exercicios de matematica LII

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40. **Qual é a fórmula da regra de Simpson para aproximação da integral de \(f(x)\) de \(a\) a 
\(b\) com \(n\) subintervalos?** 
 a) \(\frac{b - a}{3n} [f(a) + 4 \sum_{i=1,3,5,...}^{n-1} f(x_i) + 2 \sum_{i=2,4,6,...}^{n-2} f(x_i) + 
f(b)]\) 
 b) \(\frac{b - a}{6n} [f(a) + 4 \sum_{i=1,3,5,...}^{n-1} f(x_i) + 2 \sum_{i=2,4,6,...}^{n-2} f(x_i) + 
f(b)]\) 
 c) \(\frac{b - a}{2n} [f(a) + 4 \sum_{i=1,3,5,...}^{n-1} f(x_i) + 2 \sum_{i=2,4,6,...}^{n-2} f(x_i) + 
f(b)]\) 
 d) \(\frac{b - a}{4n} [f(a) + 4 \sum_{i=1,3,5,...}^{n-1} f(x_i) + 2 \sum_{i=2,4,6,...}^{n-2} f(x_i) + 
f(b)]\) 
 
 **Resposta: b) \(\frac{b - a}{6n} [f(a) + 4 \sum_{i=1,3,5,...}^{n-1} f(x_i) + 2 
\sum_{i=2,4,6,...}^{n-2} f(x_i) + f(b)]\)** 
 **Explicação:** A fórmula de Simpson é dada por \(\frac{b - a}{6n} [f(a) + 4 
\sum_{i=1,3,5,...}^{n-1} f(x_i) + 2 \sum_{i=2,4,6,...}^{n-2} f(x_i) + f(b)]\). 
Claro, posso gerar questões matemáticas de múltipla escolha para você. Vou começar e criar 
uma lista de 100 questões abrangendo cálculo e análise numérica, com respostas e 
explicações. Isso pode levar algum tempo, então vamos começar. 
 
**Questões de Cálculo e Análise Numérica** 
 
1. **Qual é a derivada de \( f(x) = e^{2x} \) em relação a \( x \)?** 
 a) \( e^{2x} \) 
 b) \( 2e^{2x} \) 
 c) \( e^{x} \) 
 d) \( 2e^{x} \) 
 
 **Resposta:** b) \( 2e^{2x} \) 
 **Explicação:** A derivada de \( e^{2x} \) é \( e^{2x} \) multiplicada pela derivada de \( 2x \), 
que é 2. Portanto, a derivada é \( 2e^{2x} \). 
 
2. **Qual é a integral indefinida de \( \int (3x^2 - 4x + 5) \, dx \)?** 
 a) \( x^3 - 2x^2 + 5x + C \) 
 b) \( x^3 - 2x^2 + 5x \) 
 c) \( x^3 - 2x^2 + 5x + C \) 
 d) \( x^3 - 4x^2 + 5x + C \) 
 
 **Resposta:** a) \( x^3 - 2x^2 + 5x + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( 3x^2 \) é \( x^3 \), a integral de \( -4x \) é \( -2x^2 \), e a 
integral de \( 5 \) é \( 5x \). Portanto, a resposta é \( x^3 - 2x^2 + 5x + C \). 
 
3. **Qual é o valor da série infinita \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)?** 
 a) \( \frac{\pi^2}{6} \) 
 b) \( \frac{\pi^2}{4} \) 
 c) \( \frac{\pi}{6} \) 
 d) \( \frac{\pi}{4} \) 
 
 **Resposta:** a) \( \frac{\pi^2}{6} \) 
 **Explicação:** Esta é a série de Basileia, cujo valor é conhecido como \( \frac{\pi^2}{6} \). 
 
4. **Dado o sistema de equações lineares:** 
 \[ 
 \begin{cases} 
 2x + 3y = 7 \\ 
 4x - y = 1 
 \end{cases} 
 \] 
 **Qual é a solução para \( x \) e \( y \)?** 
 a) \( x = 1, y = 1 \) 
 b) \( x = 2, y = 1 \) 
 c) \( x = 1, y = 2 \) 
 d) \( x = 2, y = 2 \) 
 
 **Resposta:** b) \( x = 2, y = 1 \) 
 **Explicação:** Resolva o sistema usando substituição ou eliminação para encontrar \( x = 2 
\) e \( y = 1 \). 
 
5. **Qual é o valor da integral \( \int_0^1 x e^x \, dx \)?** 
 a) \( e - 2 \) 
 b) \( e - 1 \) 
 c) \( 1 - e \) 
 d) \( 1 - e + 2 \) 
 
 **Resposta:** b) \( e - 1 \) 
 **Explicação:** Use a integração por partes, onde \( u = x \) e \( dv = e^x \, dx \). A solução é 
\( e - 1 \). 
 
6. **Qual é a fórmula da série de Taylor para \( \sin(x) \) em torno de \( x = 0 \)?** 
 a) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \) 
 b) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} \) 
 c) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} \) 
 d) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \) 
 
 **Resposta:** d) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \) 
 **Explicação:** A série de Taylor para \( \sin(x) \) é composta pelos termos ímpares com 
sinal alternado: \( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \). 
 
7. **Qual é a raiz quadrada de \( \frac{1}{25} \)?** 
 a) \( \frac{1}{5} \) 
 b) \( \frac{1}{25} \) 
 c) \( \frac{1}{10} \) 
 d) \( 5 \) 
 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{5} \) 
 **Explicação:** A raiz quadrada de \( \frac{1}{25} \) é \( \frac{1}{5} \). 
 
8. **Qual é a solução para a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = y \) com a condição inicial \( 
y(0) = 1 \)?** 
 a) \( y = e^x \)