matematica livro kbo

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A resposta correta é **a)**. 
 
43. **Problema 43**: Calcule a integral \( \int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} \ln|x - 1| - \frac{1}{2} \ln|x + 1| + C \) 
 b) \( \frac{1}{2} \ln|x + 1| - \frac{1}{2} \ln|x - 1| + C \) 
 c) \( \ln|x - 1| + C \) 
 d) \( \ln|x + 1| + C \) 
 **Resposta**: Usando a decomposição em frações parciais, temos: 
 \( \int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln|x - 1| - \frac{1}{2} \ln|x + 1| + C \). 
 A resposta correta é **a)**. 
 
44. **Problema 44**: Determine a integral \( \int_0^1 (1 - x^2)^{5} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{6} \) 
 b) \( \frac{5}{12} \) 
 c) \( \frac{1}{12} \) 
 d) \( \frac{5}{6} \) 
 **Resposta**: Usando a substituição \( u = 1 - x^2 \), temos \( du = -2x dx \). Portanto, a 
integral se torna: 
 \( -\frac{1}{2} \int_1^0 u^{5} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \). 
 A resposta correta é **c)**. 
 
45. **Problema 45**: Calcule \( \int e^{2x} \cos(3e^{2x}) \, dx \). 
 a) \( -\frac{1}{13} e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C \) 
 b) \( \frac{1}{13} e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C \) 
 c) \( \frac{1}{13} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C \) 
 d) \( -\frac{1}{13} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C \) 
 **Resposta**: Usando a substituição \( u = e^{2x} \), temos \( du = 2e^{2x}dx \): 
 \( \int \cos(3u) \frac{du}{2u} = -\frac{1}{13} \sin(3e^{2x}) + C \). 
 A resposta correta é **d)**. 
 
46. **Problema 46**: Calcule a integral \( \int (2x + 1) e^{x^2 + x} \, dx \). 
 a) \( e^{x^2 + x} + C \) 
 b) \( \frac{1}{2} e^{x^2 + x} + C \) 
 c) \( e^{x^2 + x} + Cx \) 
 d) \( e^{x^2 + x} + Cx^2 \) 
 **Resposta**: Usando a substituição \( u = x^2 + x \), temos \( du = (2x + 1)dx \): 
 \( \int e^u du = e^u + C = e^{x^2 + x} + C \). 
 A resposta correta é **a)**. 
 
47. **Problema 47**: Determine a integral \( \int_0^{\pi/2} \sin^4(x) \, dx \). 
 a) \( \frac{3\pi}{16} \) 
 b) \( \frac{\pi}{8} \) 
 c) \( \frac{\pi}{4} \) 
 d) \( \frac{3\pi}{8} \) 
 **Resposta**: Usando a identidade \( \sin^4(x) = \left( \sin^2(x) \right)^2 = \left( \frac{1 - 
\cos(2x)}{2} \right)^2 \): 
 \( \int_0^{\pi/2} \sin^4(x) \, dx = \frac{1}{4} \int_0^{\pi/2} (1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)) \, dx = 
\frac{\pi}{8} \). 
 A resposta correta é **b)**. 
 
48. **Problema 48**: Calcule \( \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 3x + 2}{2x^2 + 5} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta**: Dividindo o numerador e o denominador pelo maior grau de \( x^2 \): 
 \( \lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}{2 + \frac{5}{x^2}} = \frac{4}{2} = 2 \). 
 A resposta correta é **c)**. 
 
49. **Problema 49**: Encontre a integral \( \int (x^2 - 2x + 1) e^{x^2 - 2x} \, dx \). 
 a) \( e^{x^2 - 2x} + C \) 
 b) \( \frac{1}{2} e^{x^2 - 2x} + C \) 
 c) \( e^{x^2 - 2x} + Cx \) 
 d) \( e^{x^2 - 2x} + Cx^2 \) 
 **Resposta**: Usando a substituição \( u = x^2 - 2x \), temos \( du = (2x - 2)dx \): 
 \( \int e^u du = e^u + C = e^{x^2 - 2x} + C \). 
 A resposta correta é **a)**. 
 
50. **Problema 50**: Calcule a integral \( \int_0^1 x^2 (1 - x^2)^{3} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{10} \) 
 b) \( \frac{1}{12} \) 
 c) \( \frac{1}{15} \) 
 d) \( \frac{1}{20} \) 
 **Resposta**: Usando a substituição \( u = 1 - x^2 \), temos \( du = -2x dx \): 
 \( -\frac{1}{2} \int_1^0 (1 - u)^{3} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \). 
 A resposta correta é **a)**. 
 
51. **Problema 51**: Determine a integral \( \int_0^1 (1 - x^3)^{1/2} \, dx \). 
 a) \( \frac{2}{3} \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{1}{4} \) 
 d) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta**: Usando a substituição \( u = 1 - x^3 \), temos \( du = -3x^2 dx \): 
 \( -\frac{1}{3} \int_1^0 u^{1/2} \, du = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9} \). 
 A resposta correta é **b)**. 
 
52. **Problema 52**: Calcule a integral \( \int_0^1 (1 - x^2)^{4} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{5} \) 
 b) \( \frac{1}{6} \) 
 c) \( \frac{1}{8} \) 
 d) \( \frac{1}{10} \) 
 **Resposta**: Usando a substituição \( u = 1 - x^2 \), temos \( du = -2x dx \): 
 \( -\frac{1}{2} \int_1^0 u^{4} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{10} \). 
 A resposta correta é **d)**.