Exercícios de Pré-Cálculo

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Lista de Exerćıcios – Pré-Cálculo – D
Prof. Carlos Campani
6 de julho de 2015
1. Encontre o valor por onde o gráfico passa no eixo vertical y e as
asśıntotas horizontais.
(a) f(x) = 12
1+2.0,8x
(b) f(x) = 18
1+5.0,2x
(c) f(x) = 16
1+3.e−2x
(d) g(x) = 9
1+2.e−x
(e) q(x) = 1, 5x
2. Determine se a função é limitada superiormente, limitada inferiormente
ou limitada sobre seu domı́nio.
(a) y = 2x
(b) y = 2−x
(c) f(x) = e−x
(d) f(x) = −e−x
(e) f(x) = −ex
(f) f(x) =
√
ex − 1
3. Esboce os gráficos das seguintes funções usando transformações:
(a) y = 4x − 3
(b) y = −2−x
(c) y = 1− 1
2
e−x
(d) y = ex+1 − 1
4. Encontre o domı́nio de cada função:
(a) f(x) = 1
1+ex
(b) f(x) = 1
1−ex
5. Encontre a função exponencial f(x) = cax cujo gráfico é dado na Fi-
gura 1. Faça o mesmo para o gráfico da Figura 2.
1
Figura 1: Curva do exerćıcio 5
Figura 2: Curva do exerćıcio 5
2
6. Se f(x) = 5x, mostre que:
f(x+ h)− f(x)
h
= 5x
(
5h − 1
h
)
7. Encontre uma fórmula para a função inversa:
(a) f(x) = ex
3
(b) y = ln(x+ 3)
(c) y = 1√
1+lnx
(d) f(x) = e2x+1 − 1
8. Resolva as equações:
(a) 2 ln x = 1
(b) 2x−5 = 3
(c) e2x+1 = 1
(d) ln(ln x+ e) = 1
9. Determine o domı́nio de f , f−1 e seu domı́nio:
f(x) =
√
3− e2x
10. Seja f a função cujo gráfico aparece na Figura 3.
(a) Estime o valor de f(2).
(b) Estime os valores de x tal que f(x)=3.
(c) Determine o domı́nio de f .
(d) Determine a imagem de f .
(e) Em qual intervalo a função é crescente?
(f) f é injetora? Explique.
(g) f é par, ı́mpar ou nenhum dos dois? Explique.
11. Encontre o domı́nio e a imagem da função
h(x) = ln(x+ 6) .
12. Se f(x) = ln x e g(x) = x2 − 9, encontre as funções f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f ,
g ◦ g e seus domı́nios.
3
Figura 3: Curva do exerćıcio 10
13. Determine o domı́nio de cada função.
(a) f(x) = log[x(x+ 1)]
(b) g(x) = log x+ log(x+ 1)
(c) f(x) = ln x
x+1
(d) g(x) = ln x− ln(x+ 1)
(e) f(x) = 2 ln x
(f) g(x) = ln(x2)
14. Suponha triângulos retângulos em que um dos ângulos internos é x. En-
contre as outras medidas de ângulos que faltam (ou seja, seno, cosseno
e tangente).
(a) sin x = 3
7
(b) sin x = 2
3
(c) cos x = 5
11
(d) cos x = 5
8
(e) tan x = 5
9
(f) tan x = 12
13
15. Faça o solicitado e responda a questão:
(a) Faça o gráfico da função f(x) = sin(arcsin x) e explique sua apa-
rência.
4
(b) Faça o gráfico da função g(x) = arcsin(sin x). Como você pode
explicar a aparência desse gráfico?
16. Compare os gráficos de y = | sin x| e y = sin |x|. Determine qual das
funções é par e qual é ı́mpar.
17. Determine a função inversa da função dada.
(a) y = sin cos x
(b) y = sin ln(x+ 1)
(c) y = 1√
sinx+2
(d) y = etanx−1
18. Determine f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f , g ◦ g e seus domı́nios.
(a) f(x) =
√
x, g(x) = ex − 1
(b) f(x) = ln(x+ 1), g(x) = 3
√
x
(c) f(x) = ex, g(x) = ln x+ 1
(d) f(x) = sin x+ 1, g(x) =
√
x
(e) f(x) = x2 + 1, g(x) = cos x
(f) f(x) = 1
x
, g(x) = cos x+ 1
(g) f(x) = 1√
x
, g(x) = sin x− 1
19. Demonstre:
(a) cos arcsin x =
√
1− x2
(b) tan arcsin x = x√
1−x2
(c) cos arctan x = 1√
1+x2
(d) sin arctan x = x√
1+x2
20. Transforme da forma cartesiana para a forma polar:
(a) z1 = 4 + 4i
(b) z2 = 7
(c) z3 = 3i
(d) z4 = −3 + 2i
(e) z5 = −4− 3i
21. Transforme da forma polar para a forma cartesiana:
(a) z1 = 10 6 60◦
(b) z2 = 20 6 120◦
(c) z3 = 50 6 − 30◦
(d) z4 = 100 6 180◦
(e) z5 = 6 6 − 90◦
5
22. Efetue as seguintes operações sobre números complexos:
(a) z1 = 3− 5i, z2 = 1 + i, z1 + z2, z1 × z2, z1 ÷ z2
(b) z1 = 2 + 2i, z2 = 2− 2i, z1 + z2, z1 × z2, z1 ÷ z2
(c) z1 = 2− 3i, z2 = 3− 2i, z1 + z2, z1 − z2, z1 × z2, z1 ÷ z2
(d) z1 = 7 6 90◦, z2 = 10 6 135◦, z1 × z2, z1 ÷ z2
(e) z1 = 2 6 45◦, z2 = 6 6 − 45◦, z1 × z2, z1 ÷ z2
(f) z1 = 2 6 45◦, z2 = 3 6 90◦, z1 + z2, z1 × z2, z1 ÷ z2
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