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Mecânico de Manutenção 
Cálculos Aplicados à Manutenção
Cálculos Aplicados à Manutenção
 SENAI-SP, 2006 
2
a
 Edição. Editoração.
Trabalho editorado por Meios Educacionais da Gerência de Educação da Diretoria Técnica do SENAI-SP 
para o curso de aprendizagem industrial - Mecânico de Manutenção.. 
Coordenação editorial Gilvan Lima da Silva 
1
a
 Edição. Elaboração, 2000.
Trabalho elaborado por Meios Educacionais da Gerência de Educação da Diretoria Técnica do SENAI-SP 
Elaboração Bogdan Hrycylo 
SENAI Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial 
Departamento Regional de São Paulo 
Av. Paulista, 1313 - Cerqueira César 
São Paulo - SP 
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Sumário 
Introdução 5 
Operações fundamentais 7 
Razão e proporção 15 
Regra de três e porcentagem 29 
Medidas e figuras geométricas 41 
Trigonometria: Razões Trigonométricas 71 
Matemática básica 
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AA171-06 5
Introdução 
A intenção do curso é começar bem fácil para colocar em ordem o conhecimento 
matemático que você já recebeu e para atender aos conhecimentos tecnológicos de 
que você precisa. 
Você vai dar os primeiros passos no seu curso de Matemática. Vai lidar com assuntos 
que conhece há muito tempo, como contar e numerar, coisas que a gente faz desde 
criança. 
Fazer as operações de forma correta é importante para sua vida profissional. Além 
disso, você vai aprender ou recordar como se fazem cálculos com números que 
possuem vírgula, que são chamados números decimais. 
É também comum precisarmos efetuar medidas. Um erro de medida pode estragar um 
trabalho que você estiver executando. Para evitar problemas como esse, vamos 
estudar as medidas de comprimento. Medir ou fazer leitura de medidas deverá ser 
para você tão fácil como ler um texto qualquer. 
Vamos em frente? 
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AA171-06 6
Matemática básica 
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AA171-06 7
Operações fundamentais 
Sistema de numeração decimal 
Uma maneira de estudar os números é usar o sistema de numeração decimal, que 
tem esse nome porque foi baseado na quantidade de dedos das mãos (dez). 
Os símbolos empregados para representar os números são dez e são chamados 
algarismos indo-arábicos. Como você já sabe, são eles: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0 
(zero). 
Adição e subtração 
Os problemas que envolvem a idéia de reunir são resolvidos pela operação adição. 
Veja um exemplo prático. Se juntarmos 2 pilhas de livros, uma com 3 livros e outra com 
4 livros, teremos uma só pilha de 7 livros. Como a adição é indicada pelo sinal + (lê-se 
mais), podemos escrever: 3 livros + 4 livros = 7 livros, ou ainda: 
 3 - parcela 
+ 4 - parcela 
7 - total ou soma 
Exemplos 
a. 
219
58 +
32 
129 b. 
3060
517 +
198 
2345 c. 1.255 + 4.098 + 807 + 645
6805 
645 +
807 
4098 
1255 
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Os problemas que envolvem a idéia de tirar são resolvidos pela operação subtração. 
Neste caso, se de uma pilha de 7 livros tirarmos 3 livros, ficarão na pilha apenas 4 
livros. Como a subtração é indicada pelo sinal (lê-se menos), podemos escrever: 
7 livros - 3 livros = 4 livros, ou ainda: 
 7 - minuendo 
- 3 - subtraendo 
4 - diferença ou resto 
A subtração é a operação inversa da adição. Se 3 + 4 = 7 então 7 - 3 = 4 ou 7 - 4 = 3. 
Por isso, quando você quiser tirar a prova, isto é, saber se o resultado de uma adição 
ou subtração está correto, basta fazer a operação inversa. Observe: 
195 
548 -
738 
 para conferir fazemos encontrando 
 195
- 543
 738
, que é o minuendo da subtração. 
Exemplos 
a. 
- 116
 
238
122
b. 394
- 158
 236
c. 723
- 375
 348
d. 1.200 - 321
879 
321 -
1200 
Faça os exercícios no seu caderno. 
1. Calcule as somas:
a. 328 + 237
b. 731 + 225 + 144
c. 1.089 + 397 + 934
d. 1.397 + 458
e. 958 + 3.048 + 587
f. 9.009 + 98 + 900
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2. Determine a diferença. Faça a prova, se houver dúvidas.
a. 1.738 - 825
b. 729 - 289
c. 604 - 328
d. 800 - 195
e. 1.000 - 495
f. 1.507 - 608
g. 1.003 - 75
h. 40.000 - 102
Multiplicação e potenciação 
Multiplicar é adicionar parcelas iguais. 
Para saber quantos livros têm 4 pilhas iguais de 7 livros cada uma, fazemos: 7 livros + 
7 livros + 7 livros + 7 livros ou 4 vezes 7 livros = 4 x 7 livros = 28 livros, ou ainda: 
4 - fator 
x 7 - fator 
28 - produto 
Exemplos 
a. 128
x 5
640
b. 
12025
759
2275
37 x 
325 
+
c. 
 943020 
+ 8463
9672 
780x 
2091 
d. 3 572 x 402
1435944
++14288
7144 
402 x 
3572 
 ou 
1435944
+14288
+0000 
7144 
402 x 
3572 
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Quando a operação indica multiplicação de fatores iguais, ela é chamada de 
potenciação. 
 
Exemplo 
2 x 2 x 2 x 2 x 2 
 
Este produto de cinco fatores iguais a 2 pode ser indicado por 25. 
 
potência - 32 2 - base
 
expoente 
5
=
↓ 
 
Observe como se faz a leitura das potências abaixo. 
25 → dois elevado à quinta potência 
32 → três elevado ao quadrado 
53 → cinco elevado ao cubo 
47 → quatro elevado à sétima potência 
 
Exemplos 
a. 23 = 2 x 2 x 2 = 8 
b. 132 = 13 x 13 = 169 
c. 32 = 3 x 3 = 9 
d. 26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 
e. 53 = 5 x 5 x 5 = 125 
f. 103 = 10 x 10 x 10 = 1.000 
 
Faça os exercícios no seu caderno. 
 
3. Calcule os produtos. 
a. 327 x 6 
b. 2.076 x 8 
c. 235 x 12 
d. 1.278 x 64 
e. 394 x 132 
f. 5.705 x 218 
g. 2.576 x 207 
h. 7.689 x 480 
 
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4. Escreva como se lê. 
a. 23 
b. 52 
c. 45 
d. 37 
 
5. Determine as potências. 
a. 82 = 
b. 122 = 
c. 1022 = 
d. 53 = 
e. 303 = 
f. 18 = 
g. 35 = 
h. 104 = 
i. 210 = 
 
 
Divisão exata 
 
Os problemas que envolvem a idéia de repartir são resolvidos pela operação divisão. 
 
Verifique o seguinte problema: uma pilha de 28 livros deverá ser repartida em 4 pilhas, 
tendo cada uma o mesmo número de livros. Para saber quantos livros terá cada pilha, 
fazemos: 28 livros dividido por 4 ⇒ 28 livros ÷ 4 = 7 livros, ou ainda: 
 
dividendo 
 28 4 
 
 
divisor 
 
resto 
 
 0 7 
 
quociente 
 
 
A divisão exata é a operação inversa da multiplicação, por isso, para conferir uma 
divisão exata, usamos a relação: dividendo = divisor x quociente 
 
Observe: 
 
144 8 144 → dividendo 
 64 18 8 → divisor 
 0 18 → quociente 
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Então: 
144 = 8 x 18 
144 = 144 
 
Se a igualdade for verdadeira, o resultado está correto. Esta é uma forma de tirar a 
prova da divisão exata. 
 
Exemplos 
 
a. 315 7 315 7 
 35 45 ou - 28 45 
 0 035 
 0 
 
b. 612 6 
 012 102 
 0 
 
c. 4.000 32 
 80 125 
 160 
 0 
 
d. 7.344 36 
 
 0144 204 
 
 00 
 
e. 4.968 : 216 
 
 4.968 216 
 
0648 23 
 
 000 
 
f. 13.9425 : 325 
 
 13.9425 325 
 
 0942 429 
 
 2925 
 
 000 
 
Faça o exercício no seu caderno. 
 
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6. Efetue as divisões. 
a. 1.976 : 8 
b. 884 : 34 
c. 55.596 : 452 
d. 392 : 7 
e. 23.764 : 52 
f. 34.989 : 321 
g. 820 : 4 
h. 18.360 : 45 
i. 33.396 : 759 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Razão e proporção 
 
 
 
 
 
Razão 
 
Freqüentemente, fazemos comparações entre grandezas. 
 
 
 
O primeiro caixote pesa mais que o segundo. 
 
 
 
A segunda garrafa, tem maior capacidade que a primeira. 
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A primeira barra de ferro é menor que a segunda. 
 
 
 
Também é comum comparar duas grandezas para se saber quantas vezes uma 
quantidade cabe na outra. Observe as duas engrenagens abaixo. 
 
 
 
A engrenagem A tem 80 dentes. A engrenagem B tem 20 dentes. Dividindo o número 
de dentes da engrenagem A pelo número de dentes da engrenagem B encontramos: 
80 ÷ 20 = 4. Verificamos, então, que cabe 4 vezes em 80. 
 
Por isso, podemos dizer que a engrenagem A tem 4 vezes mais dentes que a 
engrenagem B. Essa é uma comparação por divisão, que chamamos de razão. 
 
Razão entre dois números é o quociente indicado entre eles. Razão entre duas 
grandezas de mesma espécie é o quociente indicado entre os números que medem 
essas grandezas, numa mesma unidade. 
 
Exemplos 
 
a. 
50
20
kg
kg
 b. 
250
500
m
m
l
l
 c. 
150
320
cm
cm
 d. 
80
20
 dentes
 dentes
 
 
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Por ser um quociente, a razão pode ser indicada: 
 
50 : 20 ou 
50
20
 (lê-se 50 para 20 ou 50 está para 20). 
 
O primeiro termo da razão chama-se antecedente e o segundo chama-se 
conseqüente. 
 
Então: 
50
20
 
antecedente
consequente&&
 
 
O conseqüente da razão é sempre um número diferente de zero. 
 
