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1 Lista de Exerćıcios Derivadas
1. f(x) = 4x
1
5 − 3x
1
2 + 2
x2 − 3
resposta:
f ′(x) = 1
54x
−4
5 − 1
23x
−1
2 − 4x−3
f ′(x) = 4
5x
4
5
− 3
2
√
x
− 4
x3
2. f(x) = 4xarcsin(x)
resposta:
f ′(x) = 4xln(4)arcsin(x) + 4x 1√
1−x2
1
f ′(x) = 4xln(4)arcsin(x) + 4x√
1−x2
f ′(x) = 4x[ln(4)arcsin(x) + 1√
1−x2
]
3. f(x) = ln(x)tg(x)
resposta:
f ′(x) = 1
x tg(x) + ln(x)sec2(x)
f ′(x) = tg(x)
x + ln(x)sec2(x)
4. f(x) =
√
xln(x6 + 3)
resposta:
f ′(x) = 1
2x
−1
2 ln(x6 + 3) +
√
x 1
x6+36x
5
f ′(x) = ln(x6+3)
2
√
x
+ 6x5√x
x6+3
5. f(x) = x2ln(x)arcsin(x)
resposta:
f ′(x) = 2xln(x)arcsin(x) + x2 1
xarcsin(x) + x2ln(x) 1√
1−x2
f ′(x) = 2xln(x)arcsin(x) + xarcsin(x) + x2ln(x)√
1−x2
6. f(x) = cosh(x)
5x4+3x3+2x−7
resposta:
f ′(x) = (5x4+3x3+2x−7)(sinh(x))−(cosh(x))(20x3+9x2+2)
(5x4+3x3+2x−7)2
f ′(x) = sinh(x)
5x4+3x3+2x−7 − cosh(x)(20x3+9x2+2)
(5x3+3x3+2x−7)2
7. f(x) = sin(x)+ex
x+2
resposta:
f ′(x) = (x+2)(cos(x)+ex)−(sin(x)+ex)
(x+2)2
f ′(x) = cos(x)+ex
x+2 − sin(x)+ex
(x+2)2
8. f(x) = 3cos(x)+4
√
x
ex
resposta:
f ′(x) =
(ex)(−3sin(x)+4 1
2x
−1
2 )−(3cos(x)+4
√
x)(ex)
(ex)2
1
f ′(x) =
−3sin(x)+ 2√
x
ex − 3cos(x)+4
√
x
ex
9. f(x) = 3x + ecos(x) + log3(x)
resposta:
f ′(x) = 3xln(3)− ecos(x)sin(x) + 1
x log3(e)
f ′(x) = 3xln(3)− ecos(x)sin(x) + log3(e)
x
10. f(x) = (x4−2x)sin(x)√
x
resposta:
f ′(x) =
(
√
x)(4x3−2sin(x)+x4−2xcos(x))−(x4−2xsin(x)) 1
2x
−1
2
(
√
x)2
f ′(x) = (
√
x)(4x3−2sin(x)+x42xcos(x))
(
√
x)2
− x4−2xsin(x)
(
√
x)22x
1
2
f ′(x) = 4x3−2sin(x)+x42xcos(x)√
x
− x4−2xsin(x)
2x
3
2
11. f(x) =
√
cos(x)
resposta:
f ′(x) = − 1
2cos(x)
− 1
2sin(x)1
f ′(x) = −sin(x)
2
√
cos(x)
12. f(x) = ecos(x)
resposta:
f ′(x) = −ecos(x)sin(x)
13. f(x) = cos(log3(x)) + tg( 1
x5 )− 4
resposta:
f ′(x) = −sin(log3(x))
1
x log3(e)− sec2( 1
x5 )5x
−6
f ′(x) = −sin(log3(x))log3(e)
x − 5sec2( 1
x5 )
x−6
14. f(x) = cos(e
1
x + 2x)
resposta:
f ′(x) = −sin(e
1
x + 2x)(−e
1
xx−2 + 2xln(2))
f ′(x) = −sin(e
1
x + 2x)(−e
1
x
x2 + 2xln(2))
15. f(x) = [ln(x)tg(x)]3
ou
f(x) = ln3(x)tg3(x)
resposta:
f ′(x) = 3ln2(x) 1x tg
3(x) + ln3(x)3tg2(x)sec2(x)
f ′(x) = 3ln2(x)tg3(x)
x + 3ln3(x)tg2(x)sec2(x)
16. f(x) = [tg(x)]e
x+4
resposta:
2
diferenciação logaŕıtmica
y = [tg(x)]e
x+4 =⇒ y′(x) =?
