provas de matematica f

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**34.** Calcule o valor de \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \, dx\). 
 
**Resposta:** \(1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\) 
**Explicação:** A integral \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \, dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{2} = -
\frac{1}{2} - (-1) = \frac{1}{2}\). 
 
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**35.** Resolva 
 
 a equação diferencial \(y'' - y = 0\). 
 
**Resposta:** \(y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x}\) 
**Explicação:** A equação diferencial é linear com coeficientes constantes. A equação 
característica \(r^2 - 1 = 0\) tem raízes \(r = \pm 1\). 
 
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**36.** Encontre a integral definida \(\int_{0}^{1} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx\). 
 
**Resposta:** \(\frac{1}{2} \ln(2)\) 
**Explicação:** Usando a substituição \(u = x^2 + 1\), \(\int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} 
\ln(x^2 + 1) + C\). Avaliando entre 0 e 1, temos \(\frac{1}{2} \ln(2)\). 
 
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**37.** Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{x}\). 
 
**Resposta:** \(4\) 
**Explicação:** Usando a expansão em série de Taylor, temos \(e^{2x} - e^{-2x} = 4x + 
\text{termos de ordem superior}\). Assim, \(\frac{e^{2x} - e^{-2x}}{x} \to 4\) quando \(x \to 0\). 
 
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**38.** Calcule a integral definida \(\int_{0}^{\pi/2} \cos^2(x) \, dx\). 
 
**Resposta:** \(\frac{\pi}{4}\) 
**Explicação:** Usando a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\), temos 
\(\int_{0}^{\pi/2} \cos^2(x) \, dx = \frac{1}{2} \left[ x + \frac{\sin(2x)}{2} \right]_{0}^{\pi/2} = 
\frac{\pi}{4}\). 
 
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**39.** Encontre a derivada de \(f(x) = \sin(x) \ln(x)\). 
 
**Resposta:** \(f'(x) = \cos(x) \ln(x) + \frac{\sin(x)}{x}\) 
**Explicação:** Aplicando a regra do produto, temos \(f'(x) = \cos(x) \ln(x) + \sin(x) \cdot 
\frac{1}{x}\). 
 
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**40.** Resolva a equação diferencial \(y' = 2xy\) com a condição inicial \(y(0) = 1\). 
 
**Resposta:** \(y(x) = e^{x^2}\) 
**Explicação:** Separando variáveis e integrando, \(\int \frac{dy}{y} = \int 2x \, dx\), resulta 
em \(\ln|y| = x^2 + C\). Usando a condição inicial, \(C = 0\), então \(y(x) = e^{x^2}\). 
 
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**41.** Calcule o valor de \(\int_{0}^{\infty} x e^{-x^2} \, dx\). 
 
**Resposta:** \(\frac{1}{2}\)