Outros exemplos de razão: 
 
a. 
2
1
2 : 1 ou 
2
1
2
1
 (um para dois inteiros e um meio) 
 
b. 
0 25
6
,
 ou 0,25 : 6 (vinte e cinco centésimos para seis) 
 
c. 
12
5
 : 
4
3
 ou 
12
5
4
3
 (três quartos para cinco doze anos) 
 
Faça os exercícios no seu caderno 
 
1. Escreva a razão entre os dentes da engrenagem B e os da engrenagem A no 4º 
exemplo. 
 
2. Escreva a leitura da razão que você encontrou no exercício 1. 
 
3. Qual é o antecedente e o conseqüente da razão do exercício 1? 
 
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Razões equivalentes 
Encontramos o valor de uma razão dividindo o antecedente pelo conseqüente. 
Sendo assim, o valor de 
3
2
 é 1,5 
(3 : 2 = 1,5). 
 
O valor de uma razão não muda quando multiplicamos ou dividimos o antecedente e o 
conseqüente por um mesmo número diferente de zero. 
 
Veja: 
 
6 x 4 
= 
24 
12 x 4 48 
 
 
 
 
24 : 48 = 0,5 
 
 
 6 : 12 = 0,5 
 
6 : 2 
= 
3 
12 : 2 6 
 
 
 
 
 3 : 6 = 0,5 
 
 
6 : 12 = 0,5 
 
Por isso podemos sempre escrever as razões na forma irredutível (como nas frações). 
 
Assim, as razões 
 
80
20
, , 
150
320
 
250
500
 e 
50
20
 
 
podem ser escritas 
 
4
1
, , , 
15
32
 
1
2
 e 
5
2
 respectivamente. 
 
Dizemos que duas ou mais razões são equivalentes quando têm o mesmo valor. 
 
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Faça os exercícios no seu caderno. 
 
4. Uma engrenagem A tem 50 dentes e uma outra B tem 80 dentes. 
a. Escreva a razão entre os dentes de A e B. Torne-a irredutível. 
b. Escreva a razão entre os dentes de B e A. Torne-a irredutível. 
c. Calcule o valor das duas razões obtidas nos exercícios a e b. 
d. Essas razões são equivalentes? Justifique por escrito. 
 
5. Durante um jogo de futebol, um time chutou 7 bolas a gol e marcou 2 gols. 
 
 Responda: 
a. Qual a razão entre os chutes a gol e os gols marcados? 
b. Qual a razão entre os gols marcados e os chutes a gol? 
 
Agora observe bem a figura abaixo. 
 
 
 
Qual é a razão entre o comprimento e a largura deste retângulo? 
 
Verificamos que a resposta é 
4
15
cm
mm
. 
 
Repare que, neste caso, estamos comparando grandezas da mesma espécie: 
medidas de comprimento. Por isso, indicamos na razão as unidades de medida: cm e 
mm. 
 
Mas é comum, nesses casos escrever a razão sem as unidades de medida. Só que 
não podemos tirar as unidades de medida, quando elas são diferentes. Por isso, para 
indicar a razão entre duas grandezas da mesma espécie, sem colocar as unidades 
de medida, as duas devem ficar na mesma unidade. 
 
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Sendo assim, para indicar a razão entre o comprimento e a largura do retângulo, 
vamos transformar uma das medidas: ou 4cm em mm ou 15mm em cm. 
 
Assim: 
4
15
cm
mm
 = 
40mm
15mm
 = 
40
15
 
:
:
 
5
5
 = 
8
3
 (forma irredutível) 
 
ou ainda 
4
15
cm
cm,
 = 
4
1,5
. 
 
Na prática, sempre que escrevemos razão entre duas grandezas da mesma espécie 
vamos indicá-la sem a unidade de medida. 
 
Faça os exercícios no seu caderno. 
 
6. Um quadro tem 80cm de largura e 1,20m de comprimento. Indique, na forma 
irredutível: 
a. A razão entre o comprimento e a largura. 
b. A razão entre a largura e o comprimento. 
 
7. Copie o desenho e responda: 
 
 
 
a. Qual a razão irredutível entre o pacote cinza e o branco? 
b. Qual a razão irredutível entre o pacote branco e o cinza? 
 
Razões especiais 
Existem casos muito usados de comparação entre grandezas de espécies 
diferentes, como quilômetro e hora, habitantes e quilômetros quadrados. 
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Por exemplo, um automóvel percorreu 80km em 1 hora. Podemos indicar a razão 
entre a distância percorrida e o tempo gasto: 
80
1
km
h
 ou 80km: 1h, que lemos 80 quilômetros por hora. 
 
Nesses casos, as unidades sempre ficam indicadas na razão. 
 
Outros exemplos: 
a. Se um município tem 43 habitantes por quilômetro quadrado, indicamos a razão 
entre os habitantes e a área ocupada com 
43 hab.
1km2
 ou 43 hab.: 1km2, que lemos 
43 habitantes por quilômetro quadrado. 
 
b. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto por uma pessoa que andou 
50 metros em 1 minuto é 
min. 1
m50
 ou 50m: 1min. 
 
Essas razões também podem ser indicadas assim: 
 
80
km
h
, , 43
hab.
km
 50
m
min.2
. 
 
Faça os exercícios no seu caderno 
 
8. Indique, de acordo com os exemplos dados, as seguintes razões: 
a. 12 metros por segundo. 
b. 1 metro cúbico por minuto. 
c. 2.000 litros por hora. 
d. 38 habitantes por quilômetro quadrado. 
 
9. Indique as razões, escrevendo-as na forma irredutível. 
a. 60 metros em 5 segundos. 
b. 7.000 metros em 20 minutos. 
c. 2.000 litros em 4 horas. 
d. 1.064 habitantes em 7 quilômetros quadrados. 
 
Uma outra razão especial de larga aplicação é a escala. 
 
 
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Escala de um desenho é a razão entre as dimensões do desenho (comprimento, 
largura, diâmetro) e as do modelo real medidos numa mesma unidade. A escala 
1:1000, por exemplo, significa que as dimensões reais são 1000 vezes maiores que as 
do desenho. 
 
Outro exemplo: 
Numa peça desenhada na escala 1:5, uma medida de 25mm no desenho equivale a 
quantos mm na peça? 
 
Vejamos: se a escala é 1:5 significa que 1mm no desenho equivale a 5mm na peça. 
Logo 25 x 5 = 125mm. 
 
Observe agora a seguinte situação: 
 
A seção de controle de qualidade de uma indústria, ao controlar o material recebido, só 
aceita os pedidos que apresentarem até 3 peças defeituosas em cada lote de 100 
peças. 
 
Essa relação entre peças com defeito e peças fabricadas pode ser indicada pela razão 
3
100
 ou 3:100. 
 
Note que esta razão tem conseqüente 100. A razão com conseqüente 100 é um tipo 
especial de razão chamada porcentagem. 
 
As razões com conseqüente 100 podem ser representadas com o símbolo da 
porcentagem (%). 
 
Assim: 
3
100
 3%→ 
10
100
 10%→ 
 
Observe que, nestes casos, estamos comparando uma quantidade com outra 
quantidade fixa, isto é, 100. Quando falamos em 12%, consideramos 12 em 100. 
Por exemplo, falar em 12% dos empregados de uma indústria significa 12 
empregados em cada grupo de 100. Para ler uma porcentagem, dizemos o número 
seguido da expressão por cento. 
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Assim: 3% lemos três por cento 
 10% lemos dez por cento 
 12% lemos doze por cento 
 
Faça os exercícios no seu caderno. 
 
10. Represente as razões usando o símbolo da porcentagem:a. 
100
12
 b. 
100
120 c. 7
100
 
 
d. 19
100
 e. 30
100
 f. 50
100
 
 
11. Escreva a leitura por extenso: 
 
a. 7% b. 30% c. 15% d. 80% e. 9% 
 
12. Escreva sob a forma de razão irredutível: 
 
a. 5% b. 20% c. 35% d. 107% e. 237% 
 
 
Proporção 
 
Já vimos anteriormente que duas razões são equivalentes quando têm o mesmo valor. 
Assim, 3 : 4 e 6 : 8 são razões equivalentes porque 3 : 4 = 0,75 e 6 : 8 = 0,75. 
Podemos então escrever que 3 : 4 = 6 : 8 (três para quatro é igual a seis para oito). 
Essa sentença recebe o nome de proporção. Portanto, proporção é a igualdade entre 
duas razões. A proporção pode ser representada de duas formas diferentes: 
3 : 4 = 6 : 8 ou 
3
4
 = 
6
8
 
 
Nas duas formas a leitura é: três está para quatro assim como seis está para oito. 
 
 
 
 
 
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Exemplos 
 
a. 
1
2
5
 = 
3
4
15
2
 
(um meio está para cinco assim como três quartos está para quinze meios) 
 
b. 
5
0 2,
 = 
15
0,6
 
(cinco está para dois décimos assim como quinze está para seis décimos) 
 
O primeiro e quarto termos da proporção chamam-se extremos; o segundo e 
terceiro termos chamam-se meios. Então: 
 
 
 
Em qualquer proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Verifique 
os exemplos: 
 
a. 
 
 
b. 2 1 








 
2 
x 
3 
= 
1 
x 
1 
 3 
= 
4 3 40 5 4 
 1 3 
 
 
 
 5 40 6 
ou 
1 1 
 120 20 20 
 
c. 
 
 
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Essa propriedade é conhecida como propriedade fundamental e pode ser utilizada 
para verificar se quatro números dados numa certa ordem, formam uma proporção. Por 
exemplo, verifique se os números 3, 5, 6 e 10 formam uma proporção. 
 
3
5
 = 
6
10
 
 3 x 10 = 30
5 x 6 = 30



 
 
Logo, 3, 5, 6 e 10 formam, nessa ordem, uma proporção. 
 
Faça os exercícios no seu caderno. 
 
13. Verifique se as razões 
3
4
 e 
4,5
6
 são equivalentes. Se o forem, escreva-as em 
forma de proporção. 
 
14. Escreva por extenso a leitura das proporções: 
 
a. 4
5
 = 
8
10
 b. 3 : 2 = 9 : 6 
 
c. 0,1 : 3 = 0,6 : 18 d. 5
8
6
 = 
1
4
12
5
 
 
15. Verifique, usando a propriedade fundamental, quais os pares de razões que 
formam proporção. 
 
a. 4
5
 e 
8
10
 b. 1 : 4 e 3 : 2 
 
c. 2 : 3 e 4 : 9 d. 0 5
2 5
,
,
 e 
1
5
 
 
Cálculo de um termo qualquer da proporção 
Como você acabou de ver, não é sempre que um par de razões forma uma proporção. 
 
