prova XIX

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- d) \(\sqrt{6}\) 
 - **Resposta:** b) \(\sqrt{5}\) 
 - **Explicação:** O determinante de \( B \) é \( \det(B) = (4 \cdot 3) - (2 \cdot 1) = 12 - 2 = 10 
\). A raiz quadrada de 10 é \( \sqrt{10} \), não \( \sqrt{5} \). Correção: a resposta correta é 
\(\sqrt{10}\), mas a lista fornecida não contém essa opção. Peço desculpas pela confusão. 
 
**7.** Qual é o número de combinações possíveis para escolher 5 itens de um total de 15? 
 - a) 3003 
 - b) 3276 
 - c) 4005 
 - d) 5005 
 - **Resposta:** a) 3003 
 - **Explicação:** O número de combinações é dado por \( \binom{15}{5} = \frac{15!}{5!(15-
5)!} = 3003 \). 
 
**8.** Qual é o valor de \( \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \)? 
 - a) \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \) 
 - b) \( \frac{\sqrt{\pi}}{4} \) 
 - c) \( \sqrt{\pi} \) 
 - d) \( \frac{\pi}{2} \) 
 - **Resposta:** c) \( \sqrt{\pi} \) 
 - **Explicação:** Esta é uma integral conhecida e resulta em \( \sqrt{\pi} \). 
 
**9.** Qual é a soma dos valores próprios da matriz \( C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 
\end{pmatrix} \)? 
 - a) 5 
 - b) 6 
 - c) 7 
 - d) 8 
 - **Resposta:** a) 5 
 - **Explicação:** A soma dos valores próprios de uma matriz é igual à sua traço. O traço de \( 
C \) é \( 1 + 4 = 5 \). 
 
**10.** Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - x}{x^3 + 4x^2} \)? 
 - a) 0 
 - b) 1 
 - c) 2 
 - d) \(\infty\) 
 - **Resposta:** c) 2 
 - **Explicação:** Dividindo o numerador e o denominador por \( x^3 \), obtemos \( \frac{2 - 
\frac{1}{x^2}}{1 + \frac{4}{x}} \). No limite, isso se aproxima de \( \frac{2}{1} = 2 \). 
 
**11.** Qual é a forma geral da solução da equação diferencial \( y' + p(x)y = 0 \)? 
 - a) \( y = C e^{-\int p(x) \, dx} \) 
 - b) \( y = C e^{\int p(x) \, dx} \) 
 - c) \( y = C \cos(\int p(x) \, dx) \) 
 - d) \( y = C \sin(\int p(x) \, dx) \) 
 - **Resposta:** a) \( y = C e^{-\int p(x) \, dx} \) 
 - **Explicação:** A solução da equação diferencial linear de primeira ordem é dada por \( y = 
C e^{-\int p(x) \, dx} \). 
 
**12.** Se \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \) e \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 
\\ 4 \end{pmatrix} \), qual é o produto escalar \( \vec{u} \cdot \vec{v} \)? 
 - a) 11 
 - b) 14 
 - c) 17 
 - d) 20 
 - **Resposta:** a) 11 
 - **Explicação:** O produto escalar é calculado por \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 3 + 2 
\cdot 4 = 3 + 8 = 11 \). 
 
**13.** Qual é o valor de \( \frac{d}{dx} \left( e^{x^2} \right) \)? 
 - a) \( 2x e^{x^2} \) 
 - b) \( e^{2x} \) 
 - c) \( e^{x^2} \cdot \ln(x) \) 
 - d) \( 2x \ 
 
cdot e^{x} \) 
 - **Resposta:** a) \( 2x e^{x^2} \) 
 - **Explicação:** Utilizando a regra da cadeia, temos \( \frac{d}{dx} \left( e^{x^2} \right) = 
e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx} (x^2) = e^{x^2} \cdot 2x \). 
 
**14.** Se a função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \), qual é a soma das raízes de \( f(x) \)? 
 - a) 6 
 - b) 11 
 - c) 9 
 - d) 5 
 - **Resposta:** a) 6 
 - **Explicação:** Pela fórmula de Vieta, a soma das raízes de um polinômio \( x^3 + ax^2 + bx 
+ c \) é dada por \(-a\). Neste caso, o polinômio é \( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \), então a soma das 
raízes é \( 6 \). 
 
**15.** Qual é o valor de \( \int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx \)? 
 - a) 1 
 - b) 2 
 - c) 0 
 - d) \(\pi\) 
 - **Resposta:** b) 2 
 - **Explicação:** A integral de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) \). Avaliando de 0 a \( \pi \), temos \( -
\cos(\pi) - (-\cos(0)) = 2 \). 
 
**16.** Se a função \( f(x) = \ln(x) \), qual é a segunda derivada \( f''(x) \)? 
 - a) \( \frac{-1}{x^2} \) 
 - b) \( \frac{1}{x^2} \) 
 - c) \( \frac{-1}{x} \) 
 - d) \( \frac{1}{x} \) 
 - **Resposta:** a) \( \frac{-1}{x^2} \)