1)ln(y) = ([tg(x)]e
x+4)
ln(y) = ex + 4ln(tg(x))
2)Derivar (1) em relação a x. Sabemos que y é uma função da variavel x.
1
yy
′(x) = exln(tg(x)) + ex + 4 1
tg(x)sec
2(x)
1
yy
′(x) = exln(tg(x)) + ex + 4 1
sin(x)
cos(x)
1
cos2(x)
1
yy
′(x) = exln(tg(x)) + ex + 4cossec(x)sec(x)
3)Isolar y′(x)
y′(x) = y[exln(tg(x)) + ex + 4cossec(x)sec(x)]
y′(x) = [tg(x)]e
x+4[exln(tg(x)) + ex + 4cossec(x)sec(x)]
17. f(x) = (x4 − 3x2 − 5)tg(x)
resposta:
y = (x4 − 3x2 − 5)tg(x) =⇒ y′(x) =?
(1)ln(y) = ln((x4 − 3x2 − 5)tg(x)
ln(y) = tg(x)(x4 − 3x2 − 5)
(2) 1yy
′(x) = sec2(x)ln(x4 − 3x2 − 5) + tg(x) 1
x4−3x2−54x
3 − 6x
1
yy
′(x) = sec2(x)ln(x4 − 3x2 − 5) + tg(x) 4x3−6x
x4−3x2−5
(3)y′(x) = y[sec2(x)ln(x4 − 3x2 − 5) + tg(x) 4x3−6x
x4−3x2−5 ]
y′(x) = (x4 − 3x2 − 5)[sec2(x)ln(x4 − 3x2 − 5) + tg(x) 4x3−6x
x4−3x2−5 ]
18. f(x) = arctg(x)− 5x − 9sin( 1
x2 + sinh(2x)
resposta:
f ′(x) = 1
1+x2 − 5xln(5) + 9cos( 1
x2 )2x
−3 + cosch(2x)2
f ′(x) = 1
1+x2 − 5xln(5) +
18cos( 1
x2 )
x3 + 2cosch(2x)
19. f(x) = sin(x2)√
2x+1
resposta:
f ′(x) =
(
√
2x+1)(cos(x2)2x)−(sin(x2) 1
2 (2x+1)
−1
2 2)
(
√
2x+1)2
f ′(x) = (2x+1)(cos(x2)2x)
(
√
2x+1)2
− sin(x2)
(
√
2x+1)(2x+1)
f ′(x) = 2xcos(x2)√
2x+1
− sin(x2)
(2x+1)
3
2
20. Considere f(x) = x3 − 3x2 − x+ 5, obtenha a equação da reta tangente e
da reta normal ao gráfico de f(x) o ponto A(3, 2).
resposta:
mtg = f ′(x)
mtg = f ′(x) = 3x2 − 6x− 1
mtg = 3(9)− 6(3)− 1
mtg = 8
Eq. reta tangente:
y − 2 = −8(x− 3)
y − 2 = −8x− 24
3
8x− 24 + 2− y = 0
8x− y − 22 = 0//
Eq. reta normal:
mn = − 1
8
21. Seja f(x) = 2− x− x2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico
de f(x) que seja paralela à reta y = x− 4.
resposta:
1. S: y = x− 4
ms = 1
2. m da reta tangente:
f(x) = 2− x− x2
mtg = f ′(x) = −2x− 1
mtg = 2− 1 = 1
3. Igualar: −2x− 1 = 1
−2x = 1 + 1
x = −1
4. Substituir x = −1 em f(x) = 2− x− x2
f(x) = 2 + 1− 1 = 2
5. Equação da reta tangente:
y − 2 = 1(x+ 1)
y − 2 = x+ 1
y = x+ 3
x− y + 3 = 0//
22. Em que ponto a reta tangente à parábola y = x2−7x+3 é paralela à reta
5x+ y − 3 = 0?
resposta:
A =? y = x2 − 7x+ 3
rtg//S:5x+ y − 3 = 0
mtg = ms em A
1. S: 5x+ y − 3 = 0 −→ y = −5x+ 3
ms = −5
2. m da reta tgte: mtg = dy
dx em A.
y = x2 − 7x+ 3
dy
dx = 2x− 7
3. Igualar: 2x− 7 = −5
2x = 2
x = 1
4. Substituir x = 1 em y = x2 − 7x+ 3
y = 1− 7 + 3 =⇒ y = 3
No ponto A = (1,−3) a reta tangente à y = x2 − 7x+ 3 é paralela à reta
5x+ y − 3 = 0.