 
 
 
 
Matemática básica 
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AA171-06 26
Mas, quando só conhecemos três termos de uma proporção, é sempre possível 
descobrir o termo que falta para formar a proporção. Por exemplo, conhecemos estes 
termos da proporção: 
 
3
4
 = 
?
12
 
 
Note que falta um dos termos, que não sabemos qual é. Vamos representar esse termo 
desconhecido por uma letra: x, por exemplo. 
 
Para descobrir o valor do termo desconhecido de uma proporção, indicamos a 
igualdade do produto dos meios com o produto dos extremos, encontrando uma 
sentença matemática. 
 
Vamos explicar melhor. Sabemos que multiplicando os extremos e depois os meios da 
proporção vamos encontrar o mesmo resultado. Se as multiplicações dão o mesmo 
resultado, elas formam uma igualdade. Então, podemos indicar essa igualdade. 
 
Veja: 
 
 
3 
 
x 
4 12 
 
Fica assim: 
 
4 . x = 3 . 12 
 
Esta igualdade indica que o resultado de 4 vezes x é o mesmo 3 vezes 12. 
 
Para resolver esta igualdade calculando o valor de x usamos a operação inversa. 
Veja como: 
 
4 . x = 3 . 12 
4x = 36 
x = 
36
4
 → usamos a operação inversa para calcular x 
x = 9 
Matemática básica 
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AA171-06 27
O termo desconhecido é 9. 
 
Podemos indicar a proporção: 
3
4
 = 
9
12
 
 
Exemplos 
 
a. 7 
 
21 
2 x 
7 . x = 2 . 21 
7x = 42 → resolvendo 2º membro 
x = 
42
7
 → aplicando operação inversa 
x = 6 
 
b. 
3 5,
x
 = 
7,7
4,4
 
3,5 . 4,4 = x . 7,7 ou x . 7,7 = 3,5 . 4,4 
15,4 = x . 7,7 x . 7,7 = 15,4 
15 4
7 7
,
,
 = x x = 
15,4
7,7
 
2 = x x = 2 
 
c. 
 
1,2 . 0,25 = 0,3 . x ou 0,3 . x = 1,2 . 0,25 
0,3 = 0,3 . x 0,3 . x = 0,3 
0 3
0 3
,
,
 = x x =
0 3
0 3
,
,
 
1 = x x = 1 
 
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AA171-06 28
 
d. 
 
 
x .
x 
x 
x
 
1
6
 = 
3
5
 . 
2
7
 = 
6
35
= 
6
35
1
6
 ou 
6
35
 : 
1
6
 . 
6
1
.
1
6
6
35
=
 
 
x =
36
35
 
 
Faça o exercício no seu caderno. 
 
16. Calcule o valor do termo desconhecido em cada proporção: 
 
a. x
4
 = 
25
5
 b. 
0,15
x
 = 
2
4,0
 
 
c. 
x
9,6
 = 
6,0
4,2
 d. 2
7
3
5
 = 
x
7
 
 
e. 1 : x = 4,5 : 9 f. 8,4 : 2 = x : 4,2 
 
g. 1
2
 : 
3
4
 = 
1
8
 : x
 
 h. x : 15 = 7 : 3 
 
 
 
 
 
Matemática básica 
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AA171-06 29
 
 
Regra de três e porcentagem 
 
 
 
 
 
Grandezas proporcionais 
 
Constantemente estamos relacionando grandezas. Ao dizer, por exemplo, que uma 
barra de ferro de 60cm dá para fazer 16 parafusos, estamos relacionando a 
quantidade de material com o número de parafusos produzidos. 
 
Também ao afirmar que 2 operários levam 30 dias para fazer certo trabalho, estamos 
relacionando o número de operários com o tempo gasto. 
 
Dizemos que duas grandezas são proporcionais quando é possível manter entre elas 
uma proporção. 
 
Por exemplo, dobrando a quantidade de material, também vai dobrar o número de 
parafusos produzidos. Assim, se a barra tiver 120cm, poderão ser produzidos 32 
parafusos. 
 
Do mesmo modo, reduzindo à metade a quantidade de material, também o número de 
parafusos produzidos vai ficar reduzido à metade. Tendo à barra 30cm, só serão 
produzidos 8 parafusos. 
 
Note que, aumentando ou diminuindo uma grandeza (quantidade de material), a outra 
grandeza (número de parafusos) também aumenta ou diminui. Este aumento ou esta 
redução na mesma proporção nas duas grandezas é que faz as duas proporcionais. 
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AA171-06 30
No exemplo dos operários, você vai ver que a relação é um pouco diferente. 
 
Se 2 operários fazem o serviço em 30 dias, 4 operários, com a mesma capacidade de 
trabalho, vão fazer o mesmo serviço em 15 dias. Note que 15 é a metade de 30. 
 
E, reduzindo à metade o número de operários, vai ser necessário o dobro de tempo 
para concluir o trabalho. Assim, 1 operário levará 60 dias. 
 
Neste caso, aumentando uma grandeza (número de operários), a outra grandeza 
(tempo gasto) diminuiu; ou então, diminuindo uma grandeza (número de operários), 
a outra (tempo gasto) aumentou. 
 
Mas, mesmo assim, podemos dizer que as grandezas são proporcionais, pois uma 
diminui do mesmo modo que a outra aumenta na mesma proporção. 
 
Por esses dois exemplos, você pode ver que as grandezas proporcionais podem 
manter dois tipos de relação. Isso acontece porque as grandezas podem ser direta ou 
inversamente proporcionais. 
 
Faça o exercício no seu caderno. 
 
1. Copie os quadros abaixo no seu caderno e complete com os dados que faltam, 
calculando-os mentalmente. 
 
Número de máquinas 
trabalhando 
Número de peças produzidas 
6 600 
3 
 200 
12 
 
Velocidade Tempo gasto no percurso 
80km/h 5h 
40km/h 
 2h30min 
50km/h 
 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a 
outra também aumenta na mesma proporção; ou então, diminuindo uma delas, a outra 
diminui na mesma proporção. 
 
No exemplo dos parafusos, as grandezas são diretamente proporcionais. 
 
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AA171-06 31
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, 
a outra diminui na mesma proporção; ou então, diminuindo uma delas, a outra 
aumenta na mesma proporção. 
 
No exemplo dos operários, as grandezassão inversamente proporcionais. 
O exercício 1 que você resolveu no seu caderno trata de grandezas proporcionais. 
Escreva abaixo de cada quadro (dado anteriormente) se as grandezas são direta ou 
inversamente proporcionais. 
 
Podemos relacionar grandezas proporcionais de uma forma prática: colocando as 
grandezas, uma de cada lado, e ligando as duas com um traço. 
 
Vamos relacionar desta forma as grandezas dos exemplos: 
 
60cm 16 parafusos 
120cm 32 parafusos 
 
2 operários 30 dias 
4 operários 15 dias 
 
ou ainda: 
 
cm parafusos e operários dias 
 
60 16 2 30 
120 32 4 15 
 
2. Classifique as grandezas abaixo em direta ou inversamente proporcionais. 
 
a. 6 tornos 1 200 peças 
 2 tornos 400 peças 
 
b. 10 l combustível 300km percorridos 
 30 l combustível 100km percorridos 
 
c. 24 dentes na engrenagem 300rpm 
 36 dentes na engrenagem 200rpm 
 
 
d. 80km/h 5h 
 40km/h 10h 
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3. Assinale com D as grandezas diretamente proporcionais e com I as inversamente 
proporcionais. 
a. Tempo de funcionamento de um chuveiro e energia consumida. 
b. Diâmetro de uma polia e número de rotações por minuto. 
c. Número de operários trabalhando e tempo para fazer um trabalho. 
d. Quantidade de material e número de peças produzidas. 
 
 
Regra de três 
 
Regra de três é uma forma de resolver problemas empregando os conhecimentos de 
proporção e equação. 
 
Chama-se regra de três porque conhecemos três valores e com eles encontramos um 
quarto valor. 
 
Para resolver problemas que envolvem grandezas proporcionais usando a regra de 
três, seguimos os passos abaixo. 
 
Exemplo 1 
Se com 20 litros de combustível um automóvel percorreu 160km, quantos quilômetros 
percorrerá com 35 litros? 
 
Relacionamos as grandezas na forma prática, representando a grandeza 
desconhecida por x. 
 
litros km 
 
20 160 
35 X 
 
Verificamos se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais. 
 
litros km 
 
20 160 
35 X 
 
São diretamente proporcionais porque com mais combustível serão percorridos mais 
quilômetros. 
 
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AA171-06 33
Montamos a proporção. Como as grandezas são diretamente proporcionais, a 
proporção é montada na forma como está indicada. Neste problema, fica assim: 
 
20
35
 = 
160
x
 
 
Armamos a sentença. 
20 . x = 35 . 160 
 
Resolvendo: 
20 x = 35 . 160 
20 . x = 5 600 
x =
5 600
20
 
 
x = 280 
 
Escrevemos a resposta, ou seja: 
Com 35 litros o automóvel percorrerá 280km. 
 
Exemplo 2 
Viajando a uma velocidade média de 72km por hora, o percurso entre duas cidades 
pode ser feito em 5 horas. Qual deveria ser a velocidade média para se fazer o mesmo 
percurso em 4 horas? 
 
Relacionamos os valores das grandezas envolvidas no problema: 
 
Km/s horas 
 
72 5 
x 4 
 
Verificamos se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais. Aumentando a 
velocidade, diminui o tempo gasto: as grandezas são inversamente proporcionais. 
Matemática básica 
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AA171-06 34
Montamos a proporção invertendo uma das grandezas, porque as grandezas são 
inversamente proporcionais: 
 
72
x
 = 
4
5
 ou 
x
72
 = 
5
4
 
 
Armamos a sentença. 
x . 4 = 72 . 5 
 
Resolvendo: 
4x = 360 
x = 
360
4
 
 
x = 90 
 
Damos a resposta ao problema: a velocidade média deveria ser 90km por hora. 
 
