) 
 
**Resposta:** a) \( \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3} \) 
**Explicação:** Integrando \( x^3 \) e \( -x \), temos \( \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \). 
Avaliando de 0 a 2, resulta em \( \frac{16}{4} - \frac{4}{2} = 4 - 2 = 2 \). 
 
--- 
 
**44. Análise Numérica:** 
 
Qual é a ideia principal do método de Euler para resolver equações diferenciais? 
 
a) Usar uma aproximação iterativa 
b) Aplicar a fórmula de diferenças finitas 
c) Usar uma técnica de integração direta 
d) Aproximar a solução através de uma série de Taylor 
 
**Resposta:** a) Usar uma aproximação iterativa 
**Explicação:** O método de Euler utiliza uma abordagem iterativa simples para aproximar 
soluções de equações diferenciais ordinárias. 
 
--- 
 
**45. Cálculo:** 
 
Qual é a derivada da função \( f(x) = \sin(x^2) \)? 
 
a) \( 2x \cos(x^2) \) 
b) \( \cos(x^2) \)