Para determinar o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{x}\), podemos usar a propriedade da derivada da função exponencial e a expansão em série de Taylor. Ao aplicar a expansão em série de Taylor para \(e^{2x} - e^{-2x}\), obtemos \(e^{2x} - e^{-2x} = 4x + \text{termos de ordem superior}\). Portanto, ao dividir por \(x\), obtemos \(\frac{e^{2x} - e^{-2x}}{x} \to 4\) quando \(x \to 0\). Assim, o valor da expressão é 4.