Exemplo 3 
Calcular o número de rotações por minuto da polia menor. 
 
 
 
diâmetro rpm 
 
18 600 
15 X 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática básica 
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AA171-06 35
Inversamente proporcionais (maior diâmetro, menor rpm) 
 
 
15 
 
600 
18 x 
 
15 . x = 18 . 600 
 
15x = 10.800 
 
x = 
10.800 
15 
 
x = 720 
 
Resposta: A polia menor dá 720 rotações por minuto. 
 
4. Resolva os problemas abaixo usando a regra de três, conforme os exemplos 
dados. 
 
a. Se 4,8m de fio custam R$240,00, qual será o preço de 6m do mesmo fio? 
b. Um móvel com velocidade constante percorre 20m em 4 minutos. Quantos 
metros percorrerá em 6 minutos? 
c. Num dia, 5 operários produziram 800 peças. Se 8 operários trabalhassem no 
mesmo ritmo quantas peças iriam produzir? 
d. Para construir uma casa 4 pedreiros levaram 60 dias. Em quantos dias 5 
pedreiros com a mesma capacidade de trabalho fariam a mesma casa? 
e. Uma máquina deve trabalhar a 800rpm. Qual o diâmetro da polia a ser 
colocada no seu eixo se o motor que vai acioná-lo dá 1.200rpm e tem uma polia 
de 100mm? 
f. Uma fábrica de tecidos consumiu 1.820 fardos de algodão em 13 dias. Em 8 
dias quantos fardos consumiu? 
g. Uma engrenagem de 40 dentes dá 300rpm. Qual é a rotação de uma outra de 
60 dentes engrenada a ela? 
 
 
Porcentagem 
 
Você já aprendeu que a porcentagem é uma razão especial com conseqüente 100. 
Assim, 25% correspondem a 
25
100
 e significam 25 em cada grupo de 100. Se dizemos 
Matemática básica 
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AA171-06 36
que 25% dos empregados de uma indústria são mulheres, estamos afirmando que, em 
cada grupo de 100 empregados, 725 são mulheres. 
 
Da mesma forma, quando falamos em 15% de desconto, estamos nos referindo a um 
desconto de R$l5,00 a cada R$100,00. 
 
Mas, se o número de empregados da indústria for 1.000 ou a quantidade do dinheiro 
for R$ 20.000,00 como saber quantos empregados são 25% ou quanto vale o desconto 
de 15%? 
 
É sempre possível calcular a porcentagem de uma determinada quantidade, porque a 
quantidade considerada equivale a 100%. 
 
Os 1.000 empregados são o total de empregados da indústria e, por isso, 1.000 
correspondem a 100%. 
 
Do mesmo modo, R$ 20.000,00 correspondem a 100%, pois são a quantidade total do 
dinheiro considerado. 
 
Para calcular a porcentagem de uma determinada quantidade, podemos utilizar a regra 
de três. Para isso, é necessário saber montar a regra de três, dispondo corretamente 
os valores conhecidos. 
 
Exemplos 
a. Quantos são 25% de 1.000 empregados? 
 
empregados % 
1.000 100 
x 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática básica 
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AA171-06 37
Em porcentagem, as grandezas são sempre diretamente proporcionais. 
Então: 
 
25
100
x
000.1
= 
x . 100 = 1.000 . 25 
x . 100 = 25.000 
100
000.25
x = 
 
x = 250 
 
Resposta: 25% de 1.000 empregados são 250 empregados. 
 
b. Numa firma trabalham 20 mulheres que correspondem a 40% dos empregados. 
Qual é o total de empregados da firma? 
 
empregados % 
20 40 
x 100 
 
 
100
40
x
20
= 
x . 40 = 20 . 100 
x . 40 = 2.000 
40
000.2
x = 
 
x = 50 
 
Resposta: o total de empregados da firma é 50. 
 
c. Num livro de 400 páginas, a quantos por cento correspondem 100 páginas? 
 
páginas % 
20 40 
 x 100 
 
 
 
Matemática básica 
SENAI-SP - INTRANET 
AA171-06 38
x . 400 = 100 . 100 
 x . 400 = 10.000 
 x = 
400
000.10
 
 
x = 25 
 
Resposta: 100 páginas do livro correspondem a 25% do total. 
 
Faça os exercícios no seu caderno. 
 
5. Quanto valem 15% de R$ 20.000,00? 
 
6. Quanto valem 30% de 240? 
 
7. Qual é a quantia cujos 15% valem R$ 300,00? 
 
8. Se 3% de uma remessa de peças são 75 peças, qual é o total da remessa? 
 
9. Uma fábrica possui 250 empregados. Quantos por cento são 20 empregados? 
 
Outros exemplos: 
 
d. Numa remessa de peças, 500 delas correspondem a 20%. Quantas peças 
correspondem a 80%? 
 
peças % 
500 20 
 x 80 
 
x . 20 = 500 . 80 
x . 20 = 40.000 
x = 
20
000.40
 
 
x = 2.000 
 
Resposta: 80% correspondem a 2 000 peças. 
 
Matemática básica 
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AA171-06 39
e. Uma pessoa que recebe R$ 6.000,00 de salário vai ter um aumento de 38%. 
Qual será seu novo salário? 
 
Observação 
Você pode resolver este problema de duas maneiras diferentes: 
 
 R$ % 
6.000 100 
 x 38 
 
 x . 100 = 6.000 . 38 
 x . 100 = 228.000x = 
100
000.228
 
 x = 2.280 (valor do aumento) 
 
novo salário → 6.000 + 2.280 = 8.280 
 
 R$ % 
6.000 100 
 x 138 
 
 x . 100 = 6.000 . 138 
 x . 100 = 828.000 
 x = 
100
000.828
 
 x = 8.280 (novo salário) 
 
Resposta: Seu novo salário será de R$ 8.280,00 
 
f. Uma mercadoria que era vendida a R$ 5.000,00 teve um desconto de 15%. 
Quanto ficou custando? 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática básica 
SENAI-SP - INTRANET 
AA171-06 40
 R$ % 
5.000 100 
 x 15 
 
x . 100 = 5.000 . 15 
x . 100 = 75.000 
x = 
100
000.75
 
x = 750 (desconto) 
 
Novo preço → 5 000 - 750 = 4 250 
 
 R$ % 
5.000 100 
 x 85 (100 -15) 
 
 x . 100 = 5.000 . 85 
 x . 100 = 425.000 
 x = 
100
000.425
 
 x = 4.250 (novo preço) 
 
Resposta: Ficou custando R$ 4.250,00 
 
Faça os exercícios no seu caderno. 
 
10. 25% de certa quantia correspondem a R$ 5.250,00. Quantos cruzeiros equivalem a 
70%? 
 
11. Na quantia de R$ 25.000,00, quantos por cento são R$ 750,00? 
 
12. Uma mercadoria que valia R$ 6.000,00 teve aumento de 30%. Qual é seu novo 
preço? 
 
13. Um operário recebe R$ 4.000,00 mensais e tem desconto de 8% para a 
Previdência Social. Quanto recebe líquido? 
 
14. Preço de uma mercadoria sofreu um desconto de 15%, passando então a custar 
R$ 1.700,00. Quanto custava antes do desconto? 
Matemática Básica 
SENAI-SP 41 
 
 
Medidas e Figuras 
Geométricas 
 
 
 
 
 
 
 
Medir uma grandeza é compará-la com outra da mesma espécie, tomada como unidade 
padrão. 
 
Unidades de medidas de Comprimento. 
 
O Metro. 
A palavra metro vem do grego métron que significa “o que mede”. 
 
Múltiplos e Submúltiplos do Metro. 
 
Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existe ainda os seus múltiplos 
e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, 
deci, centi e mili. Observe o quadro: 
 
 
 
 
Múltiplos do metro 
 
 
Submúltiplos do metro 
 
 
Unidades menores que o milímetro 
 
 
 
 
Quilômetro 
 
 
 
Hectômetro
 
 
 
Decâmetro 
 
 
 
Metro 
 
 
Decí- 
metro 
 
 
Centí- 
metro 
 
 
 
Milímetro 
 
 
Décimo 
de mm 
 
 
Centésimo 
de mm 
 
Milésimo 
De mm ou 
micrometro 
 
 
 
km 
 
 
hm 
 
 
dam 
 
 
m 
 
 
dm 
 
 
cm 
 
 
mm 
 
 
__ 
 
 
__ 
 
 
µm 
 
 
 
 
1 000m 
 
 
 
100m 
 
 
 
10m 
 
 
 
1m 
 
 
 
0,1m 
 
 
 
0,01m 
 
 
 
0,001m 
 
0,000 1m 
ou 
0,1mm 
 
0,000 01m 
ou 
0,01mm 
 
0,000 001m 
ou 
0,001mm 
 
 
Matemática Básica 
SENAI-SP 42 
Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os 
submúltiplos, para pequenas distâncias, e os submúltiplos do milímetro são de 
aplicação mais específicas nas indústrias eletrometalmecânica. 
 
Leitura: 
 
2,54 m → dois metros e cinqüenta e quatro centímetros. 
 
m dm cm 
2, 5 4 
 
0,125mm → cento e vinte e cinco milésimos de milímetro. 
ou cento e vinte e cinco micrometros. 
 
mm Décimos de 
milímetro 
Centésimos de 
milímetro 
µµµµm 
0, 1 2 5 
 
Observe que a cada algarismo corresponde uma unidade de comprimento. 
 
