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Introducao a Algebra Abstrata

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Introdução à Álgebra Abstrata – Jaime Evaristo/Eduardo Perdigão
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Introdução à Álgebra Abstrata – Jaime Evaristo/Eduardo Perdigão
Jaime Evaristo
Mestre em Matemática
Professor Adjunto
Instituto de Computação
Universidade Federal de Alagoas
Eduardo Perdigão
Doutor em Matemática
Professor Aposentado
Instituto de Matemática
Universidade Federal de Alagoas
Introdução à Álgebra
Abstrata
Segunda Edição
Formato Digital/Versão 01.2013
Maceió, junho de 2013
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Introdução à Álgebra Abstrata – Jaime Evaristo/Eduardo Perdigão
Sumário
Prefácio (da primeira edição)..................................................................................... ..... .... .... ..... .... .... 5
Prefácio (da atual edição).................................................................................................. ..... .... .... .... .. 6
1. Conjuntos e Funções........................................................................................................................ .7
1.1 Entes primitivos ......................................................................................................... .... .... .... ... 7
1.2 Conjuntos ........................................................................................................................ .... .... .. 7
1.3 Igualdade.................................................................................................................................. ..7
1.4 Subconjuntos.............................................................................................................................. 8
1.5 Uma representação de conjuntos......................................................................... .... .... ..... .... .... . 8
1.6 As expressões “se … então” e “se e somente se”................................................... ..... .... .... .... .. 9
1.7 Igualdade de conjuntos........................................................................................ .... .... ..... .... .... . 9
1.8 Par ordenado e produto cartesiano...................................................................................... .... .10
1.9 Relações binárias.............................................................................................. ..... .... .... ..... .... . 10
1.10 Funções................................................................................................................... ..... .... .... .. 12
1.11 O Conjunto Vazio............................................................................................................. .... ..13
1.12 Operações ..............................................................................................................................14
1.13 Operações com predicados (operações lógicas)............................................ .... .... ..... .... .... ... 15
1.14 Demonstração por redução ao absurdo (prova por contradição)......................... .... ..... .... .... .17
1.15 Operações com conjuntos....................................................................................... ..... .... .... .. 17
1.16 Uma operação com funções......................................................................................... ..... .... .18
1.17 Funções inversíveis........................................................................................................... .... .19
1.18 Exercícios...............................................................................................................................21
2. Os números naturais.................................................................................................. ..... .... .... .... .... 24
2.1 Axiomas, teorias axiomáticas, objetos construídos axiomaticamente................... .... .... ..... .... .24
2.2 O conjunto dos números naturais.............................................................................................24
2.3 Operações no conjunto dos números naturais..........................................................................25
2.4 Equações no conjunto dos números naturais............................................................ .... .... ..... .. 29
2.5 Uma relação de ordem no conjunto dos números naturais..................................... .... .... .... ..... 30
2.6 Conjuntos finitos................................................................................................................. .... .32
2.7 Exercícios.................................................................................................................................33
3. Os números inteiros............................................................................................................. ..... .... ..35
3.1 Introdução................................................................................................................. .... ..... .... .. 35
3.2 Anéis..................................................................................................................... .... .... ..... .... .. 35
3.3 Elementos inversíveis............................................................................................ .... .... ..... .... . 40
3.4 Igualdade de anéis: anéis isomorfos ................................................................. .... .... ..... .... .... . 40
3.5 Domínios de integridade.................................................................................................. .... .... 41
3.6 Anéis ordenados................................................................................................................. .... .. 42
3.7 Domínios bem ordenados.................................................................................. .... ..... .... .... .... . 43
3.8 O conjunto dos números inteiros........................................................................... .... ..... .... .... . 44
3.9 Inversibilidade no domínio dos inteiros...................................................................................48
3.10 Sequências estritamente decrescentes de inteiros ...................................................... ..... .... .. 49
3.11 Os naturais e os inteiros........................................................................................ .... .... ..... .... 50
3.12 Exercícios...............................................................................................................................50
4. Algoritmos....................................................................................................................... ..... .... .... .. 54
4.1 Introdução................................................................................................................. .... ..... .... .. 54
4.2 Exemplos........................................................................................................ .... ..... .... .... ..... ... 55
4.3 Exercícios.................................................................................................................................57
5. Representação dos números inteiros: sistemas de numeração........................................................ 58
5.1 Introdução................................................................................................................. .... ..... .... .. 58
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