perimetro XLVI

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Resposta: D) \( 0 \) 
Explicação: A integral de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) \). Calculando de 0 a \( \pi \), obtemos \( -
\cos(\pi) + \cos(0) = -(-1) + 1 = 2 - 2 = 0 \). 
 
**14.** Determine a derivada de \( f(x) = \cos(x^2) \). 
- A) \( -2x \sin(x^2) \) 
- B) \( -x \sin(x^2) \) 
- C) \( 2x \sin(x^2) \) 
- D) \( \sin(x^2) \) 
 
Resposta: A) \( -2x \sin(x^2) \) 
Explicação: Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( \cos(u) \) é \( -\sin(u) \cdot u' \) com \( 
u = x^2 \) e \( u' = 2x \). Portanto, a derivada é \( -2x \sin(x^2) \). 
 
**15.** Qual é o limite de \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} \)? 
- A) 0 
- B) 1 
- C) \(\infty\) 
- D) -1 
 
Resposta: A) 0 
Explicação: O logaritmo cresce mais lentamente do que qualquer potência de \( x \). Portanto, 
\( \frac{\ln(x)}{x} \to 0 \) quando \( x \to \infty \). 
 
**16.** Qual é a integral indefinida de \( \int \cos^2(x) \, dx \)? 
- A) \( \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C \) 
- B) \( \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C \) 
- C) \( \frac{x}{2} + \frac{\sin(x)}{2} + C \) 
- D) \( \frac{x}{2} - \frac{\sin(x)}{2} + C \) 
 
Resposta: A) \( \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C \) 
Explicação: Usamos a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \). Portanto, a integral é \( 
\int \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C \). 
 
**17.** Determine a derivada de \( f(x) = x \ln(x) \). 
- A) \( \ln(x) + 1 \) 
- B) \( \ln(x) + x \) 
- C) \( \ln(x) \) 
- D) \( \ln(x) - 1 \) 
 
Resposta: A) \( \ln(x) + 1 \) 
Explicação: Usamos a regra do produto: \( (uv)' = u'v + uv' \). Com \( u = x \) e \( v = \ln(x) \), 
temos \( u' = 1 \) e \( v' = \frac{1}{x} \). Então, a derivada é \( 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} 
= \ln(x) + 1 \). 
 
**18.** Qual é a integral indefinida de \( \int \frac{e^x}{x} \, dx \)? 
- A) \( \text{Ei}(x) + C \) 
- B) \( e^x + C \) 
- C) \( \frac{e^x}{x} + C \) 
- D) \( \ln|x| + C \) 
 
Resposta: A) \( \text{Ei}(x) + C \) 
Explicação: A integral de \( \frac{e^x}{x} \) é conhecida como a função exponencial integral, 
denotada por \( \text{Ei}(x) \). 
 
**19.** Determine a integral definida de \( \int_{0}^{1} x^2 e^x \, dx \). 
- A) \( e - 2 \) 
- B) \( e - 2e + 2 \) 
- C) \( e - 1 \) 
- D) \( e - 1 - 2 \) 
 
Resposta: B) \( e - 2e + 2 \) 
Explicação: Usamos integração por partes duas vezes. A integral \( \int x^2 e^x \, dx \) é 
resolvida como \( \left[ x^2 e^x - 2 \int x e^x \, dx \right] \). Calculando, obtemos \( e - 2e + 2 
\). 
 
**20.** Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \)? 
- A) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
- B) \( \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
- C) \( \frac{x}{2 \sqrt{x^2 + 1}} \) 
- D) \( \frac{x}{x^2 + 1} \) 
 
Resposta: A) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
Explicação: Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( \sqrt{u} \) é \( \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot 
u' \), onde \( u = x^2 + 1 \) e \( u' = 2x \), resultando em \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \). 
 
**21.** Encontre a integral indefinida de \( \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx \). 
- A) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
- B) \( \ln|1 + x^2| + C \) 
- C) \( \frac{1}{x} + C \) 
- D) \( \frac{1}{2} \ln|x^2 + 1| + C \) 
 
Resposta: A) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
Explicação: A integral de \( \frac{1}{1 + x^2} \) é \( \tan^{-1}(x) + C \). 
 
**22.** Determine o limite de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
- A) 1 
- B) 0 
- C) \( e \) 
- D) \( \frac{1}{e} \) 
 
Resposta: A) 1 
Explicação: O limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \) é a derivada de \( e^x \) no ponto 0, que 
é 1.