Transformação de Unidades: 
 
6,54 km em m → 6,54 km = ? m 
 
km hm dam m 
6. 5 4 0, 
 
A vírgula desloca-se três casas para a direita. Cada unidade deslocada para a direita 
significa uma multiplicação por 10. 
6,54 km = 6540 m. 
35,8 cm em m → 35,8 cm = ? m 
 
m dm cm mm 
0, 3 5 8 
 
A vírgula desloca-se duas casas para a esquerda. Cada unidade deslocada para a 
esquerda significa uma divisão por 10. 
Matemática Básica 
SENAI-SP 43 
35,8 cm = 0,358 m. 
Faça os exercícios: 
 
24) Escreva corretamente a leitura das medidas de comprimento abaixo: 
 
a)1,459 m→__________________________________________________________ 
b)199,54dm→_________________________________________________________ 
c)0,54 cm→__________________________________________________________ 
d)7,486 km→_________________________________________________________ 
e)33,9 hm→__________________________________________________________ 
 
25) Transforme para a unidade pedida: 
 
a)527m = ____________________________cm 
b)34,5m = ___________________________dam 
c)150cm = ___________________________mm 
 
26) Expresse em metros os resultados das seguintes expressões: 
 
a) 3,6 km + 450 m = 
b) 16 dm + 54,6 cm + 200 mm = 
c) 2,4 km + 82 hm + 12,5 dam = 
 
Matemática Básica 
SENAI-SP 44 
 
Perímetro de figuras planas 
 
Perímetro de polígonos 
 
Perímetro de um polígono é a soma das medidas de seus lados 
 
 
 
Exemplo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação 
 
Se o polígono tiver lados de medidas iguais pode-se usar a multiplicação 
 
 
Perímetro do círculo 
 
O perímetro do círculo é conhecido como comprimento da circunferência. Para 
calculá-lo usa- se a fórmula: 
 
 onde: C = comprimento da circunferência 
 
D = diâmetro (dobro do raio) 
π ≈ 3,14 
 
 
Matemática Básica 
SENAI-SP 45 
 
 
Exemplos: 
 
 
a) Calcule o comprimento das circunferências a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Básica 
SENAI-SP 46 
Faça os exercícios: 
 
Calcule o perímetro das figuras planas. 
 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
Matemática Básica 
SENAI-SP 47 
Superfície (Área) 
 
Temos idéia do que é uma superfície ao observarmos o tampo de uma carteira, a parte 
da lousa onde se escreve, o piso ou o teto da sala de aula. A medida de uma superfície 
chama-se área e a unidade fundamental é o metro quadrado (m2). Os múltiplos do 
metro quadrado são: 
• quilômetro quadrado (km2) 
• hectômetro quadrado (hm2) 
• decâmetro quadrado (dam2) 
 
Os submúltiplos são: 
• decímetro quadrado (dm2) 
• centímetro quadrado (cm2) 
• milímetro quadrado (mm2) 
 
A equivalência entre as unidades de superfície pode ser verificada na tabela abaixo. 
 
 
 
 
Múltiplos do metro quadrado 
 
 
Submúltiplos do metro 
quadrado 
 
Quilômetro 
quadrado 
 
Hectômetro 
quadrado 
 
Decâmetro 
quadrado 
 
Metro 
 
Quadrado 
 
Decímetro 
 
Quadrado 
 
Centímetro 
 
Quadrado 
 
Milímetro 
 
Quadrado 
 
 
 
 
km
2 
 
 
 
hm
2 
 
 
 
dam
2 
 
 
 
m
2 
 
 
 
dm
2 
 
 
 
cm
2 
 
 
 
mm
2 
 
 
 
1 000 000m
2 
 
 
10 000m
2 
 
 
100m
2 
 
 
1m
2 
 
 
0,01m
2 
 
 
0,000 1m
2 
 
 
0,000 001m
2 
 
 
Observando a tabela verificamos que cada unidade de área é 100 vezes maior que a 
imediatamente inferior e 100 vezes menos que a imediatamente superior. Então, para 
se ler ou escrever uma medida de superfície, colocamos 2 algarismos da medida para 
cada unidade. A quantidade de algarismos da parte decimal de uma medida de 
superfície deverá ser sempre par. Completamos com um zero caso isso não aconteça. 
Também a transformação de unidades é feita como nas medidas de comprimento, 
porém, colocando-se 2 algarismos em cada unidade. 
Matemática Básica 
SENAI-SP 48 
Km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
 
 
5, 
 
00 
 
01 
 
04 
 
Vejamos alguns exemplos 
 
 
a) Escrever as medidas por extenso (veja a tabela a seguir) 
 
 
8,7315dm2 = oito decímetros quadrados, sete mil trezentos e quinze milímetros 
quadrados 
0,0543m2 = quinhentos e quarenta e três centímetros quadrados 
 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
 8, 73 15 
 0, 05 43 
 
 
 
b) Escreva simbolicamente a medida: cinco metros quadrados, cento e quatro 
milímetros quadrados. Usando a tabela temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então a medida escrita de maneira simbólica fica: 5,000 104m2 
 
 
c) Faça as transformações de unidade (veja a tabela). 
 
4,32cm2 para m2 Resposta: 0,000 432m245,96m2 para cm2 Resposta: 459 600cm2
 
 
 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
 
 
0, 
 
00 
 
04 
 
32 
 
 
45, 
 
96 
 
00 
 
 
 
 
Matemática Básica 
SENAI-SP 49 
 
Faça os exercícios: (utilize a tabela para facilitar seu trabalho) 
 
 
31) Escreva por extenso a leitura das medidas: 
a) 145m2 
 
b) 13,5cm2 
 
c) 5,78km2 
 
 
 
32) Escreva simbolicamente as medidas. 
 
a) dois metros quadrados, doze decímetros quadrados 
 
 
b) oito decâmetros quadrados, cento e vinte e sete decímetros quadrados 
 
Matemática Básica 
SENAI-SP 50 
 
Área de figuras planas 
 
 
Para medir a superfície de figuras geométricas planas usamos fórmulas específicas 
para cada uma. 
 
 
Vamos verificar algumas delas. 
 
 
Retângulo 
 
 
 
 
 
 
onde:A é a área do retângulo 
 
c é a medida do comprimento 
 
 é a medida da largura do retângulo 
 
Quadrado 
 
 
 
 
 
 
onde:A é a área do quadrado 
 
 é a medida do lado do quadrado 
 
Como no quadrado os lados são iguais, o produto comprimento x largura fica lado x 
lado, ficando então lado ao quadrado, que abreviamos . 
 
Matemática Básica 
SENAI-SP 51 
 
Triângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde:A é a área do triângulo b é a medida da base 
h é a medida da altura do triângulo 
 
Trapézio 
 
 
 
 
 
 
onde:A significa área do trapézio 
 
B significa base maior 
b significa base menor 
h significa altura do trapézio 
 
Matemática Básica 
SENAI-SP 52 
Exemplos de cálculos de área 
 
Calcule a área das figuras a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lembre- se que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Básica 
SENAI-SP 53 
 
Matemática Básica 
SENAI-SP 54 
 
Faça os exercícios: 
 
 
34) Calcule a área das seguintes figuras, tendo cuidado com as transformações de 
unidades. 
 
 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
Matemática Básica 
SENAI-SP 55 
Vamos ver mais algumas fórmulas de cálculo de área de figuras planas. 
 
 
 
Paralelogramo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde:A é a área do paralelogramo 
b é a base 
h é a altura do paralelogramo 
 
 
Losango 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde:A é a área do losango 
d é a diagonal menor 
D é a diagonal maior 
 
Círculo 
 
 
onde:A é a área do círculo 
r é a medida do raio 
π vale aproximadamente, 3,14 
 
 
 
Matemática Básica 
SENAI-SP 56 
 
 
Matemática Básica 
SENAI-SP 57 
 
Faça os exercícios: 
 
 Calcule a área das figuras planas seguintes. 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Volume 
 
Volume de uma figura geométrica espacial é a medida do espaço ocupado por essa 
figura. 
Para medir o volume de uma figura espacial ou sólido geométrico usamos como medida 
padrão o metro cúbico (m3). Os seus múltiplos e submúltiplos bem como seus 
símbolos e equivalência estão na tabela abaixo. 
 
 
 
Múltiplos do metro cúbico 
 
 
Submúltiplos do metro cúbico 
 
 
Quilômetro Hectômetro Decâmetro 
 
cúbico cúbico cúbico 
 
Metro 
 
cúbico 
 
Decímetro Centímetro Milímetro 
 
cúbico cúbico cúbico 
 
 
 
 
km3 hm3 dam3 
 
 
 
m3 
 
 
 
dm3 cm3 mm3 
 
1 000 000 000 
1 000 000m
3 
1 000m
3
 
m
3 
 
 
1m
3 
 
 
0,001m
3 
0,000 001 m
3 
0,000 000.001m
3 
Matemática Básica 
SENAI-SP 58 
 
Para ler e escrever unidades de volume colocamos 3 algarismos da medida dada para 
cada unidade de volume. Portanto, a quantidade de algarismos da parte decimal de uma 
medida de volume deverá ser 3, 6, 9 etc. Completamos com 1 ou 2 zeros se isto não 
acontecer. 
Para transformar unidades de volume precedemos da mesma forma que nas medidas 
de comprimento e superfície, porém colocando 3 algarismos em cada unidade. 
 
 
Veja alguns exemplos 
 
a) Escrever por extenso a leitura das medidas: 
 
8,068m3 = oito metros cúbicos, sessenta e oito decímetros cúbicos 
0,320 019dm3 = trezentos e vinte mil e dezenove milímetros cúbicos 
 
Observe na tabela: 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Escreva simbolicamente: 
 
um metro cúbico, vinte e oito decímetros cúbicos = 1,028m3
 
 
 
Veja a tabela: 
 
 
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 
 
 
1, 
 
028 
 
 
 
12, 
 
000 
 
012 
 
407 
 
 
 
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 
 
 
8, 
 
068 
 
 
 
0, 
 
320 
 
019 
Matemática Básica 
SENAI-SP 59 
c) Faça as transformações (observe a tabela a seguir). 
 
32m3 para dm3 = 32000dm3
 
122mm3 para dm3 = 0, 000122dm3
 
0,453cm3 para m3 = 0,000000453m3
 
 
 
 
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 
 
 
32 
 
000 
 
 
 
0, 
 
000 
 
122 
 
 
0, 
 
000 
 
000 
 
453 
 
 
Faça os exercícios:(Se necessário, use a tabela) 
 
 
1) Escreva por extenso as medidas abaixo. 
a)4,0m3 
 
b)18,5cm3
 
 
 
 
 
2) Faça as transformações pedidas. 
a)8,0 m3 para cm3
 
 
 
b)18 000cm3 para dm3 
 
 
c)4 854dm3 para m3
 
 
 
 
Matemática Básica 
SENAI-SP 60 
Volume das figuras espaciais 
 
Para calcular o volume das figuras espaciais também usamos fórmulas específicas para 
cada uma. Veja as principais: 
 
 
Cubo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde: a é a aresta 
 
 
Paralelepípedo retângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde:a é a largura 
b é o comprimento 
c é a altura 
 
Matemática Básica 
SENAI-SP 61 
Prismas em geral 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde: A b é a área da base 
h é a altura 
 
 
 
 
Cilindro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde:r é raio da base 
h é a altura 
 
 
Matemática Básica 
SENAI-SP 62 
Exemplos 
 
Calcular o volume das figuras geométricas espaciais a seguir. 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
Área da base: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Básica 
SENAI-SP 63 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
Atenção: = diâmetro 
 
 
 
Faça os exercícios: 
 
 
38) Calcule o volume das figuras seguintes. 
 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
Matemática Básica 
SENAI-SP 64 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capacidade 
 
Podemos determinar a capacidade de um recipiente calculando o seu volume. A 
unidade fundamental de capacidade é o litro (l). Seus múltiplos e submúltiplos constam 
na tabela a seguir. 
 
