dia a dia da matematica AA

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**Resposta:** A) \(\frac{25}{3}\) 
**Explicação:** Antiderivando: 
\[ \int f(x)dx = \frac{5}{3}x^3\] 
Avaliar de \( 1 \) a \( 2 \): 
\[ \frac{5}{3}(8 - 1) = \frac{25}{3}. \] 
 
89. Qual é o limite de \( \lim_{x \to 0}\frac{\tan(5x)}{x} \)? 
A) 5 
B) 1 
C) 0 
D) 10 
**Resposta:** A) 5 
**Explicação:** Sabemos que \( \tan(kx) \approx kx \). Assim 
\[ \lim_{x \to 0}\frac{\tan(5x)}{x} = 5. \] 
 
90. O que caracteriza uma função ser contínua em um intervalo? 
A) A derivada é \( 0 \) em todo o intervalo. 
B) O gráfico da função possui buracos. 
C) A função não tem quebras e é definida. 
D) A função tem um máximo. 
**Resposta:** C) A função não tem quebras e é definida. 
**Explicação:** Uma função é contínua em um intervalo se não apresentar descontinuidades e 
é definida em todo o intervalo considerado. 
 
91. Qual é a integral de \( f(x) = 2x^3 - 5x + 2 \)? 
A) \( \frac{1}{2}x^4 - \frac{5}{2}x^2 + 2x + C \) 
B) \( \frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{2}x^2 + 2x + C \) 
C) \( \frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{2}x + C \) 
D) \( \frac{1}{4}x^4 + C \) 
**Resposta:** A) \( \frac{1}{2}x^4 - \frac{5}{2}x^2 + 2x + C \) 
**Explicação:** Integrando cada parte: 
\[ \int 2x^3 \, dx \rightarrow \frac{1}{2} x^4, \] 
\[ \int -5x \, dx \rightarrow -\frac{5}{2} x^2, \] 
\[ \int 2 \, dx \rightarrow 2x. \] 
 
92. Qual é a derivada de \( f(x) = 7x^5 \)? 
A) \( 35x^4 \) 
B) \( 14x^3 \) 
C) \( 45x^8 \) 
D) \( 70x^6 \) 
**Resposta:** A) \( 35x^4 \) 
**Explicação:** Usando a regra de potência: 
\( f'(x) = 5 \cdot 7x^{4} = 35x^4 \). 
 
93. Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^4}{\sin(x)} \). 
A) 0 
B) 1 
C) 4 
D) Não existe 
**Resposta:** A) 0 
**Explicação:** Como \( \sin(x) \approx x \) para \( x \) próximo de 0: 
\[ \lim_{x \to 0} \frac{x^4}{\sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^4}{x} = \lim_{x \to 0} x^3 = 0. \] 
 
94. O que caracteriza uma função \( f(x) \) ter concavidade para cima? 
A) \( f'(x) < 0 \) 
B) \( f'(x) > 0 \) 
C) \( f''(x) > 0 \) 
D) \( f''(x) < 0 \) 
**Resposta:** C) \( f''(x) > 0 \) 
**Explicação:** Se a segunda derivada for positiva, a função apresenta uma curvatura voltada 
para cima, situando as tangentes abaixo da curva. 
 
95. Determine a área sob a curva \( f(x) = 4 - x^2 \) no intervalo \( [0, 2] \). 
A) 8 
B) 4 
C) 2 
D) 3 
**Resposta:** A) 8 
**Explicação:** A antiderivada é \( 4x - \frac{x^3}{3} \). Avaliando entre 0 e 2: 
\[ \left(4(2) - \frac{(2^3)}{3}\right) - 0 = (8 - \frac{8}{3}) = \frac{24 - 8}{3} = \frac{16}{3} = 
\frac{8}{3}. \] 
 
96. O que caracteriza um ponto de máximo global em uma função \( f(x) \)? 
A) Maior valor de \( f(x) \) considerando o domínio. 
B) Onde a função é positiva. 
C) Se a derivada \( f'(x) = 0 \). 
D) Onde \( f''(x) > 0 \). 
**Resposta:** A) Maior valor de \( f(x) \) considerando o domínio. 
**Exp 
Claro! Abaixo estão 150 problemas de matemática em formato de múltipla escolha, 
abrangendo tópicos de cálculo e análise numérica. Cada problema é único e possui uma 
explicação detalhada após a resposta. 
 
### Problemas de Matemática 
 
1. **Qual é o limite de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \)?** 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) ∞ 
 - D) Não existe 
 
 **Resposta:** B) 1 
 **Explicação:** Este é um limite fundamental em cálculo. À medida que \( x \) se aproxima 
de 0, a razão \( \frac{\sin(x)}{x} \) se aproxima de 1. Isso pode ser demonstrado usando a regra 
de L'Hôpital ou a série de Taylor para \( \sin(x) \). 
 
2. **Qual é a derivada de \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \)?** 
 - A) \( 3x^2 - 6x \) 
 - B) \( 3x^2 + 6x \) 
 - C) \( 2x^2 - 3x \) 
 - D) \( 4x^3 - 6x^2 \) 
 
 **Resposta:** A) \( 3x^2 - 6x \) 
 **Explicação:** Para encontrar a derivada de uma função polinomial, aplicamos a regra de 
potência. A derivada de \( x^n \) é \( nx^{n-1} \). Portanto, a derivada de \( x^3 \) é \( 3x^2 \) e 
a derivada de \( -3x^2 \) é \( -6x \). Assim, a derivada total é \( 3x^2 - 6x \). 
 
3. **Qual é a integral definida de \( \int_0^1 (4x^3) \, dx \)?** 
 - A) \( 1 \) 
 - B) \( 0.5 \) 
 - C) \( 1.333 \) 
 - D) \( 0.25 \) 
 
 **Resposta:** A) \( 1 \) 
 **Explicação:** Para calcular a integral, primeiro encontramos a antiderivada de \( 4x^3 \), 
que é \( x^4 \). Então, avaliamos a integral de 0 a 1: \( \left[ x^4 \right]_0^1 = 1^4 - 0^4 = 1 - 0 = 
1 \). 
 
4. **Qual é o resultado da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)?** 
 - A) \( \frac{\pi^2}{6} \) 
 - B) \( \frac{1}{2} \) 
 - C) \( 1 \) 
 - D) \( 0 \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{\pi^2}{6} \) 
 **Explicação:** Esta série é conhecida como a série de Basileia, que foi resolvida por 
Leonhard Euler. O resultado é famoso e mostra que a soma dos inversos dos quadrados dos 
números naturais converge para \( \frac{\pi^2}{6} \).