23. Escreva a equação da reta tangente à curva y =
√
4x− 3 − 1 que seja
perpedicular à reta x+ 2y − 11 = 0.
resposta:
4
y =
√
4x− 3− 1
rtg⊥S : x+ 2y − 11 = 0
mtg = −1
ms
1. S: y = −x
2 + 1
ms =
−1
2
2. m da reta tangente:
f(x) = (4x− 3)
1
2 − 1
f ′(x) = 1
2 (4x− 3)
−1
2 · 4
f ′(x) = 2(4x− 3)
−1
2
mtg = f ′(x) = 2√
4x−3
mtg = 2√
4(1)−3
= 2//
3.Igualar : 2√
4x−3
= −1
−1
2
2√
4x−3
= −1 · −1
2
2√
4x−3
= 2
2 = 2
√
4x− 3
2
2 =
√
4x− 3
1 =
√
4x− 3
(1)2 = (
√
4x− 3)2
1 =
√
4x− 3
4 = 4x
x = 1//
4. Substituir x = 1 em f(x) =
√
4x− 3− 1.
f(x) =
√
4(1)− 3− 1
f(x) =
√
4− 3− 1
f(x) = 1− 1 = 0
5. Equação da reta tangente:
xo = 1 yo = 0
y − 0 = 2(x− 1)
y = 2x− 2
2x− y − 2 = 0//
24. Determine,se houver, os pontos da curva y = 3x4 + 4x3 − 12x2 + 20 nos
quais a reta tangente é horizontal.
solução:
1. O coeficiente angular de uma reta horizontal é nulo.
2. Derivar y : y′ = 12x3 + 12x2 − 24x
3. Determinar x quando y = 0:
12x3 + 12x2 − 24x = 0
2x(6x2 + 6x− 12) = 0
2x = 0 −→ x = 0
6x2 + 6x− 12 = 0
∆ = (6)2 − 4 · 6 · (−12)
∆ = 324
x = −6±18
12
x′ = 1, x′′ = −2
x = 0 −→ y = 20
x = 1 −→ y = 3 + 4− 12 + 20 = 15
5
x = −2 −→ y = 48− 32− 48 + 20 = −12
Os pontos são (0, 20),(1, 15) e (−2,−12).
25. Influências externas produzem uma aceleração numa part́ıcula de tal forma
que a equação de seu movimento retiĺıneo é y = b
t + ct, onde y é o deslo-
camento e o t é o tempo. Responda:
a) Qual é a velocidade da part́ıcula quando t = 2?
solução:
y = b
t + ct
ou
y = bt−1 + ct
v = y′ = −bt−2 + c
v instantânea em t = 2 ⇒ v = −b
4 + c
b) Qual é a equação da aceleração dessa part́ıcula?
solução:
a = y′′ = 2b
t3
26. Mostre que a função y = 2sin(x) + 3cos(x) satisfaz à equação y′′ + y = 0.
solução:
y′ = 2cos(x)− 3sin(x)
y′′ = −2sin(x)− 3cos(x)
•y′′ + y = 0
• − 2sin(x)− 3cos(x) + 2sin(x) + 3cos(x) = 0//
27. Determine a inclinação da reta tangente à função y = sin(x2 ) na origem.
solução:
Origem (0, 0)
mtg = y′ = 1
2cos(
x
2 )
mtg = y′ = 1
2cos(
0
2 )
mtg = y′ = 1
2cos(0)
mtg = 1
2//
28. Derivando implicitamente, determine as derivadas das funções impĺıcitas:
a) d2y
dx2 , b
2 + y2 − 2xy = 0
solução:
0 + 2y · y′ − 2[y + x · y′] = 0
2y · y′ − 2y − 2x · y′ = 0
2y · y′ − 2x · y′ = 2y
2(y · y′ − x · y′) = 2y
2(y·y′−x·y′)
2 = y
y · y′ − x · y′ = y
y′(y − x) = y
y′ = y
(y−x)
y′′ = (y−x)y′−y(y′−1)
(y−x)2
y′′ = y′·y−y′·x−y·y′+y
(y−x)2
6
y′′ = −y′·x+y
(y−x)2
y′′ =
−( y
y−x
)·x+y
(y−x)2
y′′ =
−x·y
(y−x)
+y
(y−x)2 ⇒ y′′ =