 
 
 
 
Múltiplos do litro 
 
 
Submúltiplos do litro 
 
 
 
 
Quilolitro 
 
 
 
Hectolitro 
 
 
 
Decalitro 
 
 
 
Litro 
 
 
 
Decilitro 
 
 
 
Centilitro 
 
 
 
Mililitro 
 
 
 
 
kl 
 
 
 
hl 
 
 
 
dal 
 
 
 
l 
 
 
 
dl 
 
 
 
cl 
 
 
 
ml 
 
 
 
1 000 l 
 
 
100 l 
 
 
10 l 
 
 
1 l 
 
 
0,1 l 
 
 
0,01 l 
 
 
0,001 l 
 
 
 
 
Pela tabela observa-se que a equivalência entre as unidades de capacidade é a mesma 
verificada com as unidades de medida de comprimento. Portanto, o procedimento 
adotado para ler, escrever e converter medidas de capacidade deve ser o mesmo 
observado com as medidas de comprimento (1 algarismo em cada “casa” da tabela). 
 
 
Exemplos 
 
5,8 l= cinco litros e oito decilitros 
dois litros e nove centilitros = 2,09 l 
3,5 l transformado em ml resulta 3500ml 
Matemática Básica 
SENAI-SP 65 
Faça os exercícios: 
 
 
39) Faça, conforme o exemplo, a leitura das seguintes medidas. 
a)145,4 l = cento e quarenta e cinco litros e quatro decilitros 
b)39 542m l 
e)913,4 l 
 
 
Matemática Básica 
SENAI-SP 66 
 
Massa 
 
Massa é a quantidade de matéria de um corpo 
 
 
A unidade fundamental de massa é o quilograma (kg) e seus submúltiplos estão na 
tabela a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
Quilograma 
 
Submúltiplos do quilograma 
 
 
 
 
Hectograma 
 
 
 
Decagrama 
 
 
 
Grama 
 
 
 
Decigrama 
 
 
 
Centigrama 
 
 
 
Miligrama 
 
 
 
kg 
 
 
hg 
 
 
dag 
 
 
g 
 
 
dg 
 
 
cg 
 
 
mg 
 
 
 
1 000g 
 
 
100g 
 
 
10g 
 
 
1g 
 
 
0,1g 
 
 
0,01g 
 
 
0,001g 
 
 
Usamos ainda a tonelada (t) que vale 1000kg. 
 
 
A equivalência entre asunidades de massa é a mesma existente entre as de 
comprimento e também as de capacidade. Para ler, escrever e converter medidas de 
massa procede-se da mesma forma. 
 
 
Exemplos 
 
 
5 hg = cinco hectogramas 
 
3,54 g = três gramas, cinqüenta e quatro centigramas 
 
0,200 kg = duzentos gramas 
 
vinte decigramas e quinze miligramas = 20,15dg 
 
3,5 kg transformado em gramas fica 3500g 
 
35 cg para hg fica 0,0035hg 
 
Matemática Básica 
SENAI-SP 67 
 
Faça os exercícios: 
 
 
41) Escreva por extenso a leitura das medidas 
a) 20,859kg 
 
a) 4,05g 
 
 
b)9,45dg 
 
c)3t 
 
 
 
Matemática Básica 
SENAI-SP 68 
 
Relação entre volume, capacidade e massa 
 
 
Um litro de água destilada (sem impurezas) e sob certas condições de temperatura e 
pressão equivale, aproximadamente, a 1dm3 e a 1kg. Temos portanto a relação: 
 
 
 
 
 
Fundamentados nessa relação podemos tirar outras, como: 
 
 
 ou ainda 
 
 
 
Vamos verificar alguns problemas relativos a esse assunto. 
 
 
a)Quantos litros contém uma caixa d’ água de 2m de comprimento, 1m de largura e 
 
0,80m de altura? 
 
 
 
 
 
Resposta: A caixa d´ água contém 1600 l 
 
 
b)Fazer as conversões pedidas. 
 
45,5 l para kg 
solução: 
 
 
solução: 
, 
 
Matemática Básica 
SENAI-SP 69 
 
Faça os exercícios: 
 
 
43) Faça as conversões pedidas. 
a) 300cm3 para g 
 
b) 14,800m3 para l 
 
c) 2,520dm3 para kg 
 
d) 4,500 l para m3 
 
Resolva os problemas a seguir. 
 
 
a) Quantos litros de água cabem num reservatório cúbico de 2m de aresta? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Um tanque para armazenar gasolina tem a forma de um cilindro com 5cm de 
altura e raio de base igual a 4m. Qual é a capacidade em litros desse reservatório? 
 
 
 
 
 
 
 
c) Uma lata vazia pesa 1,40kg e cheia de água (pura) pesa 11,40kg. Qual é a sua 
capacidade? 
Matemática Básica 
SENAI-SP 70 
 
Matemática Básica 
 71
 
 
 
Triângulo Retângulo 
 
ELEMENTOS 
 
Lados de um triângulo retângulo 
 
Vamos relembrar alguns conceitos importantes para o estudo de triângulos: 
 
• triângulo retângulo tem um ângulo reto, ou seja, de 90º; 
 
• AB é segmento de reta; 
 
• m( AB ) quer dizer medida do segmento AB ; 
 
• vértice de um triângulo é o ponto comum entre dois lados. 
 
Os lados do triângulo retângulo recebem nomes especiais. 
 
O lado oposto ao ângulo reto recebe o nome de hipotenusa (lado maior). 
 
No triângulo ABC, por exemplo, qual lado é a hipotenusa? 
 
 
 
Note que Ĉ é o ângulo reto. O lado oposto de Ĉ é AB . 
 
Então, AB é a hipotenusa: 
 
 
Matemática Básica 
 72
Os lados do triângulo que formam o ângulo reto recebem o nome de catetos. 
Se você observar novamente o triângulo ABC, vai verificar que AC e CB são os lados 
que formam o ângulo reto. 
 
Então, são esses os catetos do triângulo ABC. 
Veja: 
 
 
 
 
RELAÇÃO DE PITÁGORAS 
 
 
Existe uma relação entre as medidas dos lados do triângulo retângulo chamada 
relação de Pitágoras. 
 
A relação de Pitágoras é a seguinte: o quadrado da medida da hipotenusa é igual à 
soma dos quadrados das medidas dos catetos. 
 
O que significa essa afirmação? Vamos entendê-la através de uma figura. 
 
Observe, a seguir, o triângulo BCD. 
 
 
 
Note que a hipotenusa é BC e que os catetos são BD e CD . 
Matemática Básica 
 73
Note também as medidas: 
hipotenusa = 45mm 
catetos = 27mm e 36mm 
Pela relação de Pitágoras a medida da hipotenusa ao quadrado (452) é igual á medida de 
um cateto ao quadrado (272) mais a medida do outro cateto ao quadrado (362). 
 
Teremos então: 
452 = 272 + 362 
2 025 = 729 + 1 296 
2 025 = 2 025 
 
Note que tanto no quadrado da hipotenusa como na soma dos quadrados dos catetos 
encontramos 2 025. 
 
Nomeando a hipotenusa e os catetos com letras, podemos escrever uma fórmula para 
relação de Pitágoras. 
 
Veja como nomeamos o triângulo : 
 
 
 
a representa a cota da hipotenusa. Observe que a cota a está oposta ao vértice ª 
 
b e c representam os catetos. Observe que a cota b está oposta ao vértice B e que a cota 
c está oposta ao vértice C. 
 
Matemática Básica 
 74
A relação de Pitágoras pode então ser escrita assim: 
(hip.)2 = (cat.1)
2 + (cat.2)
2 
 
onde: 
(hip.) é a hipotenusa 
(cat.1) é um cateto 
(cat.2) é outro cateto 
 
ou ainda assim: 
 
a2 = b2 + c2 
 
 
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
Revisão 
 
Razão 
 
Razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente obtido entre os números 
que medem as grandezas, na mesma unidade. 
 
Observe essa situação: em uma indústria trabalham 50 homens e 10 mulheres. Podemos 
comparar o número de homens e de mulheres, assim: 
 
10
 50 
 
 
Essa comparação é chamada razão. 
 
Matemática Básica 
 75
Podemos, ainda, determinar o valor dessa razão. Basta dividir o número que fica acima 
do traço (antecedente) pelo que fica embaixo (conseqüente). 
 
Então ficaria 
50 : 10 = 5 
 
O valor da razão 
10
 50 
 é 5. 
 
Já a razão entre o número de mulheres e o de homens fica indicada assim: 
50
 10 
. 
 
E o valor dessa razão é 0,2, porque 10 : 50 = 0,2. 
 
Proporção 
É a igualdade entre duas razões. 
 
Veja: 
2
8
 = 
5
20
 pois 
8 2 e 20 5 
0 4 ( 1a razão ) 0 4 ( 2a razão) 
 ↓ ↓ 
 
Assim: 4 = 4 
 
Lembretes: 
 
1. Na proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios (ou vice-versa). 
Veja: 
 
 
→ meios 
→ extremos 
 
Assim: 
 
 
Matemática Básica 
 76
Ou seja: (extremo x extremo) = ( meio x meio) 
ou (meio) x (meio) = (extremo x extremo) 
 
2. Se dividirmos ambos os membros de uma igualdade por um mesmo número diferente 
de zero, não alteramos essa igualdade. Assim, 
 
2x = 8 
 
8
x2
 = 
2
8
 (dividindo os membros por 2) 
 
 
x = 4 
 
Na prática resolvemos usando operação inversa. 
 
