matematica livro jwv

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53. **Problema 53**: Determine a integral \( \int_0^1 \sin^4(x) \, dx \). 
 a) \( \frac{3}{8} \) 
 b) \( \frac{1}{4} \) 
 c) \( \frac{1}{8} \) 
 d) \( \frac{1}{6} \) 
 **Resposta**: Usando a identidade \( \sin^4(x) = \left( \sin^2(x) \right)^2 = \left( \frac{1 - 
\cos(2x)}{2} \right)^2 \): 
 \( \int_0^1 \sin^4(x) \, dx = \frac{1}{4} \int_0^1 (1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)) \, dx = \frac{3}{8} 
\). 
 A resposta correta é **a)**. 
 
54. **Problema 54**: Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 4 
 d) Não existe 
 **Resposta**: Usando a regra de L'Hôpital, temos: 
 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{4\cos(4x)}{1} = 4\cos(0) = 4 \). 
 A resposta correta é **c)**. 
 
55. **Problema 55**: Encontre a integral \( \int (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) e^{x^3} \, dx \). 
 a) \( e^{x^3} + C \) 
 b) \( \frac{1}{3} e^{x^3} + C \) 
 c) \( e^{x^3} + Cx \) 
 d) \( e^{x^3} + Cx^2 \) 
 **Resposta**: Usando a substituição \( u = x^3 \), temos \( du = 3x^2 dx \): 
 \( \int e^u du = e^u + C = e^{x^3} + C \). 
 A resposta correta é **a)**. 
 
56. **Problema 56**: Calcule a integral \( \int_0^1 (1 - x^2)^{5} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{6} \) 
 b) \( \frac{5}{12} \) 
 c) \( \frac{1}{12} \) 
 d) \( \frac{5}{6} \) 
 **Resposta**: Usando a substituição \( u = 1 - x^2 \), temos \( du = -2x dx \): 
 \( -\frac{1}{2} \int_1^0 u^{5} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \). 
 A resposta correta é **c)**. 
 
57. **Problema 57**: Determine a integral \( \int_0^{\pi/2} \cos^2(x) \, dx \). 
 a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 b) \( \frac{\pi}{2} \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{3\pi}{8} \) 
 **Resposta**: Usando a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \): 
 \( \int_0^{\pi/2} \cos^2(x) \, dx = \frac{1}{2} \left( \int_0^{\pi/2} 1 \, dx + \int_0^{\pi/2} 
\cos(2x) \, dx \right) = \frac{\pi}{4} \). 
 A resposta correta é **a)**. 
 
58. **Problema 58**: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta**: Usando a regra de L'Hôpital, temos: 
 \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{1} = 2e^{0} = 2 \). 
 A resposta correta é **c)**. 
 
59. **Problema 59**: Encontre a integral \( \int (x^2 - 2x + 1) e^{x^2 - 2x} \, dx \). 
 a) \( e^{x^2 - 2x} + C \) 
 b) \( \frac{1}{2} e^{x^2 - 2x} + C \) 
 c) \( e^{x^2 - 2x} + Cx \) 
 d) \( e^{x^2 - 2x} + Cx^2 \) 
 **Resposta**: Usando a substituição \( u = x^2 - 2x \), temos \( du = (2x - 2)dx \): 
 \( \int e^u du = e^u + C = e^{x^2 - 2x} + C \). 
 A resposta correta é **a)**. 
 
60. **Problema 60**: Calcule a integral \( \int_0^1 (1 - x^4)^{1/2} \, dx \). 
 a) \( \frac{2}{3} \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{1}{4} \) 
 d) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta**: Usando a substituição \( u = 1 - x^4 \), temos \( du = -4x^3 dx \): 
 \( -\frac{1}{4} \int_1^0 u^{1/2} \, du = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{6} \). 
 A resposta correta é **b)**. 
 
61. **Problema 61**: Determine a integral \( \int_0^1 (1 - x^2)^{2} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{5} \) 
 b) \( \frac{1}{6} \) 
 c) \( \frac{1}{8} \) 
 d) \( \frac{1}{10} \) 
 **Resposta**: Usando a substituição \( u = 1 - x^2 \), temos \( du = -2x dx \): 
 \( -\frac{1}{2} \int_1^0 u^{2} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \). 
 A resposta correta é **b)**. 
 
62. **Problema 62**: Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 5 
 d) Não existe 
 **Resposta**: Usando a regra de L'Hôpital, temos: 
 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{5\cos(5x)}{1} = 5\cos(0) = 5 \). 
 A resposta correta é **c)**.