livro LXI

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Resposta: B) O ponto onde a derivada se anula e muda a direção. Explicação: Um máximo 
local é identificado onde a função atinge um valor superior em comparação aos valores em 
torno dele. 
 
59. Qual é a antiderivada de \( 9x^2 \)? 
 A) \( 3x^3 + C \) 
 B) \( x^3 + C \) 
 C) \( 9x^3 + C \) 
 D) \( 3x^3 + 9C \) 
 Resposta: A) \( 3x^3 + C \). Explicação: Integrando resulta em \( \frac{9}{3}x^3 = 3x^3 + C\). 
 
60. O que a segunda derivada indica sobre a função? 
 A) Se a função é crescente ou decrescente. 
 B) A concavidade da função. 
 C) A soma de todas as derivadas. 
 D) Nada em particular. 
 Resposta: B) A concavidade da função. Explicação: A segunda derivada fornece informações 
sobre a curvatura da função, indicando se a função está se curvando para cima ou para baixo. 
 
61. A qual função a seguinte expressão corresponde: \( f''(x) = -6x + 2 \)? 
 A) \( -3x^2 + 2x + C \) 
 B) \( -3x^2 - 2x + C \) 
 C) \( -3x^2 + 2C \) 
 D) \( -6x^3 + 2x^2 + C \) 
 Resposta: A) \( -3x^2 + 2x + C \). Explicação: Integrando duas vezes \( f''(x) \) dá a função 
original de \( 3x^2 + x + C \). 
 
62. O que é a taxa de variação média de uma função no intervalo \([a,b]\)? 
 A) O valor da função em \( b \) menos o valor em \( a \). 
 B) A derivada em \( a \) e \( b \). 
 C) A média dos valores em \( f(a) \) e \( f(b) \). 
 D) A variação dos valores da função no intervalo. 
 Resposta: A) O valor da função em \( b \) menos o valor em \( a \). Explicação: A taxa de 
variação média é dada por \( \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \), mostrando a variação de \( f \) através de 
\([a, b]\). 
 
63. A integral indefinida \( \int \frac{1}{x} \, dx \) resulta em: 
 A) \( \ln(x) + C \) 
 B) \( \frac{1}{x} + C \) 
 C) \( e^x + C \) 
 D) \( \ln|x| + C \) 
 Resposta: D) \( \ln|x| + C \). Explicação: É uma característica bem conhecida das integrais 
que a integral de \( \frac{1}{x} \) é sempre relacionada ao logaritmo natural. 
 
64. Qual a derivada da função \( f(x) = \tan(x) \)? 
 A) \( \sec^2(x) \) 
 B) \( -\sin(x) \) 
 C) \( \cos^2(x) \) 
 D) \( 1 + \tan^2(x) \) 
 Resposta: A) \( \sec^2(x) \). Explicação: A derivada padrão da tangente é a secante ao 
quadrado, dada por \( \tan'(x) = \sec^2(x) \). 
 
65. O que é uma função monotônica? 
 A) Uma função que cresce e depois decresce. 
 B) Uma função que não altera a direção do crescimento ou decrescimento. 
 C) Uma função que não é contínua. 
 D) Uma função que possui uma forma parabólica. 
 Resposta: B) Uma função que não altera a direção do crescimento ou decrescimento. 
Explicação: Uma função que é sempre crescente ou sempre decrescente. 
 
66. Qual o limite de \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \)? 
 A) \( 1 \) 
 B) \( 0 \) 
 C) \( \frac{1}{2} \) 
 D) \( \infty \) 
 Resposta: C) \( \frac{1}{2} \). Explicação: Usando a identidade \( 1 - \cos(x) \approx 
\frac{x^2}{2} \) para pequenas \( x \), obtemos o limite como \( \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} \to 
\frac{1}{2} \). 
 
67. O que caracteriza a função \( f(x) \) ser contínua em \( x = c \)? 
 A) O limite de \( f \) não é finito. 
 B) \( f(c) = \lim_{x \to c} f(x) \). 
 C) A derivada de \( f \) não existe. 
 D) Não há valores de \( f(x) \) em \( x = c \). 
 Resposta: B) \( f(c) = \lim_{x \to c} f(x) \). Explicação: Para continuidade, devemos garantir 
que o valor da função em \( c \) é igual ao limite da função quando \( x \) se aproxima de \( c \). 
 
68. O limite \( \lim_{x \to 3} (x^2 - 9)/(x - 3) \) é igual a: 
 A) \( 0 \) 
 B) \( 3 \) 
 C) \( 6 \) 
 D) \( 9 \) 
 Resposta: C) \( 6 \). Explicação: Aplicando a fatoração, temos \( \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 
3)}{(x - 3)} = \lim_{x \to 3}(x + 3) = 6 \). 
 
69. O que caracteriza uma função ímpar? 
 A) \( f(-x) = f(x) \) para todo \( x \). 
 B) \( f(x) \) é simétrica em relação ao eixo \( y \). 
 C) \( f(-x) = -f(x) \) para todo \( x \). 
 D) Todos os coeficientes são negativos. 
 Resposta: C) \( f(-x) = -f(x) \) para todo \( x \). Explicação: Funções ímpares mostram simetria 
em relação à origem e apresentam essa propriedade para qualquer valor de \( x \). 
 
70. O que a regra da cadeia implica sobre a derivada de uma função composta? 
 A) A soma de todas as derivadas. 
 B) O produto das derivadas das funções exteriores e interiores. 
 C) A inversão das funções. 
 D) O valor da função em \( x \). 
 Resposta: B) O produto das derivadas das funções exteriores e interiores. Explicação: A regra 
da cadeia afirma que a derivada de uma função composta é o produto da derivada da externa 
avaliada na interna e a derivada da interna. 
 
71. A integral de \( \int x \, dx \) resulta em que valor? 
 A) \( \frac{1}{2}x^2 + C \) 
 B) \( x + C \) 
 C) \( 2x + C \) 
 D) \( x^2 + C \) 
 Resposta: A) \( \frac{1}{2}x^2 + C \). Explicação: A integral de \( x \) é \( \frac{x^2}{2} + C \). 
 
72. O que é uma função exponencial? 
 A) Uma função cujo valor é a soma dos valores anteriores. 
 B) Uma função de forma \( f(x) = a^x \) onde a base \( a \) é um número positivo. 
 C) Aquelas que resultam em crescimento infinito. 
 D) Funções que são quadráticas. 
 Resposta: B) Uma função de forma \( f(x) = a^x \) onde a base \( a \) é um número positivo. 
Explicação: Funções exponenciais representam taxa de crescimento onde a base \( a \) é um 
valor fixo. 
 
73. O que significa a condição de Lipschitz para uma função? 
 A) A função é contínua. 
 B) A função é limitada. 
 C) A função não pode ter um crescimento excessivo. 
 D) A função é diferenciável. 
 Resposta: C) A função não pode ter um crescimento excessivo. Explicação: A condição de 
Lipschitz estabelece uma restrição para a taxa de crescimento através de uma constante que 
limita a variação da função em todo o seu domínio. 
 
74. A derivada de \( f(x) = x^3 - x \) é igual a: 
 A) \( 3x^2 - 1 \) 
 B) \( 2x^2 - 1 \) 
 C) \( 3x^2 + 1 \)