−x·y+y(y−x)
(y−x)
(y−x)2
y′′ =
−x·y+y2−y·x
(y−x)
(y−x)2 ⇒ y′′ =
y2−2xy
(y−x)
(y−x)2
y′′ = y2−2xy
(y−x) · 1
(y−x)2 ⇒ y′′ = y2−2xy
(y−x)3 //
b) d
2y
dx2 , y = cos(x− y)
solução:
y′ = −sin(x− y) · [1− y′]
y′ = −sin(x− y) + y′sin(x− y)
sin(x− y) = y′(sin(x− y)− 1)
y′ = sin(x−y)
sin(x−y)−1
y′′ = (sin(x−y)−1)(sin(x−y))′−(sin(x−y))(sin(x−y)−1)′
(sin(x−y)−1)2
y′′ = (sin(x−y)−1)(cos(x−y)(1−y′))−[(sin(x−y))(cos(x−y)(1−y′))]
(sin(x−y)−1)2
y′′ = cos(x−y)(1−y′)[(sin(x−y)−1)−(sin(x−y))]
(sin(x−y)−1)2
y′′ = cos(x−y)(1−y′)[sin(x−y)−1−sin(x−y)]
(sin(x−y)−1)2
y′′ = −(cos(x−y)(1−y′))
(sin(x−y)−1)2
y′′ =
−[cos(x−y)[1− sin(x−y)
sin(x−y)−1
]]
(sin(x−y)−1)2
y′′ =
−[cos(x−y)[
(sin(x−y)−1)−(sin(x−y))
sin(x−y)−1
]]
(sin(x−y)−1)2
y′′ = −[cos(x− y)[ (sin(x−y)−1)−(sin(x−y))
sin(x−y)−1 ]] · 1(sin(x−y)−1)2
y′′ = −[cos(x−y)(sin(x−y)−1)−(cos(x−y))(sin(x−y))]
(sin(x−y)−1)3
y′′ = −[cos(x−y)[(sin(x−y)−1]−[sin(x−y)]]
(sin(x−y)−1)3
y′′ = −[cos(x−y)[sin(x−y)−1−sin(x−y)]]
(sin(x−y)−1)3
y′′ = −cos(x−y)(−1)
(sin(x−y)−1)3
y′′ = cos(x−y)
(sin(x−y)−1)3 //
c) dy
dx , (x+ y)2 − (x− y)2 = x4 + y4
solução:
2(x+ y)(1 + y′)− 2(x− y)(1− y′) = 4x3 + 4y3 · y′
(2x+ 2y)(1 + y′)− (2x− 2y)(1− y′) = 4x3 + 4y3 · y′
2x+ 2x · y′ + 2y + 2y · y′ − (2x− 2x · y′ − 2y + 2y · y′) = 4x3 + 4y3 · y′
2x+ 2x · y′ + 2y + 2y · y′ − 2x+ 2x · y′ + 2y − 2y · y′ = 4x3 + 4y3 · y′
4x · y′ + 4y = 4x3 + 4y3 · y′
4x · y′ − 4y3 · y′ = 4x3 − 4y
y′(4x− 4y3) = 4x3 − 4y
y′ = 4(x3−y)
4(x−y3)
y′ = x3−y
x−y3
//
29. Determine os coeficientes angulares das retas tangente e normal à curva
x3 + y3 − xy − 7 = 0 no ponto A(1, 2).
7
solução:
3x2 + 3y · y′ − y + x · y′ = 0
y′(3y2 − x) = −3x2 + y
mtg = y′ = −3x2+y
3y2−x
mtg = y′ = −3(12)+2
12(22)−1 = − 1
11//
mtg ·mn = −1
mn = −1
mtg
mn = −1
− 1
11
= −1 · − 11
1 =⇒ mn = 11//
30. Determine a derivada que se pede das funções impĺıcitas:
a) d2y
dx2 , y
2 = 4px
solução:
2y · y′ = 4p(•)
y′ = 4p
2y = 2p
y
(•)2[y · y′′ + y′ · y′] = 0
2y · y′′ + 2(y′)2 = 0
2y · y′′ + 2( 2py )2 = 0
2y · y′′ + 8p2
y2 = 0
2y · y′′ = 8p2
y2
y′′ = 8p2
y2
2y
y′′ = − 8p2
y2 · 1
2y
y′′ = − 4p2
y3
//
31. Obtenha a derivada de ordem indicada de cada função:
a) d3y
dx3 , y = eax
solução:
y′ = eax · (ax)′
y′ = aeax
y′′ = aeax · (ax)′
y′′ = a2eax
y′′′ = a2eax · (ax)′
y′′′ = a3eax
b) f ′′′(x), f(x) = (1 + x2)arctg(x)
solução:
f ′(x) = 2xarctg(x) + 1 + x2 · 1
1+x2
f ′(x) = 2xarctg(x) + 1
f ′′(x) = 2arctg(x) + 2x · 1
1+x2
f ′′(x) = 2arctg(x) + 2x
1+x2
8