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2a Lista de Exercı́cios de Complementos de Matemática1
Prof. Emerson Lima
Escola Politécnica de Pernambuco
Questão 01. Usando a definição da exponencial complexa, ex+iy = ex (cos(y) + isen(y)) mostre
que:
1. ez = ez
2. ez+T = ez se, e somente se, T = 2πi. Ou seja, ez é função 2πi-periódica. O que podemos
afirmar sobre ez+πi?
3. ei·z = eiz se, e somente se, z = kπ, k ∈ ZZ
4. ez 6= 0, ∀z ∈ C. Encontre todas as soluções de ez = −1
5. ez ∈ IR se, e somente se, z = x + iy com y = kπ, k ∈ ZZ. Para quais desses valores, ez é
real e negativo?
Questão 02. Usando a definição das funções trigonométricas complexas sen(z) =
eiz − e−iz
2i
e
cos(z) =
eiz + e−iz
2
, mostre ainda que sen(z) = sen(z). O que podemos afirmar sobre cos(z)?
Verifique2 ainda quais das seguintes propriedades das funções seno e cosseno reais continuam
válidas em C:
1. sen2z + cos2 z = 1
2. senz = cos (π/2 − z)
3. senz = sen(π − z)
4. cos z = − cos(π − z)
5. sen(z + w) = senz cos w + cos zsenw
6. sen(z − w) = senz cos w − cos zsenw
7. cos(z + w) = cos z cos w − senzsenw
8. cos(z − w) = cos z cos w + senzsenw
9. sen2z = 2senz cos z
10. cos 2z = cos2 z − sen2z
11. cos 2z = 2 cos2 z − 1
12. cos 2z = 1 − 2sen2z
13. sen(z + w)sen(z − w) = sen2z − sen2w
14. cos(z + w) cos(z − w) = cos2 z − sen2w
15. 1 + tan2 z = sec2 z
16. 1 + cot2 z = csc2 z
17. tan z = cot (π/2 − z)
18. cot z = − cot(π − z)
19. csc z = cot z/2 − cot z
20. tan(z + w) =
tan z + tan w
1 − tan z tan w
21. tan(z − w) =
tan z − tan w
1 + tan z tan w
22. cot(z + w) =
cot z cot w − 1
cot z + cot w
23. cot(z − w) =
cot z cot w + 1
cot z − cot w
24. tan 2z =
2 tan z
1 − tan2 z
25. cot 2z =
cot2 z − 1
2 cot z
1Nesta lista, como convencional, z, w, u referem-se a números complexos e λ, µ, ν são constantes reais. Ângulos
em representações polar ou cartesiana são representados por θ, α, β. k, l, m, n referem-se a números inteiros.
2Sugestão: Ao estabelecer uma propriedade diretamente da definição, use-a como base para provar outras identi-
dades sem ter que recorrer, necessariamente, à definição novamente. O mesmo é verdade para os demais exercı́cios.
2
Questão 03. Mostre que:
1.
d(senz)
dz
= cos z
2.
d(cos z)
dz
= −senz
3.
d(tan z)
dz
= sec2 z
4.
d(cot z)
dz
= − csc2 z
5.
d(sec z)
dz
= tan z sec z
6.
d(csc z)
dz
= − cot z csc z
Especificando em cada função acima qual o domı́nio considerado.
Questão 04. Usando a definição das funções trigonométricas hiperbólicas complexas senh(z) =
ez − e−z
2
e cos(z) =
eiz + e−iz
2
, verifique quais das seguintes propriedades das funções seno e
cosseno hiperbólicas reais continuam válidas em C:
1. cosh2 z − senh2z = 1
2. 1 − tanh2(z) = sech2(z)
3. 1 − coth2(z) = −csch2(z)
4. senh(z + w) = senhz cosh w + cosh zsenhw
5. senh(z − w) = senhz cosh w − cosh zsenhw
6. cosh(z + w) = cosh z cosh w + senhzsenhw
7. cosh(z − w) = cosh z cosh w − senhzsenhw
8. cosh(2z) = cosh2(z) + senh2(z) = 2 cosh2(z)− 1
9. senh(2z) = 2senh(z) cosh(z)
10. cosh2(z) =
1 + cosh(2z)
2
11. senh2(z) = −
1 − cosh(2z)
2
O que podemos afirmar sobre senh(z) e sobre cosh(z)?
3
Questão 05. Mostre que:
1.
d(senhz)
dz
= cosh z
2.
d(cosh z)
dz
= senhz
3.
d(tanh z)
dz
= sech2z
4.
d(coth z)
dz
= −csch2z
5.
d(sechz)
dz
= − tanh z sechz
6.
d(cschz)
dz
= − coth z cschz
Especificando em cada função acima qual o domı́nio considerado.
Questão 06. Mostre que os únicos zeros complexos das funções trigonométricas são os zeros
reais, ou seja, mostre que sen(z) = 0 se, e somente se, z = kπ, k ∈ ZZ e que cos(z) = 0 se, e
somente se, z =
pi
2
+ kπ, k ∈ ZZ.
Questão 07. Mostre que as funções trigonométricas complexas são 2π-periódicas, ou seja,
mostre que sen(z + T) = sen(z), ∀z ∈ C se, e somente se, T = 2π e que cos(z + T) =
cos(z), ∀z ∈ C se, e somente se, T = 2π. Mostre também que sen(z + π) = sen(z) e que
cos(z + π) = − cos(z). O que podemos afirmar sobre sen
(
z +
π
2
)
e sobre cos
(
z +
π
2
)
para o
caso complexo?
Questão 08. Mostre as seguintes identidades que correlacionam as funções trigonometricas e
trigonométricas hiperbólicas (em todos os casos, considere z = x + iy com x, y ∈ IR).
1. sen(iz) = isenh(z)
2. cos(iz) = cosh(z)
3. sen(z) = sen(x) cosh(y) + i cos(x)senh(y)
4. cos(z) = cos(x) cosh(y)− isen(x)senh(y)
5. ‖sen(z)‖2 = sen2(x) + senh2(y)
6. ‖ cos(z)‖2 = cos2(x) + senh2(y)
7. senh(z) = senh(x) cos(y) + i cosh(x)sen(y)
8. cosh(z) = cosh(x) cos(y) + isenh(x)sen(y)
9. ‖senh(z)‖2 = senh2(x) + sen2(y)
10. ‖ cosh(z)‖2 = senh2(x) + cos2(y)
4
Questão 09. Mostre as seguintes desigualdades (em todos os casos, considere z = x + iy com
x, y ∈ IR):
1. |senh(y)| ≤ ‖sen(z)‖ ≤ cosh(y)
2. |senh(y)| ≤ ‖ cos(z)‖ ≤ cosh(y)
3. senh(|x|) ≤ ‖ cosh(z)‖ ≤ cosh(x) (Qual o resultado análogo para | cosh(z)‖?)
4. ‖sen(z)‖ ≤ |sen(x)| (Qual o resultado análogo para |senh(z)‖?)
5. ‖ cos(z)‖ ≤ | cos(x)| (Qual o resultado análogo para | cosh(z)‖?)
Questão 10. Mostre que as funções trigonométricas hiperbólicas complexas são 2πi-periódicas,
ou seja, mostre que senh(z + T) = senh(z), ∀z ∈ C se, e somente se, T = 2πi e que cosh(z +
T) = cosh(z), ∀z ∈ C se, e somente se, T = 2πi. O que podemos afirmar sobre senh(z + πi) e
sobre cosh(z + πi) = − cos(z).
Encontre os zeros complexos das funções trigonométricas hiperbólicas.