 
 
Exemplos de aplicação dos lembretes 1 e 2: 
 
Calcule o valor do termo desconhecido nas proporções: 
 
a) 
3
2
 = 
6
x
 → 3 . x = 2 . 6 → 3x = 12 → x = 
3
12
 → = 4 
 
b) 2 = 
3
x
 ou 
1
2
 = 
3
x
 → 1 . x = 2 . 3 → x = 6 
 
c) 2 = 
x
3
 → 
1
2
 = 
x
3
 → 2. x = 1 . 3 → 2x = 3 → x = 
2
3
 → x = 1,5 
 
d) x = 
2
4
 → x = 2 
 
 
Matemática Básica 
 77
Faça o exercício no seu caderno. 
 
1. Calcule o termo desconhecido: 
 
a) 
5
2
 = 
10
x
 
 
b) 5 =
3
x
 
 
c) 5 = 
x
3
 
 
d) 0,500 = 
2
x
 
 
e) 0,500 = 
x
2
 
 
f) x = 
5
3
 
 
 
Seno, co-seno e tangente 
 
Sempre é possível estabelecer razão entre as medidas de dois lados de um triângulo 
quando estão na mesma unidade. 
 
Nos triângulos retângulos, a razão entre as medidas de dois de seus lados recebe um 
nome especial: razão trigonométrica. 
 
A palavra trigonométrica refere-se a triângulos (trigono) e às suas medidas (métrica). 
 
Os cálculos trigonométricos envolvem medidas de dois lados e um ângulo do triângulo 
retângulo. 
 
Os catetos recebem nomes especiais conforme sua posição em relação a um ângulo 
agudo considerado. Veja: 
 
Matemática Básica 
 78
 
 
 
 
Exemplos 
Observe as figuras e especifique as medidas assinaladas. 
 
a) 
 
• é o ângulo considerado ( ) 
• 50 mm é a medida da hipotenusa ( hip.) 
• 36mm é a medida do cateto oposto a (c.o.) 
* o ângulo e o cateto não são citados 
 
 
 
b) 
 
• o ângulo considerado é 
• a medida da hipotenusa (hip.) é 30mm 
• a medida do cateto adjacente (c.a.) é 15mm 
* não há referência sobre e 
 
Matemática Básica 
 79
 
c) 
 
• é o ângulo assinalado 
• é o cateto oposto ( c.o.) a ele 
• é o cateto adjacente ( c.a.) a ele 
* a hipotenusa ( ) e o outro ângulo ( ) não são citados 
 
Faça o exercício no seu caderno. 
 
2. Observe as figuras e responda: 
 
 
 
a) Qual é o ângulo considerado? 
b) Qual é a medida da hipotenusa? 
c) Qual é o nome do lado que mede 10mm? 
d) Como se chama o lado do qual não se deu a medida? 
 
 
 
 
 
Ι ) = 30°ΙΙ ) = 60° 
 
 
Matemática Básica 
 80
Podemos calcular a razão entre as medidas dos lados desses triângulos. As razões entre 
as medidas de dois lados de um triângulo retângulo (chamadas razões trigonométricas) 
recebem nomes especiais. 
 
Vamos verificar o que ocorre nos exemplos dados anteriormente: 
 
a) 
 
 
Se calcularmos a razão entre a medida do cateto oposto a B (36mm) e a medida da 
hipotenusa (50mm) teremos: 
 
= 0,72 
Esta razão (0,72) recebe o nome de seno (indica-se sen). Portanto, 0,72 é o seno do 
ângulo considerado: . Simbolicamente, sen = 0,72. 
 
b) 
 
 
Se calcularmos a razão entre a medida do cateto adjacente a Ĉ (15mm) e a medida da 
hipotenusa (50mm) teremos: 
 
= 0,3 
 
Esta razão (0,3) recebe o nome de co-seno (indica-se cos). Portanto, 0,3 é o co-seno do 
ângulo considerado: . Simbolicamente; cos = 0,3. 
 
Matemática Básica 
 81
c) 
 
 
Se calcularmos a razão entre a medida do cateto oposto a (42mm) e a medida do 
cateto adjacente a (71mm) teremos: 
 
 
≈ 0,591 
 
Esta razão recebe o nome de tangente (indica-se tg). Portanto, 0,591 é a tangente do 
ângulo considerado . Simbolicamente; tg ≈ 0,591. 
 
Resumo 
sen = 
 
cos = 
 
tg = 
 
 
Matemática Básica 
 82
Exemplo 
Observe a figura e responda as questões. 
 
 
 
 
1) Qual é o ângulo considerado? 
2) Quanto mede o cateto oposto a ele? 
3) Qual é a medida do cateto adjacente a ele? 
4) Quanto mede a hipotenusa? 
5) Calcule o valor do seno, co-seno e tangente do ângulo considerado. 
 
Solução: 
1) O ângulo considerado é . 
2) O cateto oposto a ele mede 20mm. 
3) A medida do cateto adjacente a ele é 34,5mm. 
4) A hipotenusa mede 39,8mm. 
 
5) 
 a) sen = 
 sen = 
 
 sen = 0,502 
 
 b) cos = 
 
 cos = 
 
 cos ≈ 0,866 
 
Matemática Básica 
 83
 c) tg = 
 
 tg = 
Cálculo 
2000 34,5 
 tg ≈ 0,579 2750 0,579 
 3350 
 245 
 
Recapitulando o que já vimos: 
 
A razão trigonométrica 
 
recebe o nome de seno do ângulo 
 
ou 
 
seno do ângulo = 
 
ou 
 
sen = 
.)hip(
.)o.c(
 
 
A razão trigonométrica 
 
recebe o nome de co-seno do ângulo 
 
ou 
 
co-seno do ângulo = 
 
ou 
 
cos = 
.)hip(
.)a.c(
 
Matemática Básica 
 84
 
A razão trigonométrica 
 
 
recebe o nome de tangente 
 
ou 
 
tangente do ângulo = 
 
ou 
 
tg = 
.)a.c(
.)o.c(
 
 
Outros exemplos: 
Dadas as fórmulas (razões) 
sen = 
.)hip(
.)o.c(
 cos = 
.)hip(
.)a.c(
 tg = 
.)a.c(
.)o.c(
 
 
e os triângulos abaixo, faça o seguinte: 
 
Ι) Escreva (a.i.) no ângulo indicado, (c.o.) no cateto oposto a ele, (c.a.) no cateto 
adjacente e (hip.) na hipotenusa. 
 
ΙΙ) Escolha a fórmula (razão) adequada de acordo com as medidas dadas e calcule a 
razão trigonométrica. 
 
a) 
 
 
Matemática Básica 
 85
Resolução: 
Ι) a.i. = 
 c.a. = 3mm 
 hip. = 5mm 
 
 
 
ΙΙ) Como são dados (c.a.) e (hip.), a razão é co-seno. 
Logo: cos = 
.)hip(
.)a.c(
 
 
cos = 
 
Cálculos 
30 5 
 0 0,6 
 
cos = 0,6 
 
b) 
 
 
Resolução: 
 
Ι) a.i. = 
 c.o. = 2cm 
 c.a. = 3cm 
 
ΙΙ) Como são dados (c.o.) e (c.a.) a razão é tangente. 
Logo: tg = 
.)a.c(
.)o.c(
 
 
Matemática Básica 
 86
tg = 
 
Cálculo 
20 3 
20 0,666... 
 2 
 
tg ≈ 0,666 
 
c) 
 
 
Resolução: 
 
Ι) a.i. = 48°40’ 
c.o. = 6cm 
hip.= 8cm 
 
ΙΙ) Como são dados (c.o.) e (hip.) a razão é seno. 
Logo: sen = 
.)hip(
.)o.c(
 
 
sen 48°40’ = 
8
6
 
Cálculo 
 60 8 
 40 0,75 
 0 
 
sen 48°40’ = 0,75 
 
Matemática Básica 
 87
Observações 
• Para calcular a razão aproxima-se até milésimos se a divisão não for exata. 
• Se é dado o valor do ângulo considerado, substitui-se este valor na fórmula (ver 
exemplo c). 
 
Faça os exercícios no seu caderno. 
 
3. Copie a figura e responda às questões propostas. 
 
 
 
a) Qual é o ângulo considerado? 
b) Quanto mede o cateto oposto a ele? 
c) Quanto mede o cateto adjacente a ele? 
d) Quanto mede a hipotenusa? 
e) Calcule o seno, o co-seno e a tangente do ângulo considerado. 
 
4. Copie o mesmo triângulo do exercício 3, considere o outro ângulo agudo e responda 
às mesmas questões em relação a ele. 
Matemática Básica 
 88
 
5 Copie os triângulos e faça o seguinte: 
 
I) Indique o ângulo considerado (a.i.), a hipotenusa (hip.), o cateto oposto (c.o.) e o 
cateto adjacente (c.a.). 
 
II) Escolha a fórmula adequada e calcule o seno, co-seno ou tangente. 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
Matemática Básica 
 89
 
Tabela das razões trigonométricas 
 
Observe a razão seno para os triângulos abaixo: 
 
 
 
No ABC temos sen30° = 
20
10
 = 0,5 
 
No MNO temos sen30° = 
15
5,7
 = 0,5 
 
No PQR temos sen30° = 
5
5,2
 = 0,5 
 
Este valor constante permite o uso de tabelas. 
 
Vamos ver como se utiliza uma tabela trigonométrica. 
 
A consulta a qualquer uma delas é feita da mesma forma, portanto vamos trabalhar com 
uma delas, por exemplo a de senos. 
 
Matemática Básica 
 90
A tabela de senos é formada por colunas e linhas. Assim: 
 
 
 
Observe, na sua tabela, as linhas e as colunas: 
• A primeira coluna indica a medida do ângulo em graus; 
• A primeira linha indica os minutos; 
• As outras colunas contêm os valores dos senos. 
 
Notou que todos os senos possuem cinco casas depois da vírgula? Mas, mesmo tendo 
encontrado um seno com três casas, você poderá localizá-lo na tabela. 
 
Vamos ver, então, como encontramos na tabela a medida do ângulo que corresponde ao 
valor de um seno conhecido. Como encontrar, por exemplo, a medida do ângulo que tem 
como seno 0,078? Primeiro, localizamos na tabela o valor do seno, procurando um 
número que comece por 0,078: 
 
Matemática Básica 
 91
 
 
Note que, apesar de o seno possuir cinco casas na tabela, pudemos localizá-lo, apenas 
observando as três primeiras casas do número. 
 
