teste e prova a

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**Explicação**: A solução da equação diferencial é \( y = Ce^x \), onde \( C \) é uma 
constante arbitrária. 
 
5. **Problema**: Qual é o valor de \( \log_{10}(1000) \)? 
 **Resposta**: 3 
 **Explicação**: O logaritmo base 10 de 1000 é 3 porque \( 10^3 = 1000 \). 
 
6. **Problema**: Encontre a solução da equação \( e^x = 5 \). 
 **Resposta**: \( x = \ln(5) \) 
 **Explicação**: A solução é encontrada aplicando o logaritmo natural em ambos os lados: \( 
x = \ln(5) \). 
 
7. **Problema**: Qual é o determinante da matriz \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 
\end{pmatrix}\)? 
 **Resposta**: -2 
 **Explicação**: O determinante de uma matriz \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d 
\end{pmatrix} \) é \( ad - bc \). Aqui, é \( (1 \cdot 4) - (2 \cdot 3) = 4 - 6 = -2 \). 
 
8. **Problema**: Encontre a integral de \( \frac{1}{x} \) de 1 a \( e \). 
 **Resposta**: 1 
 **Explicação**: A integral de \( \frac{1}{x} \) é \( \ln(x) \). Portanto, \( \left[ \ln(x) \right]_1^e 
= \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1 \). 
 
9. **Problema**: Resolva o sistema de equações: \( x + y = 10 \) e \( x - y = 4 \). 
 **Resposta**: \( x = 7 \), \( y = 3 \) 
 **Explicação**: Somando as duas equações, obtemos \( 2x = 14 \), então \( x = 7 \). 
Substituindo em \( x + y = 10 \), obtemos \( 7 + y = 10 \), então \( y = 3 \). 
 
10. **Problema**: Qual é a soma dos ângulos internos de um hexágono? 
 **Resposta**: 720 graus 
 **Explicação**: A fórmula para a soma dos ângulos internos de um polígono é \( 180(n - 2) 
\), onde \( n \) é o número de lados. Para um hexágono (\( n = 6 \)), a soma é \( 180 \times (6 - 
2) = 720 \) graus. 
 
11. **Problema**: Determine a área de um triângulo com base 8 e altura 5. 
 **Resposta**: 20 
 **Explicação**: A fórmula da área de um triângulo é \( \frac{1}{2} \times \text{base} \times 
\text{altura} \). Aqui, \( \frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20 \). 
 
12. **Problema**: Qual é a soma dos primeiros 10 números naturais? 
 **Resposta**: 55 
 **Explicação**: A soma dos primeiros \( n \) números naturais é dada por \( \frac{n(n + 
1)}{2} \). Para \( n = 10 \), a soma é \( \frac{10 \times 11}{2} = 55 \). 
 
13. **Problema**: Resolva a equação \( \frac{2x - 3}{x + 1} = 4 \). 
 **Resposta**: \( x = 2 \) 
 **Explicação**: Multiplicando ambos os lados por \( x + 1 \), obtemos \( 2x - 3 = 4(x + 1) \). 
Simplificando, \( 2x - 3 = 4x + 4 \), então \( -3 - 4 = 2x \), resultando em \( x = 2 \). 
 
14. **Problema**: Determine o valor de \( \frac{d^2}{dx^2} (x^3 - 2x^2 + x) \) em \( x = 1 \). 
 **Resposta**: 4 
 **Explicação**: A primeira derivada é \( 3x^2 - 4x + 1 \). A segunda derivada é \( 6x - 4 \). 
Em \( x = 1 \), a segunda derivada é \( 6 \times 1 - 4 = 2 \). 
 
15. **Problema**: Qual é o valor de \( \sin(45^\circ) \)? 
 **Resposta**: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) 
 **Explicação**: Em um triângulo retângulo isósceles com ângulos de 45 graus, os catetos 
são iguais e a hipotenusa é \( \sqrt{2} \) vezes o comprimento do cateto. Assim, \( 
\sin(45^\circ) = \frac{\text{cateto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \). 
 
16. **Problema**: Resolva a equação \( \log(x) + \log(x - 1) = 1 \). 
 **Resposta**: \( x = 10 \) 
 **Explicação**: Usando a propriedade dos logaritmos, a equação se torna \( \log(x(x - 1)) = 1 
\). Portanto, \( x(x - 1) = 10 \). Resolvendo \( x^2 - x - 10 = 0 \), obtemos \( x = 10 \) como a 
solução positiva. 
 
17. **Problema**: Qual é a média aritmética dos números 5, 12, 9, e 15? 
 **Resposta**: 10.25