testes de aula 105

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11. **Problema**: Calcule a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 2x + 1)\). 
 **Resposta**: \(\frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 1}\). 
 **Explicação**: Simplificamos o argumento do logaritmo para \(\ln((x+1)^2)\), então a 
derivada é \(\frac{2(x + 1)}{(x + 1)^2} = \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 1}\). 
 
12. **Problema**: Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2}\). 
 **Resposta**: \(\infty\). 
 **Explicação**: O crescimento exponencial de \(e^x\) domina o crescimento polinomial de 
\(x^2\). 
 
13. **Problema**: Calcule a integral \(\int \frac{dx}{x^2 + 4x + 5}\). 
 **Resposta**: \(\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2x + 4}{\sqrt{3}} \right) + C\). 
 **Explicação**: Completemos o quadrado no denominador e aplicamos a substituição \(u = 
\frac{2x + 4}{\sqrt{3}}\). 
 
14. **Problema**: Encontre o valor de \(\int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{\pi}{2}\). 
 **Explicação**: Usamos a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\) e integramos. 
 
15. **Problema**: Calcule \(\frac{d}{dx} \left( \frac{e^x}{x^2 + 1} \right)\). 
 **Resposta**: \(\frac{e^x (x^2 + 1) - 2x e^x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{e^x (x^2 - 2x + 1)}{(x^2 + 
1)^2}\). 
 **Explicação**: Usamos a regra do quociente: \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - 
uv'}{v^2}\), onde \(u = e^x\) e \(v = x^2 + 1\). 
 
16. **Problema**: Calcule a integral \(\int \frac{x \, dx}{\sqrt{1 - x^2}}\). 
 **Resposta**: \(-\sqrt{1 - x^2} + C\). 
 **Explicação**: Usamos a substituição \(u = 1 - x^2\), então \(du = -2x dx\). 
 
17. **Problema**: Determine a integral \(\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}}\). 
 **Resposta**: \(\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x} + C\). 
 **Explicação**: Usamos a substituição \(x = \sec(\theta)\), então \(dx = \sec(\theta) 
\tan(\theta) d\theta\) e simplificamos a integral. 
 
18. **Problema**: Encontre o valor de \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{1}{1} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\). 
 **Explicação**: Calculamos a antiderivada de \(\frac{1}{x^2}\) que é \(-\frac{1}{x}\), e 
avaliamos nos limites. 
 
19. **Problema**: Calcule a derivada de \(f(x) = e^{x^2} \cos(x)\). 
 **Resposta**: \(e^{x^2} (2x \cos(x) - \sin(x))\). 
 **Explicação**: Usamos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar \(e^{x^2}\). 
 
20. **Problema**: Determine a integral \(\int \frac{\ln(x)}{x} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{(\ln(x))^2}{2} + C\). 
 **Explicação**: Usamos a substituição \(u = \ln(x)\), 
 
 então \(du = \frac{1}{x} dx\). 
 
21. **Problema**: Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 2x}{x^3 - 3x + 4}\). 
 **Resposta**: 1. 
 **Explicação**: Dividimos o numerador e o denominador por \(x^3\), e o termo dominante 
é 1. 
 
22. **Problema**: Encontre a integral \(\int \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \, dx\). 
 **Resposta**: \(x + \ln|x^2 - 1| + C\). 
 **Explicação**: Decompondo a fração e integrando cada termo separadamente. 
 
23. **Problema**: Determine a integral \(\int \sin^3(x) \, dx\). 
 **Resposta**: \(-\frac{3}{4} \sin(x) + \frac{1}{4} \sin^3(x) + C\). 
 **Explicação**: Usamos a identidade \(\sin^3(x) = \sin(x) - \sin(x) \cos^2(x)\) e integramos. 
 
24. **Problema**: Calcule \(\frac{d}{dx} \left( x^2 \ln(x) \right)\). 
 **Resposta**: \(2x \ln(x) + x\). 
 **Explicação**: Aplicamos a regra do produto: \((u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\).