Vamos, agora, encontrar a medida do ângulo. Na direção do seno localizando, na primeira 
coluna, está a medida em graus, e, na primeira linha, estão os minutos: 
 
 
Logo, a medida do ângulo que tem como seno 0,078 é 4°30’. 
 
Não se preocupe com o fato de a tabela possuir tantos números, pois os senos aparecem 
em ordem, aumentando sempre da esquerda para a direita: 
0,00000 0,00291 0,00582 0,00873 0,01164 0,01454 
0,01745 0,02036 0,02327 etc. 
 
Às vezes, o número procurado não se encontra na tabela. Por exemplo: se você procurar 
o seno = 0,093 não vai encontrá-lo. Encontrará 0,09585 (maior) e 0,9295 (menor). Neste 
caso, uma das soluções é utilizar o mais próximo. Veja como: 
1º) Complete com zeros o seno procurado deixando-o com 5 casas decimais (0,093 = 
0,09300) 
Matemática Básica 
 92
 
2º) Calcule a diferença entre ele e os dois mais próximos (maior e menor). 
 
 
 
3º) Como 0,09295 é o seno mais próximo do seno procurado, a resposta à consulta é: 
5°20’. 
 
Faça o exercício no seu caderno. 
 
6. Copie os senos abaixo, procure os ângulos correspondentes na tabela e escreva-os 
ao lado, conforme exemplo: 
a) 0,167 = sen 9°40’ 
b) 0,401 
c) 0,868 
d) 0,997 
e) 0,862 
f) 0,761 
g) 0,9 
h) 0,6 
 
Vamos considerar agora o problema inverso. Conhecendo a medida de um ângulo, 
encontrar na tabela o valor do seno correspondente. 
 
Podemos encontrar, por exemplo, o valor do seno do ângulo de 3º20’. 
 
Primeiro, localizamos os graus da medida da primeira coluna da tabela: 
 
Matemática Básica 
 93
 
 
Depois, seguimos a linha desses graus até a coluna que fica na direção dos minutos da 
medida. Como a medida do exemplo possui 20’, seguimos a linha até a coluna de 20’. 
 
 
 
Dessa forma, encontramos o seno do ângulo de 3º20’: sen 3º20’ = 0,05814. 
 
Vejamos outros exemplos: 
 
a) sen 74º10’ = 0,96206 
b) sen 63º = 0,89101 (como não há minutos, procura-se o valor na coluna 0’) 
c) sen 10’ = 0,00291 (como não há graus, procura-se na linha0º) 
 
Matemática Básica 
 94
Faça os exercícios no seu caderno. 
 
7. Consulte a tabela e escreva os senos dos ângulos: 
a) a)sen 24º30’ 
b) b)sen 44º40’ 
c) c)sen 85º 
d) d)sen 61º50’ 
e) e)sen 30º 
f) f)sen 45º 
 
8. Consulte uma das três tabelas trigonométricas para responder às questões a seguir. 
a) Qual é o co-seno de 60º? 
b) Qual é a tangente de 18º? 
c) 0,25882 é co-seno de qual ângulo? 
d) 7,268 é a tangente aproximada de que ângulo? 
e) Qual é o seno de 30º? E o co-seno de 60º? Estes resultados são iguais? 
f) Qual é o co-seno de 39º10’? E o seno de 50º50’? Esses resultados são iguais? 
g) Qual é o seno de 25º30’? E o co-seno de 64º30’? Esses resultados são iguais? 
 
9. Calcule a soma dos ângulos das questões e, f e g do exercício anterior. Assim: 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
(Procure lembrar-se como se chamam esses pares de ângulos pois será muito útil no seu 
trabalho) 
 
Matemática Básica 
 95
O seno de um ângulo é uma constante. Isso quer dizer que o seno de uma determinada 
medida de ângulo é sempre o mesmo, quaisquer que sejam as medidas da hipotenusa e 
do cateto oposto a esse ângulo. Como você já viu, o seno do ângulo de 30º, por exemplo, 
é sempre 0,5. 
Nos dois triângulos seguintes, o seno de é 0,5. Observe: 
 
 
 
4
2
 
sen = 
4
2
 
Cálculos 
 2,0 4 
sen = 0,5 0 0,5 
 
 
 
 
sen = 
6
3
 
Cálculos 
 3,0 6 
sen = 0,5 0 0,5 
 
Nos dois casos, o seno é 0,5 e o ângulo mede 30º, apesar de as medidas dos lados 
serem diferentes: 2cm e 4cm no primeiro; 3cm e 6cm no segundo. 
 
Matemática Básica 
 96
O mesmo ocorre com as razões co-seno e tangente. Dessa forma é sempre possível 
calcular a medida de um ângulo agudo quando conhecemos as medidas dos lados do 
triângulo. 
 
 
Cálculo do ângulo 
 
Vamos ver qual é a medida do ângulo F do triângulo DEF. 
 
 
 
Ι) dados do problema: 
 
a.i. = = a.i. 
c.o. = 40 ou 40 = c.o. 
hip. = 50 50 = hip. 
 
ΙΙ) Resolução: 
sen = 
.hip
.o.c
 sen = 
50
40
 sen = 0,8 
 
Consultando a tabela de senos temos: = 53º10’ 
 
Observação 
Após a consulta à tabela, o nome da razão (sen) desaparece, pois 53º10’ já é a medida 
do ângulo indicado. Portanto, para calcular a medida do ângulo seguimos os seguintes 
passos: 
 
Matemática Básica 
 97
1º) destacamos os dados do problema; 
2º) identificamos a razão de acordo com os dados; 
3º) resolvemos o problema, substituindo na fórmula (razão) os dados indicados e 
efetuando as operações até consultar a tabela. 
 
Outros exemplos: 
a) Calcule o ângulo H: 
 
 
I) dados: a.i. = 
 a. = 45 
 ip. = 60 
 
II) razão: cos = 
.hip
.a.c
 
 
III) cos = 
60
45
 
 
 cos = 0,75 (ver tabela de co-seno) 
 = 41º20’ 
 
 Resposta: O ângulo mede 41º20’. 
Matemática Básica 
 98
 
b) Calcule o ângulo : 
 
 
 
I) dados: a.i. = 
 c.a. = 10 
 c.o. = 16 
 
II) razão: tg = 
.a.c
.o.c
 
 
III) tg = 
10
16
 
 
 tg = 1,6 (consultando a tabela de tangentes) 
 = 58º. 
 
 
 
Faça o exercício no seu caderno. 
 
10. Calcule os ângulos indicados nas figuras: 
 
a) 
 
 
Matemática Básica 
 99
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
Cálculo de um lado do triângulo 
 
É sempre possível calcular o valor de um lado qualquer de um triângulo retângulo sendo 
conhecidos um ângulo e qualquer um dos outros dois lados. 
 
Matemática Básica 
 100
Vejamos um exemplo: 
 
Calcule x no triângulo abaixo. 
 
 
I) dados: a.i. = = 35º 
 c.a. = 45cm 
 c.o.= x 
 
II) razão: tg = 
.a.c
.o.c
 
 
III) tg 35º = 
45
x
 
 
• Consultando a tabela de tangentes temos: tg 35º ≅ 0,700 (vamos trabalhar com 
apenas 3 casas decimais). 
 
Então: 0,700 = 
45
x
 ou 
1
7,0
 = 
45
x
 
 
Matemática Básica 
 101
• Calculando o valor de x: 
 
 
Cálculo 
31,5
7,0 x
45 
 
 
 
1 . x = 0,7 . 45 
x = 31,5 
 
Resposta: O valor de x é 31,5cm. 
Outros exemplos: 
a) Calcule o lado . 
 
 
 
I) dados: 
65º40’ = a.i. 
 15 mm = hip. 
 = c.a. (x) 
 
II) razão: cos = 
.hip
.a.c
 
III) cos 65º40’ = 
15
x
 
 
tabela: cos 65º40’ = 0,412 
 
0,412 = 
15
x
 ou 
 
 
1 . X = 0,412 . 15 
X = 6,18 
Matemática Básica 
 102
 
Resposta: O lado mede 6,18mm. 
 
b) Calcule a hipotenusa do triângulo HIJ: 
 
 
 
I) dados: 53º10’ = a.i. 
 40 = c.o. 
 = hip. (x) 
 
II) razão: sen = 
.hip
.o.c
 
 
III) sen 53º10’ = 
x
40
 
 
tabela: sen 53º10’ = 0,800 
 
0,8 = 
x
40
 
ou 
 
 
0,8 . x = 1 . 40 
0,8 . x = 40 
 
x = 
8,0
40
 
 
x = 50 
 
Resposta: A hipotenusa do triângulo mede 50mm. 
Matemática Básica 
 103
Faça os exercícios no seu caderno. 
 
11. Copie no seu caderno os triângulos e escreva nas cotas indicadas: (c.a.), (c.o.),(hip.) 
ou (a.i.), conforme o caso. 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
Matemática Básica 
 104
d) 
 
 
12. Copie no seu caderno, consulte a tabela e responda. 
a) sen 30º = 
b) cos 30º = 
c) tg 30º = 
d) sen 30º20’ = 
e) cos 30’ = 
f) tg 90º = 
 
13. Escreva no seu caderno o ângulo correspondente às razões dadas. 
 
a) exemplo: cos x = 0,500 
 Resposta: x = 60º 
 
b) cos x = 0,86603 
c) tg x = 1,76758 
d) sen x = 0,500 
e) sen x = 0,86603 
Matemática Básica 
 105
 
14. Desenhe com medidas quaisquer e calcule as cotas pedidas. Utilize os esquemas dos 
exemplos dados: 
 
a) 
 
b) 
 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
 
Matemática Básica 
 106
g) 
 
h) 
 
 
15. Desenhe os triângulos dados com medidas quaisquer e calcule no seu caderno os 
ângulos ou lados pedidos. 
 
a) 
 
b) 
 
 
c) 
 
d) 
 
 
Matemática Básica 
 107
e) 
 
f) 
 
 
g) 
 
h) 
 
 
i) 
 
j) 
 
 
l) 
 
 
Matemática Básica 
 108
 
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