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34. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' + y = 0 \). 
 **Resposta:** \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \). 
 **Explicação:** Encontre a solução geral da equação diferencial homogênea. 
 
35. **Problema:** Encontre o valor de \( \int_{0}^{2} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{\pi}{4} \). 
 **Explicação:** Use a substituição \( x = \tan(u) \) para resolver a integral. 
 
36. **Problema:** Resolva o sistema \( \begin{cases} x - 2y = 3 \\ 3x + 4y = 7 \end{cases} \). 
 **Resposta:** \( x = 2, y = -1 \). 
 **Explicação:** Use métodos de substituição ou eliminação para resolver. 
 
37. **Problema:** Determine a integral \( \int e^{x} \cos(x) \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{e^x ( \cos(x) + \sin(x))}{2} + C \). 
 **Explicação:** Use integração por partes duas vezes. 
 
38. **Problema:** Encontre a solução para a equação \( \ln(x) + \ln(2x) = 3 \). 
 **Resposta:** \( x = e^3/2 \). 
 **Explicação:** Use propriedades dos logaritmos para simplificar a equação. 
 
39. **Problema:** Resolva a equação \( \sin(x) = \frac{1}{2} \). 
 **Resposta:** \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) ou \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \), para \( k \in 
\mathbb{Z} \). 
 **Explicação:** Encontre as soluções usando a definição do seno. 
 
40. **Problema:** Determine o valor de \( \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{\pi}{2} \). 
 **Explicação:** Use a substituição \( x = \tan(u) \). 
 
41. **Problema:** Resolva a equação \( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = \pm 1, \pm 2 \). 
 **Explicação:** Substitua \( x^2 = t \) e resolva a equação quadrática resultante. 
 
42. **Problema:** Encontre a integral \( \int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^2} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{\pi}{4} \). 
 **Explicação:** Essa integral representa a área de um quarto de círculo de raio 1. 
 
43. **Problema:** Determine o valor da integral \( \int_{0}^{\pi} \cos^3(x) \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{4}{3} \). 
 **Explicação:** Use a identidade trigonométrica para simplificar. 
 
44. **Problema:** Resolva a equação \( e^{x^2} = e \). 
 **Resposta:** \( x = \pm 1 \). 
 **Explicação:** Tome o logaritmo natural de ambos os lados e resolva para \( x \). 
 
45. **Problema:** Calcule o valor de \( \int_{0}^{1} x e^{-x} \, dx \). 
 **Resposta:** \( 1 - e^{-1} \). 
 **Explicação:** Use integração por partes. 
 
46. **Problema:** Determine os valores críticos da função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 \). 
 **Resposta:** \( x = 2 \) é o único ponto crítico. 
 **Explicação:** Encontre a primeira derivada, iguale a zero e resolva. 
 
47. **Problema:** Resolva a integral \( \int_{0}^{\pi/2} \sin(x) \, dx \). 
 **Resposta:** \( 1 \). 
 **Explicação:** A integral de \(\sin(x)\) de \(0\) a \(\pi/2\) é uma integral básica. 
 
48. **Problema:** Encontre a integral \( \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{\pi}{4} \). 
 **Explicação:** Esta é a integral da função arco-tangente. 
 
49. **Problema:** Determine a solução para a equação \( y' - 2y = 0 \).