aprendendo matematica etc 41

Prévia do material em texto

1. **Problema:** Qual é a soma dos quadrados dos primeiros 10 números naturais? 
 **Resposta:** 385 
 **Explicação:** A fórmula para a soma dos quadrados dos primeiros \( n \) números naturais 
é \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\). Para \( n = 10 \), temos \(\frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = 385\). 
 
2. **Problema:** Determine o valor de \( x \) na equação \( 2^{x+1} = 16 \). 
 **Resposta:** \( x = 3 \) 
 **Explicação:** Reescrevendo 16 como uma potência de 2, temos \( 16 = 2^4 \). Assim, a 
equação se torna \( 2^{x+1} = 2^4 \). Igualando os expoentes, \( x + 1 = 4 \), logo \( x = 3 \). 
 
3. **Problema:** Qual é o valor de \( \sqrt{50} + \sqrt{18} \)? 
 **Resposta:** \( \sqrt{50} + \sqrt{18} = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \) 
 **Explicação:** Simplificando os radicais, \( \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \) e \( \sqrt{18} = 3\sqrt{2} 
\). A soma é \( 8\sqrt{2} \). 
 
4. **Problema:** Resolva o sistema de equações: 
 \( x + y = 10 \) 
 \( x - y = 2 \) 
 **Resposta:** \( x = 6 \), \( y = 4 \) 
 **Explicação:** Somando as duas equações, obtemos \( 2x = 12 \), então \( x = 6 \). 
Substituindo \( x = 6 \) na primeira equação, \( 6 + y = 10 \), então \( y = 4 \). 
 
5. **Problema:** Qual é o valor de \( \int_0^1 (2x^2 + 3x) \, dx \)? 
 **Resposta:** \( \frac{11}{6} \) 
 **Explicação:** Calculando a integral, temos \(\int_0^1 (2x^2 + 3x) \, dx = \left[ 
\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{11}{6}\). 
 
6. **Problema:** Qual é o menor número de 3 dígitos que é divisível por 7, 11 e 13? 
 **Resposta:** 1001 
 **Explicação:** O menor múltiplo comum de 7, 11 e 13 é o produto deles, ou seja, \( 7 
\times 11 \times 13 = 1001 \). O menor número de 3 dígitos divisível por 1001 é 1001. 
 
7. **Problema:** Qual é a soma dos ângulos internos de um hexágono? 
 **Resposta:** 720° 
 **Explicação:** A fórmula para a soma dos ângulos internos de um polígono é \( (n-2) \times 
180° \). Para um hexágono, \( n = 6 \), então a soma é \( (6-2) \times 180° = 720° \). 
 
8. **Problema:** Qual é o valor de \( \frac{3}{4} \div \frac{5}{6} \)? 
 **Resposta:** \( \frac{9}{10} \) 
 **Explicação:** Dividindo frações, multiplicamos pelo inverso da segunda fração: \( 
\frac{3}{4} \times \frac{6}{5} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10} \). 
 
9. **Problema:** Qual é a derivada de \( f(x) = x^3 - 5x^2 + 6x - 2 \)? 
 **Resposta:** \( f'(x) = 3x^2 - 10x + 6 \) 
 **Explicação:** Aplicando a regra da derivada, a derivada de \( x^3 \) é \( 3x^2 \), de \( -5x^2 
\) é \( -10x \), de \( 6x \) é \( 6 \), e a constante \( -2 \) tem derivada zero. 
 
10. **Problema:** Qual é o valor de \( \log_{10}(1000) \)? 
 **Resposta:** 3 
 **Explicação:** \( 1000 = 10^3 \), então \( \log_{10}(1000) = 3 \). 
 
11. **Problema:** Resolva a equação \( e^x = 5 \). 
 **Resposta:** \( x = \ln(5) \) 
 **Explicação:** Aplicando o logaritmo natural dos dois lados da equação, temos \( x = \ln(5) 
\). 
 
12. **Problema:** Encontre a área de um triângulo com base 8 cm e altura 5 cm. 
 **Resposta:** 20 cm² 
 **Explicação:** A fórmula da área de um triângulo é \(\frac{1}{2} \times \text{base} \times 
\text{altura}\). Então, \( \frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20 \text{ cm}^2 \). 
 
13. **Problema:** Qual é o valor de \( \frac{2! \times 3!}{4!} \)? 
 **Resposta:** \( \frac{1}{12} \) 
 **Explicação:** Calculando os fatoriais, \( 2! = 2 \), \( 3! = 6 \), e \( 4! = 24 \). Então, \( 
\frac{2 \times 6}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} \).