43. Problema: Determine o valor da integral ∫_{0}^{π} cos^3(x) dx.

Para resolver a integral ∫_{0}^{π} cos^3(x) dx, podemos utilizar a identidade trigonométrica cos^3(x) = (cos(x))^3 = cos(x) * (1 - sen^2(x)). Assim, a integral se torna: ∫_{0}^{π} cos^3(x) dx = ∫_{0}^{π} cos(x) * (1 - sen^2(x)) dx Podemos então integrar termo a termo: ∫_{0}^{π} cos(x) * (1 - sen^2(x)) dx = ∫_{0}^{π} cos(x) dx - ∫_{0}^{π} cos(x) * sen^2(x) dx A integral de cos(x) em relação a x é sen(x), e a integral de cos(x) * sen^2(x) em relação a x é -(sen^3(x))/3. Substituindo na equação acima, obtemos: ∫_{0}^{π} cos^3(x) dx = [sen(x)]_{0}^{π} - [-(sen^3(x))/3]_{0}^{π} Calculando os limites de integração, temos: sen(π) - sen(0) - [-(sen^3(π))/3 + (sen^3(0))/3] Como sen(π) = 0 e sen(0) = 0, a expressão se simplifica para: 0 - 0 - [-(sen^3(π))/3 + (sen^3(0))/3] = sen^3(0)/3 - sen^3(π)/3 Como sen(0) = 0 e sen(π) = 0, temos que a integral ∫_{0}^{π} cos^3(x) dx é igual a 0.